Fourier-Faltungs Formalismus Berechnung der gestreuten Amplitude mit Hilfe der Fourier-Transformation

Inhalt Gitterfunktion Strukturfaktor Formfaktor Quelle: pkibm16 D:\Unterricht_Krist\Skripten_Krist_II_Web_Versionen\VK2_Mathematik.doc, VK2_Beugung_per.doc

Fourier Transformierte der Dichte im Kristall Funktion Fourier-Transformierte Die Streuamplitude eines Kristalls ist das Produkt der Fourier-Tranformierten des Zellinhalts und der Gitterfunktion

Aufbau der Dichteverteilung im Kristall (R3) „Leeres“ Gitter Zellinhalt Kristallgitter Links: „Leeres“ Gitter mit einem „δ - Punkt“ in jeder Zelle

Faltung der Gitterfunktion mit dem Zellinhalt Vollständiges Gitter

Dichte in der Elementarzelle Cl-1 Cs+1 Dichte in einer Elementarzelle r=1,81 Å r=1,67 Å

Dichte in der Elementarzelle als Faltung Dichte des Atoms Nr. μ Zeiger zum Atom Nr. μ in der Zelle Dichte eine Atoms am Ort xμ in einer Elementarzelle: Faltung des Zeigers mit der Dichte Dichte in einer Elementarzelle: Summation über alle m Atome in der Zelle

Fourier-Transformierte Fourier-Transformierte der Dichteverteilung eines Atoms: Der Formfaktor Funktion Fourier-Transformierte Bezieht sich der Formfaktor auf Atome, dann wird er „Atomformfaktor“ genannt, bei den der Berechnung und bezieht sich auf kugelsymmetrische Atome Der Formfaktor ist allgemeiner definiert, er kann für beliebige geformte Moleküle oder Dichteverteilungen berechnet werden

Quellen zum Atom Formfaktor eU Atomformfaktor 1/m Betrag des Streuvektors Der „Atom formfaktor“ für kugelsymmetrische Atome ist für alle Atome, in Abhängigkeit von der Wellenlänge und des Ionisationszustands, in Form von Tabellen oder Koeffizienten eines Polynoms zugänglich Koeffizienten der „X-ray Scattering Factors“ http://www.isis.rl.ac.uk/ISISPublic/reference/Xray_scatfac.htm Korrekturen für anomale Dispersion: http://physics.nist.gov/PhysRefData/FFast/Text/cover.html

Fourier-Transformierte Fourier-Transformierte der Dichteverteilung einer Elementarzelle: Der Strukturfaktor Funktion Fourier-Transformierte

Der Strukturfaktor 1 eU Strukturfaktor Atomformfaktor 1 Koordinaten des Atom Nr. μ Reziproke Koordinaten Die Koordinaten xμ ,yμ ,zμ mit Dimension „1“ beziehen sich auf die Basisvektoren des Gitters Das dazu reziproke Gitter ist die Basis der h,k,l Koordinaten Der reziproke Vektor h mit den reziproken Koordinaten h,k,l ist der Streuvektor im Experiment, die Braggsche Gleichung verbindet h mit dem Streuwinkel 2θ

Fourier Transformierte der Dichte im Kristall Funktion Fourier-Transformierte Die Gitterfunktion G(h) verstärkt die Amplitude bei ganzzahligen h,k,l um den Faktor N1· N2 ·N3 Die Gitterfunktion wird in ungestörten Gittern nicht explizit genannt, sondern implizit berücksichtigt mit der Regel „Intensität nur bei ganzzahligen hkl“

Intensität im ungestörten Kristallgitter Die Gitterfunktion G(h) verstärkt die Amplitude bei ganzzahligen h,k,l um den Faktor N1, N2 , N3 An allen anderen Punkten des reziproken Raums ist die Intensität verschwindend gering Bei „ganzzahligen Indizes“ beobachtet man Intensität proportional zum Betragsquadrat des Strukturfaktors Deshalb ist der Strukturfaktor die zentrale Größe bei der Strukturbestimmung

Zusammenfassung Die Dichte im Kristall ist die Faltung aus der Dichte des leeren Gitters mit der einer Elementarzelle Aus der Fourier-Transformation des leeren Gitters folgt: Ungeheure Verstärkung bei ganzzahligen h,k,l, sonst Intensität praktisch null Die Fourier-Transformation des Zellinhalts ergibt den „Strukturfaktor“ Der Strukturfaktor enthält die Information über die Lage der Teilchen Der Atomformfaktor ist die Fourier-Transformierte der Dichteverteilung eines Atoms

finis Zellinhalt Gitterfunktion Vollständiges Gitter