Ch. 5: Tools in Probability Theory presented by Ulyana Hrynda

Wahrscheinlichkeiten Momente Bedingte Erwartungswerte Einige wichtigen Modelle Markov Processe and Ihre Bedeutung Konvergenz von Zufällsvariablen

- Umweltzustand - alle möglichen Umweltzustände - die Reihe aller möglichen Ereignissen Jedem Ereignis , wird eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet , wobei

Diskrete Zufallsvariable sind Zufallsvariable, die nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Ausprägungen besitzen*. Stetigen (kontinuierlichen) Zufallvariable sind Zufallsvariable, die zumindest in einem bestimmten Bereich der reellen Zahlen jeden beliebigen Zahlenwert annehmen*. (z.B. Länge eines aus einem Produktionslos zufällig ausgewählten Werkstücks, Zeitaufwand für die Lösung einer Aufgabe) * Bleymüller, Gehlert: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler. 12. Aufl, S.39

where B is the set made of all possible subsets of the real numbers R. A random variable is a function, a mapping, defined on the set . Given an event , a random variable will assume a particular numerical value. Thus we have: , where B is the set made of all possible subsets of the real numbers R. Distribution function is a mathematical model for the probabilities associated with a random variable :

Veteilungfunktionen: Diskrete Stetige Bernoulli Binomial DiscretUniform Geometrische Hypergeometrische LogSeries NegativBinomial Poisson Chi-Quadrat Exponential Normal Student F-Verteilung Lognormal Cauchy Gamma ExtremeValue Beta

Black-Scholes formula provides the theoretical price of so called European options on a security If the price changes of that security are log-normally distributed. BUT: there is an evidence that price changes are not log-normally distributed.

Fat tails can be modeled with so called Stable Distributions, also called Levy distributions and Levy-Pareto distributions. A Normal or Gaussian distribution is a special case of a stable distribution. The Cauchy distribution is another well known example of a stable distribution. In fact, the Gaussian and the Cauchy distributions are the only two stable distributions for which closed form mathematical formulas exist *. * http://www.economymodels.com/optcalc.asp

A stable distribution is controlled by four parameters: alpha - The alpha value ranges from 0 to 2 and measures the frequency of large moves. The lower the alpha value, the more large changes tend to occur. beta - The beta value ranges from -1 to 1 and measures the amount of skewness of the distribution. A distribution is skewed if large changes in one direction are more common than large changes in the other direction. A negative beta means that large negative changes are more common than large positive changes (and that small positive changes are more common than small negative changes). mean - The mean value measures the average change. spread - The spread measures the size of changes. It is closely related to the volatility, but volatility can only be calculated for Gaussian distributions.

Verteilung ? Leptokurtische Verteilung Standardextremwertverteilung

Moments: First moment (µ): mean or expected value µ= E [X] Second moment (σ): variance σ2 = E[(X-µ)2] Third moment (R): skewness (Schiefe) σ-3 E[(X-µ)3] Fourth moment (w+(4/3)R2): kurtosis (Wölbung) σ-4 E[(X-µ)4]-3

Diskret Stetig Mittelwert Erwartungswert Streuungsmaß Varianz

Bedingte Erwartungswerte – Erwartungswerte die werden unter Verwendung der Information bewertet . Allgemein gilt, dass die Informationen gesammelt werden und Individuum die Vergangenheitsinformationen nie vergisst:

Wenn eine Zufallsvariable mit der Dichtenfunktion ist, und wenn ein möglicher Wert dieser Zufallsvariable ist, dann für klein gilt: Das ist Wahrscheinlichkeit, dass in der Nähe von landet. Die Nähe ist durch „Distanz“ charakterisiert.

