Mögliche Funktionenklassen für die Regressionsrechnung
Lineare Funktionen Polynome Exponentialfunktionen (Exponentielles Wachstum; x ist die Zeit) Gompertz-Kurven Logistische Funktionen
Approximation durch eine Gerade
Prinzip der kleinsten Quadrate (Kleinst-Quadrat-Schätzung) Man sucht in der betrachteten Klasse diejenige Funktion f, so dass die Summe der Abweichungsquadrate minimiert wird: Bestimme f, so dass minimal !!
Aufgaben der Regressionsrechnung 1. Extrapolation Stellt man sich für den Moment x als die Zeit vor, so möchte man die beobachteten Werte auf die „Zukunft“ extrapolieren. Man erstellt eine „Prognose“. Dazu bedient man sich der gefundenen Funktion f, um für eine „Zeit“ x der “Zukunft“ den Wert y = f(x) zu schätzen.
2. Interpolation Man interessiert sich für den Wert von y = f(x) für Zwischenwerte von x, d. h. für Werte x, die zwischen 2 beobachteten Werten liegen: Wieder bedient man sich der Funktion f, um eine Interpolation der Werte durchzuführen.
Lineare Regression Finde reelle Zahlen a und b,so dass der Wert von minimal wird! Mit anderen Worten: Finde den „Punkt“ (a ,b), an dem die Funktion ihr Minimum annimmt!
Steigung der Regressionsgeraden Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei
Bestimmtheitsmaß Maß für die Güte der Anpassung der Daten an die Regressionsfunktion Dabei ist
In einem Kaufhauskonzern mit 10 Filialen soll die Wirkung von Werbeausgaben auf die Umsatzsteigerung untersucht werden. Die Daten sind: X: Werbeausgaben in 1000 Euro Y: Umsatzsteigerung in 10 000 Euro
Demonstrationsbeispiel Lineare Regression Varianzen Mittelwerte Kovarianz
Steigung der Regressionsgeraden Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei
Statistische Maßzahlen Bisher: Mittelwert Median Quantile (Quartile) Lagemaße Varianz Standardabweichung Kovarianz Korrelation Streuungsmaße Konzentrationsmaße Gini-Koeffizient
Verhältniszahlen Index- zahlen Gliederungs- zahlen Beziehungs- zahlen
Warenkorb N Güter (Mengen und Preise) in der Basisperiode 0 Berichtsperiode t
Preise in der Basisperiode 0 Preise in der Berichtsperiode t Mengen in der Basisperiode 0 Mengen in der Berichtsperiode t
Preisindex nach Laspeyres Preisindex nach Paasche Laspeyres: Bezug auf den alten Warenkorb Paasche: Bezug auf den neuen Warenkorb
Formeln für die Preisindizes nach Laspeyres und nach Paasche
Aggregatform
Zigaretten Bier Kaffee Wegen der besseren Übersichtlichkeitdefinieren wir uns einen sehr kleinen Warenkorb bestehend aus: Zigaretten Bier Kaffee In den Jahren 1950 bis 1953 werden für den Jahres- verbrauch pro Einwohner und für die Preise die folgenden Daten zu Grunde gelegt:
Index 0 1950 Index 1 1951 Index 2 1952 Index 3 1953
Herr K. aus E. und Gattin gehen leidenschaftlich gern ins Kino. Die Ausgaben des Ehepaars sind von 1996 bis 1998 nominal um 40 % und real dagegen nur um 25 % gestiegen. Hier die Eintrittspreise der Kinos: Es ist bekannt, dass sich die Ausgaben- anteile für Kinobesuche bei dem Ehe- paar 1996 wie folgt verhalten: 2 : 3 : 2 : 1 (Aufteilung der Aus- gabenauf die 4 Kinos)
Input: Empirische Zeitreihe FILTER Output: Geglättete Zeitreihe
Monatliche Anlandungen der deutschen Dampferhochseefischerei in den Jahren 1954, 1955 und 1956 (aus Bamberg/Baur)
Jährliche Instandhaltungskosten in einem Kernkraftwerk von 1970 bis 1985 in TDM
Monatliche Anlandungen der deutschen Dampferhochseefischerei in den Jahren 1954, 1955 und 1956 (aus Bamberg/Baur)
Monatstypische Abweichung Hochseefischerei: Monatstypische Abweichung
Saisonbereinigte Zeitreihe Hochseefischerei: Saisonbereinigte Zeitreihe