Die Binomialverteilung Man werfe eine Münze n mal und zähle die Häufigkeit k, mit der dabei „Kopf“ oben liegt. n = 4 n = 8 n = 32 Diskrete Verteilung, die mit zunehmendem n normal wird

Die Binomialverteilung Man wiederhole ein Zufallsexperiment n mal und bestimme die Häufigkeit k, mit der ein bestimmtes Ereignis E eintritt. Es sei: Bei n Wiederholungen kann das Ereignis „k-mal E“ auf genau Weisen eintreten. Da sich die einzelnen n über k Folgen gegenseitig ausschliessen, folgt mit dem Additionssatz: [Tafel-Entwicklung] Multiplikationssatz der WKn für unabhängige Versuche & Additionssatz auf die disjunkten Folgen anwenden!

Die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung Die Wahrscheinlichkeit, daß höchstens k mal E auftritt, ist: Die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens k+1 mal E auftritt, ist: Binomialverteilung: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wahrscheinlichkeitsfunktion Definition: definiert die Wahrscheinlichkeitsfunktion, oder Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Binomialverteilung. Sie tritt auf bei der Betrachtung der Anzahl der Erfolge einer Folge von unabhängi-gen Versuchen (Bernoulli-Folge), wobei p die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs bei einem Versuch ist und q = 1- p gilt. n ist die Anzahl der Wiederholungen des Ver-suchs. p und n sind die beiden Parameter der Binomialverteilung Binomialverteilung: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung mit den Parametern p und n.

Verteilungsfunktion Definition: definiert die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung. Allgemein: Die Verteilungsfunktion ist die kumulierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für Erfolge bis zu einer oberen Schranke x an. Verteilungsfunktion: Kumulierte Wahrscheinlichkeitsdichte- funktion bis zu einer Grenze x.

Verteilungsfunktion für diskrete Variable Es gilt für diskrete Zufallsvariablen: Allgemeine Eigenschaften sind: Mit der Verteilungsfunktion kann man die Wahrscheinlichkeit für beliebige Intervalle der Zufallsvariable bestimmen.

Die Poissonverteilung Sind einzelne Ereignisse selten, so kann die Wahrscheinlichkeit statt mit der Binomialverteilung über die Poissonverteilung ausgedrückt werden. Gilt: So approximiert die Possonverteilung die Binomialverteilung gut. Die poissonverteilung hat nur den Parameter l, der sowohl Mittelwert wie Varianz beschreibt. Wahrscheinlichkeitsfunktion: Die Poissonverteilung ist eine einfache Alternative zur Binomialverteilung für Seltene Ereignisse.

Vergleich: Binomial - Poisson Für Fast exakte Übereinstimmung beider Verteilungen.

Die Normalverteilung 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 x 0.01 0.02 0.03 0.04 f (x) Die Normalverteilung (Gauss‘sche Glockenkurve) ist eine symmetrische Verteilung. Ihre Form ist durch die Standardabweichung und den Mittelwert eindeutig festgelegt. Sie resultiert aus dem Modell unabhängiger sich überlagernder Zufallsfehler („Galton-Brett“) [Tafelbeispiel Galton, Binomial]

Die Normalverteilung 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 x 0.25 0.5 0.75 1.0 F(x) Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung (Fläche unter der Normalkurve) kann man nicht auf eine geschlossene Form bringen. Sie ist aber für standardisierte Variablen (z-Standardisierung) austabelliert und elektronisch implementiert (z.B. in Excel).

Die Normalverteilung 68.26% 95.5% -3 -2 -1 1 2 3 0.1 0.2 0.3 0.4 z f(z) 95.5% -3 -2 -1 1 2 3 0.1 0.2 0.3 0.4 z f(z) Die Fläche unter der Kurve ist bei der Normalverteilung eine Funktion der Standardabweichung (in Einheiten von s angebbar) [Tabellenbenutzung, Excel, Aufgabenbeispiel zu IQ‘s]

z - Standardisierung f (z) 0.10 0.10 Wahrscheinlichkeitsdichte Wahrscheinlichkeitsdichte 0.05 0.05 z 0.00 0.00 -15 -10 -5 5 10 15 -3z -2z -1z 1z 2z 3z z - Standardisierung zur Überführung in Standardnormalverteilung

Wahrscheinlichkeitsbestimmung Verteilungsfunktion (Fläche der Dichtefunktion) zb za Eigenschaften  Benutze austabellierte Standardnormalverteilung

Approximation der Binomialverteilung Die Binomialverteilung hat ebenfalls Mittelwert und Varianz: Gilt so kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert werden. Dann gilt [Beispiele]

Fehler 1. und 2. Art H0 H1 Correct Rejection Miss (Fehler 2. Art) In der Population gilt H0 H1 Correct Rejection Miss (Fehler 2. Art) False Alarm (Fehler 1. Art) Hit H0 Entscheidung für H1 Hypothesenwahrscheinlichkeiten : bedingte WKn

Mittelwerteabstand aus WK Man klassifiziere man nach „Distraktor“ (H0) und „Target“ (H1) Tatsächlich gilt H0 H1 0.59 0.077 0.41 0.923 H0 Entscheidung für H1 1 1 Wie groß ist der Mittelwerteabstand der Likelihoodfunktionen ?

Mittelwerteabstand p = 0.59 z0 = F-1{0.59} = 0.23 Correct Rejection H0 – Verteilung: p = 0.59 z0 = F-1{0.59} = 0.23 Correct Rejection H1 – Verteilung: p = 0.59 z1 = F-1{0.077} = -1.43 Miss p = 0.077 z - Berechnung für jede einzelne Verteilung

Abstand in z- Standardisierung Es gilt: Ferner: Nun betrachte im z1 Wert den Abstand des Kriteriums k in Bezug auf m0: (standardisierter Abstand) Annahme: beide Likelihoodfunktionen haben dieselbe Varianz