Bedingte Dichte ist wenn all die Wahrscheinlichkeiten auf dem Informationset basiert sind. , wenn von der abhängt , wenn unbedingt

Bedingter Erwartungs-Operator Bedingte Erwartung der Zufallsvariable vorausgesetzt die Information ist zum Zeitpunkt bekannt ist gegeben durch: , Notation:

Eigenschaften der bedingten Erwartungen Die bedingte Erwartung der Summe der zwei Zufallsvariablen ist die Summe der bedingten Erwartungen Eigenschaft der bedingten Erwartung ist es, dass die Erwartung der zukünftigen Erwartung gleich der heutigen Prognose ist :

Einige wichtigen Modelle Binomialverteilung Normalverteilung Poissonverteilung

Binomialverteilung 1. Für jeden Versuch es gibt nur zwei mögliche Ausgänge: uptick , downtick 2. Die Erfolgswahrscheinlichkeiten bzw. der beiden Ereignisse (up- o. downtick) sind konstant (d.h. ändern sich also von Versuch zu Versuch nicht): 3. Die einzelnen Versuche sind voneinander unabhängig

Preis einer Derivate ist gleich der Summe aller up- und downticks ab dem Zeitpunkt wenn , dann

Momente der Binomialverteilung Erwartungswert Varianz Schiefe Wölbung

Normalverteilung Beginnend von einem Zeitpunkt (unmittelbarer Zukunft), kann nur 2 möglichen Werte annehmen: mit der Wahrscheinlichkeit Daher ist selbst binomial im

Wir möchten untersuchen was mit der Verteilung der Zufallsvariable passiert, wenn und bleibt fix. Central Limit Theorem: in diesem Fall die Verteilung kann durch Normalverteilung mit dem Mittelwert und Varianz approximiert werden.

Poisson Verteilung ist ein Grenzfall der Binomialverteilung für eine große Zahl n von Versuchen (streng genommen ) und für eine sehr kleine Wahrscheinlichkeit des Auftreten eines Ereignisses (streng genommen )*. * Bleymüller, Gehlert: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler. 12. Aufl, S.55

Block 1: Mit die Werte werden immer kleiner und kleiner und deshalb die Varianz der neuen Information konvergiert zum 0. Block 2: Poissonverteilter Prozess besteht aus unabhängigen Sprüngen zum beliebigen Zeitpunkt. Für Poissonprozess dir Wahrscheinlichkeit eines Sprunges während des Zeitintervalls wird durch , wo die Intensität bezeichnet approximiert.

Im Gegensatz zur Normallverteilung, wo die Wahrscheinlichkeit einen Wert, der gleich 0 ist, zu bekommen ist Null; bei der Poissonverteilung, wenn klein ist, die Wahrscheinlichkeit wird wie folgt approximiert Die Wahrscheinlichkeit, dass während einen begrenzten Zeitintervall die Sprünge stattfinden werden ist gegeben durch:

Markov Prozess Ein Markov-Prozeß ist ein Prozeß, bei dem der Zustand zum Zeitpunkt nur vom Zustand zum Zeitpunkt t abhängt und nicht von früheren Zuständen. Ein diskreter Prozess, mit einer gemeinsamen Verteilungsfunktion, ist ein Markov Prozess wenn implizite bedingte Wahrscheinlichkeiten erfüllen: wo und ist durch Informationsset bedingte Wahrscheinlichkeit.

Multivariate Markov Prozesse Angenommen wird ein bivariater Prozess wo - „short rate“, - „long rate“ - unabhängige Fehler - konstante Koeffiziente

Convergence of Random Variables Mean Square Convergence (used to find approximations to values assumed by random variables) Weak Convergence (used to find approximation to the probabilities associated with the sequence , the distribution function of families of random variables)

Mean Square Convergence Es sei eine Reiehnfolge von Zufallsvariablen. konvergiert zum in Mittelquadrat wenn Laut dieser Definition, der zufällige approximierte Fehler ist folgend definiert die Varianz wird je kleiner desto mehr

Weak Convergence Es sei eine Zufallsvariable indexiert mit mit einer Verteilungsfunktion . Wir sagen, dass gegen schwach konvergiert und wo eine Verteilungsfunktion von ist wenn wo eine gebundene, kontinuierliche, wahr-geschätzte Funktion ist; ist Erwartung der Funktion unter Wahrscheinlichkeitsverteilung

Danke für Euere Aufmerksamkeit!