Vorlesung Finanzmathematik und Risikomanagement Jörg Lemm WS 2008/9

Themen der Vorlesung Finanzmathematische Themen Marktrisiko: Marktrisikomessung, Portfoliooptimierung, Derivate Kreditrisiko: Kreditrisikomessung, Kreditportfoliooptimierung, Kreditderivate Statistische Methoden Statistik / Statistische Mechanik Aktienkurse / Diffusion Parametrisierung von Modellen / inverse Probleme

Basel, die Banken und die Physiker Basler Ausschuss der G10 Länder zur Bankenaufsicht erarbeitet Richtlinien zur Eigenkapitalunterlegung von Bankrisiken 1988 Basel I, Vorschriften zur (pauschalen) Eigenkapitalunterlegung von Kreditrisiken 1996 Erweiterung auf Marktrisiko (Physiker als Entwickler interner Marktrisikomodelle) 1999 Basel II, erstes Konsultationspapier zum Kreditrisiko (Physiker als Entwickler von Methoden der Kreditrisikomessung – und -steuerung) 2007 Finanzmarktkrise 2008 Inkrafttreten Solvabilitätsverordnung (Basel II)

Stichworte zur Finanzmarktkrise Volkswirtschaftliche Gründe: Niedrigzinspolitik (Wirtschaftswachstum, Leistungsbilanz, Vermögensinflation: Aktien, Immobilien, Kreditkartenforderungen) Finanzmathematische Innovationen: Kreditderivate und Verbriefungen (teils schwer verstehbar, falsche Anreizstrukturen) Aufsicht (unzureichende Kontrolle der Banken und Ratingagenturen)

Risikomanagement 1. Bestimmen/Messen/Modellieren von Gewinn/Verlust-Verteilungen 2. Reduzieren von Risiko / Gestalten von Risikoprofilen ? ?

Marktrisiko Einzelkurse: Probabilistische Modelle Portfolio: Risikominimierung Hedging: Geht es ohne Risiko?

DAX

Royal Dutch Petroleum Company

Brown´sche Bewegung Unabhängige, normalverteilte Zuwächse mit Varianz mit (bei kleinen Zeiten) Mittelwert 0 also (Bachelier 1900, Einstein 1905) BeispielBeispiel Brownsche BewegungBrownsche Bewegung Markteffizienz (Fama 1970, U. of Chicago)

Autokorrelation S&P 500 Aus Bouchaud, Potters, Theory of Financial Risks Minuten Normierte Auto- korrelation

Geometrische Brown´sche Bewegung ist eine Brown´sche Bewegung bezogen auf logarithmische Preise, mit normalverteilten Renditen (relative Preisänderungen) mit also Beispiel geometrische Brownsche Bewegung

ARCH-Prozesse A(uto)R(egressive) C(onditional) H(eteroscedasticity) Wie eine (geometrische) Brown´sche Bewegung, aber mit einer veränderlichen Varianz, abhängig von (einem `moving average´ der) vergangenen quadrierten Änderungen. BeispielBeispiel ARCH-ProzessARCH-Prozess ARCH(p) :

Schwankungen sind besser vorhersagbar als Renditen Langfristige systematische Vorhersagemöglichkeiten erlauben Arbitrage (risikolose Gewinne) und sind daher in größerem Umfang nicht zu erwarten Es gibt keine notwendige kurzfristige Kopplung an den Fundamentalwert. Positive Rückkopplungen führen zu Spekulationsblasen (Bsp.: Stop loss orders, Behavioral Finance, Kahnemann & Tversky) Nutzen von Expertenwissen ( Bayessche Methoden) empirisch schwer überprüfbar Kursvorhersage: Probleme

Bsp.: LTCM (Long-Term Capital Management; Merton, Scholes) 1998

Marktrisiko Einzelkurse: Probabilistische Modelle Portfolio: Risikominimierung Hedging: Geht es ohne Risiko?

