Miroslav Radivojević Turbulente Strömung M. Radivojević November 2005

• Farbfadenversuch, • Rohrströmung, • Reynoldszahl, • Vergleich laminare und turbulente Rohrströmung, • Rohrströmungsprofile, • turbulente Rohrströmung, • Wandgrenzschicht, • Umströmung eines Kreiszylinders, • Ursachen der Turbulenz, • Grundlagen der Reynoldsgleichung. M. Radivojević November 2005

Farbfadenversuch • 1883: Reynoldsscher Farbfadenversuch, • Untersuchung der Stabilität von Rohrströmungen, • Farbfaden wird in die Strömung in einem Kreisrohr eingeleitet. Beobachtung: • bei kleinen Strömungsgeschwindigkeiten - Farbfaden bleibt ganz glatt • bei großen Strömungsgeschwindigkeiten - Farbfaden beginnt hin- und herzuflattern, - Farbe verteilt sich über den ganzen Rohrquerschnitt M. Radivojević November 2005

Rohrströmung • In einer Rohrströmung gibt es zwei verschiedene Strömungszustände, • laminar (von lat. lamina – die Platte) oder turbulent (von lat. turbulentus - unruhig), • laminare Rohrströmung lässt sich exakt berechnen (Hagen-Poiseuille-Strömung), • turbulente Rohrströmung lässt sich nur näherungsweise bestimmen, • Turbulenz tritt spontan oberhalb eines gewissen Strömungsparameters auf, • laminare Strömung unterhalb eines kritischen Strömungsparameters (Reynoldszahl), • turbulente Strömung oberhalb eines kritischen Strömungsparameters (Reynoldszahl). M. Radivojević November 2005

Reynoldszahl • Dimensionslose Kennzahl, • empirische Ermittlung von Rekrit, • charakterisiert den Strömungszustand eines Fluids, • laminare Strömung bis zu Rekrit-Zahl,  Re < Rekrit  laminar  Re > Rekrit  turbulent • je kleiner die äußeren Störungen, desto größer Rekrit (von 2300 bis zu 50000), • Umschlag in Rohrströmungen bei Re ≈ 2300 c = charakteristische Geschwindigkeit D= charakteristischer Durchmesser  = kinematische Zähigkeit M. Radivojević November 2005

Vergleich laminare und turbulente Rohrströmung • Die Fluidteilchen bewegen sich dabei in Schichten die zeitlich ihre Form nicht ändern, • „molekulare Diffusion“, mikroskopische Bewegung der Moleküle, deshalb ineffektive Transportbewegung. laminare Rohrströmung • der Hauptbewegung in Richtung der Rohrachse sind Querbewegungen senkrecht zur Achse überlagert, • erhöhte Querdiffusion aller Transportgrößen (Masse, Impuls, Drehimpuls, Energie), • „turbulente Diffusion“, Transportbewegung um den Faktor 104 effektiver als bei der „molekularen Diffusion“. turbulente Rohrströmung M. Radivojević November 2005

Rohrströmungsprofile • parabolisches Geschwindigkeitsprofil, • maximale Geschwindigkeit in der Rohrachse, doppelt so groß wie mittlere Geschwindigkeit, • Strömungsgeschwindigkeit an der Rohrwand wegen Haftbedingung = 0, • Schubspannung aufgrund unterschiedlicher Geschwindigkeit. • Geschwindigkeitsanstieg in Wandnähe, • Geschwindigkeit in der Rohrachse etwa das 1,25-fache der mittleren Geschwindigkeit. • Strömungsgeschwindigkeit an der Rohrwand wegen Haftbedingung = 0, M. Radivojević November 2005

M. Radivojević November 2005

turbulente Rohrströmung • bei fast allen praktischen Rohrströmungen, • Reibungsverluste durch Schubspannungen und turbulente Vermischungen, • erhöhter Druckverlust und Schubspannung durch turbulente Schwankungsbewegung • Schubspannung an der Rohrwand größer als in einer laminaren Strömung, • Geschwindigkeit an der Rohrwand = 0, • laminare Strömung in der Grenzschicht, • in der Grenzschicht steigt die Geschwindigkeit auf den Wert der Außenströmung, • Grenzschichtdicke, Wandabstand bei dem 99% der Außengeschwindigkeit erreicht werden. Profil der zeitlich gemittelten Geschwindigkeit mittlere (d.h. über den Rohrquerschnitt gemittelte) Geschwindigkeit M. Radivojević November 2005

