L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

Präsentation zum Thema: "L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz"—  Präsentation transkript:

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Nach einem Vortrag von Lucia Del Chicca und Markus Hohenwarter ÖMG-Tagung 25 April 2014 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

2 Die Problemstellung Es ist allgemein bekannt, dass wenn wir ein bestimmtes Kapital zur Verfu¨gung haben, es besser ist dieses in unterschiedliche Finanzprodukte zu investieren, anstatt nur in ein Einziges (die sogenannte Diversifikation). Bei einer gegebenen Menge von Finanzprodukten, stellen sich einige Fragen wie: In welche davon sollte man investieren? Wie sollte man das Kapital am besten aufteilen? Und vor allem: Gibt es eine Kombination von Finanzprodukten die besser ist als alle anderen?

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.,. Motivation .., Der Fall von 2 Finanzprodukten l¨asst sich mit den mathematischen Kenntnissen der Oberstufe vollst¨andig l¨osen .., Der allgemeine Fall von n Finanzprodukten kann im Rahmen eines Projektes bzw. einer Projektarbeit behandelt werden (dazu braucht man die Methode des Lagrange-Multiplikators) L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Wir haben zur Verfu¨gung: .,. Kapital = 1 .,. A1, A2, , An Finanzprodukte Frage: In welche dieser Anlagem¨oglichkeiten oder deren Kombinationen sollen wir investieren? Gibt es “bessere” und “schlechtere” Finanzprodukte? L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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ZIEL einer Investition: so viel wie m¨oglich gewinnen mit so wenig wie m¨oglich Risiko. Eine “gute” Investmentstrategie ist eine mit großer erwarteter Rendite und geringem Risiko. L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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2 “Gr¨oßen” fu¨r die Finanzprodukte: .,. Erwartete Rendite (erwarteter Gewinn, Trend) µ entspricht dem gesch¨atzten Wert, den das Finanzprodukt zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft haben wird L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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2 “Gr¨oßen” fu¨r die Finanzprodukte: .,. Erwartete Rendite (erwarteter Gewinn, Trend) µ entspricht dem gesch¨atzten Wert, den das Finanzprodukt zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft haben wird. .,. Volatilit¨at σ stellt das Risikomaß eines Finanzproduktes dar. L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Jedem Finanzprodukt Ai mit i = 1, n k¨onnen wir ein Paar (σi , µi ) zuordnen und in einem Trend-Volatilit¨ats-Diagramm eintragen L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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5 Finanzprodukten in Trend-Volatilit¨ats-Diagramm L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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DEFINITION: .,. Risikoloses Finanzprodukt: bei dem wir, unter normalen Voraussetzungen, in jedem Moment den Wert des Produktes fu¨r jeden Zeitpunkt in der Zukunft exakt berechnen k¨onnen .,. Risikobehaftetes Finanzprodukt: bei dem wir gegenw¨artig nicht exakt berechnen k¨onnen, welchen Wert es zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft haben wird L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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In Hinsicht auf den Trend-Volatilit¨ats-Ansatz k¨onnen wir in manchen F¨allen bereits klar sagen, dass eine Investition in eine bestimmte Aktie gegenüber der in eine andere zu bevorzugen ist. Frage: Wie sieht es aber mit Kombinationen von Finanzprodukten aus? L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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DEFINITION: Eine Kombination von verschiedenen Finanzprodukten heißt Portfolio (von Finanzprodukten). Um von Rendite und Volatilit¨at eines Portfolios zu sprechen, brauchen wir eine zus¨atzliche Gr¨oße: Korrelation .,. Korrelation ist ein Maß fu¨r den Zusammenhang zweier Aktien, hat immer einen Wert zwischen −1 und 1 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Notationen: A1, A2, , An µ1, µ2, , µn Aktien zur Verfu¨gung erwartete Renditen von A1, A2, , An in einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft Volatilit¨aten von A1, A2, , An in einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft Korrelation von Ai und Aj σ1, σ2, , σn ρij = Korr (Ai , Aj ) L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Sei Y das allgemeine Portfolio Kombination von A1, , An Y = x1A1 + x2A xnAn wo xi = Anteil des Kapitals, das in Ai investiert wird (i = 1, , n). Als Nebenbedingung gilt also: x1 + x xn = 1 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Fu¨r Y ist µY = x1µ1 + x2µ xnµn und L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Wo befindet sich das allgemeine Portfolio Y mit den Koordinaten (σY , µY )? Betrachten wir als erstes den Fall zweier Aktien: L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Kombinationen aus 2 Aktien Seien: A1, A2 µ1, µ2 Aktien zur Verfu¨gung erwartete Renditen von A1, A2 in einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft Volatilit¨aten von A1, A2 in einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft Korrelation von A1 und A2 (wir betrachten den allgemeinen Fall −1 < ρ12 < 1) Kapital zur Verfu¨gung σ1, σ2 ρ12 1 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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2 Aktien in Trend-Volatilit¨ats-Diagramm L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Sei Y das allgemeine Portfolio Kombination von A1 und A2 Y = x1A1 + x2A2 = tA1 + (1 − t)A2 wo t = Anteil des Kapitals, das in A1 investiert wird (σY , µY ) = GeoGebraBook Aktienportfolio: L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Konvexe Kurve aller Portfolios aus A1 und A2 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Opportunity Set und Portfolio mit minimaler Volatilit¨at L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Efficient Border (Effizienzlinie) L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Kombinationen aus 5 Aktien Seien: A1, A2, A3, A4, A5 µ1, µ2, µ3, µ4, µ5 Aktien zur Verfu¨gung erwartete Renditen von Ai , , An in einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft Volatilit¨aten von Ai , , An in einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft Korrelation von Ai , Aj mit i , j = 1, , 5 Kapital zur Verfu¨gung σ1, σ2, σ3, σ4, σ5 ρij 1 L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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5 Aktien in Trend-Volatilit¨ats-Diagramm L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Sei Y das allgemeine Portfolio Kombination von Ai mit i = 1, , 5 Y = x1A1 + x2A2 + x3A3 + x4A4 + x5A5 mit x1, , x5 Anteile von Kapital die in A1, , A5 investiert sind (σY , µY ) = GeoGebraBook Aktienportfolio: L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Opportunity Set der Kombination von 5 Aktien L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Wo liegen die “besten” Portfolios? L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Effizienzlinie und Portfolio mit minimaler Volatilit¨at der Kombination von 5 Aktien L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz

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Literatur: Hull, J. (2011). Risikomanagement. Banken, Versicherungen und andere Finanzistitutionen. Pearson. Schnid, F., Trede, M. (2006). Finanzmarktstatistik. Springer. Sharpe, W.F., Alexander, G.J. (1990). Investments. Prentice-Hall International Editions. Sydsaeter, K., Hammond, P. (2004). Mathematik fu¨r Wirtschaftswissenschaftler. Pearson Studium. L. Del Chicca, M. Hohenwarter, JKU, Linz