Grundlagen Portfolio-Optimierung Eine Münze 2 Münzen 2 Münzen 2 Münzen

Problemstellung Portfolio-Optimierung Portfoliozusammensetzung: (relativer) Anteil von Aktie 3 (relativer) Anteil von Aktie 1 (relativer) Anteil von Aktie 2... Problemstellung: Finde für vorgegebene Gewinnerwartung die Portfolio- zusammensetzung mit minimalem Risiko (Varianz) (Physiker als Fonds- bzw. Portfoliomanager)

Bei fixiertem Gesamterwartungswert (und fixierten auf 1 normierten Einstandspreis) soll die Unsicherheit (hier: Varianz) minimiert werden Portfolio-Optimierung Ein Portfolio aus Aktien mit erwartetem Gewinn Varianz-Kovarianzmatrix, und (relativen) Anteil hat die Portfoliovarianz unter den Nebenbedingungen und Korrelierte WertpapierePortfolio-Optimierung Markowitz 1952, Nobelpreis 1990

Portfolio-Optimierung: Probleme Die Zahl der Einträge in einer Korrelationsmatrix wächst quadratisch mit der Zahl der Komponenten historische Daten zeigen starkes Rauschen (Filtern mit Random Matrix Methoden) historische Werte sind nur von bedingtem Nutzen A-Priori Informationen müssen mit einfließen (Bayessche Methoden) Andere Risikomaße (z.B. VaR) und Nicht-Gaußsche Verteilungen (Monte Carlo) Viele verschiedene Nebenbedingungen möglich (teilweise Zusammenhang mit Spingläsern, dann viele Minima) Optimale Portfolios sind nicht sehr stabil Transaktionskosten und fehlende Liquidität

Marktrisiko Einzelkurse: Probabilistische Modelle Portfolio: Risikominimierung Hedging: Geht es ohne Risiko?

No-Arbitrage-Prinzip Perfekt negativ korrelierte Finanzprodukte erlauben die Konstruktion risikoloser Portfolios Beispiel: Komplexe Finanzinstrumente (wie z.B. Optionen) können manchmal durch eine Mischung von (der der Option zugrundeliegenden) Aktien und einer risikolosen Geldanlage nachgebildet werden: Option = a*Aktie + b*Geldkonto (Physiker als Finanzingenieure) Binomialmodell Aktie Binomialmodell DerivateBinomialmodell 2stufig Binomialmodell 1stufig Optionspreisformeln, Black, Scholes, Merton 1973, Merton u. Scholes Nobelpreis 1997

No-Arbitrage Prinzip: Probleme Kontinuierliches Handeln ohne Transaktionskosten Restriktive Verteilungsannahmen (log-normale Kurse mit bekannter Zinsrate und Volatilität) Leerverkäufe erlaubt, Aktien beliebig teilbar Erweiterungen (z.B. Monte Carlo) sind oft aufwendig und führen nicht immer zu kompletter Risikofreiheit

Kreditrisiko Einzelkredit: Erwarteter Verlust Portfolio: Unerwarteter Verlust Pricing: Was kostet Risiko?

Deterministischer Zahlungsstrom Refinanzierung und Barwert

Probabilistischer Zahlungsbaum

Zu bestimmende Parameter

Inanspruchnahme bei Ausfall

Für die Energiedifferenz lassen sich nun verschiedene Ansätze wählen. Ein einfacher linearer Ansatz führt zur logistischen Regression Ausfallwahrscheinlichkeiten durch logistische Regression Die Ausfallwahrscheinlichkeit für gegebenen Scorewert x lässt sich analog schreiben als Logistische RegressionRBF

Für nichtparametrische Verfahren (mit vielen Freiheitsgraden) muss die Maximum Likelihood Methode durch Cross-Validierungstechniken oder Hinzunahme von A-Priori-Informationen (Bayessche Statistik) ergänzt werden. Maximum Likelihood Methode Es werden diejenigen Modellparameter a und b ausgewählt unter denen die Wahrscheinlichkeit der gegebenen Daten p(Daten|Modell) ( = Likelihood) maximal wird. Für gegebenen Scorewert x ist die Likelihood für die Ausfallvariable y Logistische RegressionRBF

Kreditrisiko Einzelkredit: Erwarteter Verlust Portfolio: Unerwarteter Verlust Pricing: Was kostet Risiko?