Wandgrenzschicht • Geschwindigkeit in sehr dünner Schicht nahe Körperoberfläche = 0, • sog. Grenzschicht • 1904: Prandtl erkannte das Reibung in der Grenzschicht eine große Rolle spielt, • außerhalb der Grenzschicht und dem Wirbelgebiet, ist Reibungseinfluss klein, • Unterteilung in zwei Gebiete: - Bereich der Grenzschicht u. des Wirbelgebiets. Hier muss Reibung berücksichtigt werden, - Restlicher Bereich. Schubspannungen sind klein, können vernachlässigt werden = Schubspannung = dyn. Viskosität = Geschwindigkeits- gefälle M. Radivojević November 2005

Umströmung eines Kreiszylinders • Strömung folgt dem Stromlinienbild der Potentialströmung (laminare Strömung). • Zylindergrenzschicht löst sich ab, • längliches Totwasser hinter dem Zylinder, • durch Reibung entstehen zwei Totwasserwirbel (laminare Strömung). • Abwechselnde Wirbelablösung, oben und unten am Zylinder (regelmäßige period. Schwankungen), • hinter dem Zylinder sog. Kármánsche Wirbelstraße (periodische Strömung). • unregelmäßige Bewegung mit starker Querdiffusion hinter dem Zylinder (turbulente Strömung). M. Radivojević November 2005

Ursachen der Turbulenz • Trägheitskräfte führen zu dynamischen Schwingungen, Instabilitäten und ungeordnetem Verhalten, • Reibungskräfte wirken dämpfend und stabilisierend. wenn das Verhältnis (Reynoldszahl) eine bestimmte Grenze (kritische Reynoldszahl) überschreitet, überwiegen die destabilisierenden Trägheitskräfte.  die Entstehung von Turbulenz ist ein Stabilitätsproblem. • Ereigniskette vom laminaren zum turbulenten Strömungszustand: Stabilität  Instabilität (Labilitätspunkt)  Einsetzen der Turbulenz (Zerfall/Transition) M. Radivojević November 2005

turbulente Rohrströmung • Diese Strömungsform ist gekennzeichnet durch stets dreidimensionale, stochastisch instationäre Bewegungen der Flüssigkeitsteilchen unter- und gegeneinander, • Strömung kann im zeitlichen Mittel stationär sein, • Turbulenz ist ein stochastischer Prozess. Momentanwert=Mittelwert + Schwankungsgröße Flüssigkeitsbewegung wird in eine laminare stationäre Grundströmung und eine dieser überlagerten Störbewegung zerlegt. M. Radivojević November 2005

allgemeine Rechenregeln Reynoldsgleichung zeitliche Schwankungsgrößen allgemeine Rechenregeln M. Radivojević November 2005

Reynoldsgleichung Impulssatz für inkompressible newtonsche Fluide (Navier-Stokes-Gleichung) Mittelwerte und Schwankungsgrößen M. Radivojević November 2005

Reynoldsgleichung „turbulente“ Zähigkeit  Turbulenzmodelle etc. zeitliche Mittelung der Gleichung Konti-Gl. und Produktregel rückwärts „turbulente“ Zähigkeit  Turbulenzmodelle etc. nicht lineare partielle Differentialgleichung mit Orts- und Zeitabhängigkeit M. Radivojević November 2005

Navier-Stokessche-Gl. Reynoldsgleichung Navier-Stokessche-Gl. • Reynoldsgleichung  Bewegungsgleichung für die Mittelwerte der Strömungsgrößen in einer turbulenten Strömung, • Navier-Stokessche Gleichung  Bewegungsgleichung für die Momentanwerte, • Unterscheiden sich durch den Spannungstensor sog. Reynoldsspannungen oder turbulente Zusatzspannungen M. Radivojević November 2005

Quellen • Schade, Kunz, Strömungslehre • Prof. Dr.-Ing. Frank Kameier, Strömungstechnische Grundbegriffe • Prof. Dr.-Ing. Christian Oliver Paschereit, Vorlesung Strömungslehre TU Berlin • Bohl, Technische Strömungslehre • E. Laurien, Reynolds´scher Farbfadenversuch, Universität Stuttgart • Prof. Dr.-Ing. H. E. Fiedler, Vorlesungsskript Turbulente Strömungen TU Berlin M. Radivojević November 2005