Zweistufiges Konjunkturmodell

Zweistufiges Konjunkturmodell: Ein Kredit

Zweistufiges Konjunkturmodell: 2 Kredite Unabhängige Kredite Abhängige Kredite P P Doppel- ausfall ein Ausfall kein Ausfall Doppel- ausfall ein Ausfall kein Ausfall 81% 81,25% 18% 17,5% 1% 1,25% Größere Häufigkeit eines Doppelausfalls bei abhängigen Krediten

Zweistufiges Konjunkturmodell: 10 Kredite Unabhängige Kredite Abhängige Kredite P P 5,7% 7,0% Größere Breite der Verteilung bei abhängigen Krediten

Zweistufiges Konjunkturmodell: 100 Kredite Unabhängige Kredite Abhängige Kredite P P V V Die beiden Konjunkturstufen werden sichtbar Verteilung nähert sich (in ihrem Zentrum) einer Normalverteilung

Zweistufiges Konjunkturmodell: 1000 Kredite Unabhängige Kredite Abhängige Kredite P P V V Spezifisches Risiko verschwindet asymptotisch (Wurzel-n-Gesetz) Systematisches Risiko (z.B. Konjunkturrisiko) bleibt, auch asymptotisch nicht diversifizierbar

Mehrstufiges Konjunkturmodell Approximation durch Gamma- verteilung P Prinzip CreditMetrics

Restrisiko 1Zahl der Kredite noch nicht groß genug 2Kreditvolumina sehr unterschiedlich groß (dominierende Einzelkredite, Klumpenrisiken ) 3Einzelkredite korreliert (systematisches Risiko) In der Praxis verschwindet das Risiko auch für sehr große Banken nicht, da Aufsichtliche Unterlegungspflicht mit Eigenkapital

Kreditrisiko Einzelkredit: Erwarteter Verlust Portfolio: Unerwarteter Verlust Pricing: Was kostet Risiko?

Value at Risk (`Wert am Risiko´) hier auf 99%-Niveau (=Solvenzniveau) erwarteter Verlust

Eigenkapitalkosten: Änderung des VaR durch neuen Kredit Verlustverteilung ohne neuen Kredit Verlustverteilung mit neuem Kredit Verzinsung des benötigten Eigenkapitals = Eigenkapitalkosten

Pricing Barwert(Vertragsfall) - erwarteter Verlust - Eigenkapitalkosten (Risikoprämie) = Nettoerfolg PricingToy

Vielen Dank !

GARCH-Prozesse G(eneralized) A(uto)R(egressive) C(onditional) H(eteroscedasticity) Wie eine (geometrische) Brown´sche Bewegung, aber mit einer veränderlichen Varianz, abhängig von (einem `moving average´ der) vergangenen quadrierten Änderungen sowie der vergangenen Varianz selbst (`autoregressive Komponente´) Beispiel GARCH-Prozess GARCH(1,1) :

Wahrscheinlichkeit und Energie Jede Wahrscheinlichkeit(sdichte) läßt sich schreiben als mit Energie und Zustandssumme Vorteile: 1. Normierung und Nichtnegativität automatisch gewährleistet 2. Normierung braucht nicht in jedem Fall berechnet zu werden 3. Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten entspricht Addition von Energien(Integrale)

Andere mögliche Nebenbedingungen Keine Leerverkäufe : Mit Diversifikationsvorgabe : Mit Marginkonto :( Spingläser)