Der Satz des Pythagoras Der griechische Philosoph Pythagoras wurde um 570 v. Chr. auf der Insel Samos geboren und verstarb nach 510 v. Chr. in Süditalien, wohin er als Vierzigjähriger auswanderte. Ansonsten weiß man relativ wenig über sein Leben.
16 9 25 Bereits in der Antike wusste man, dass ein Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 rechtwinklig ist. 16 9 4 3 3 4 Schauen wir uns das etwas genauer an! 5 25 5 Aber 9 + 16 ergibt 25. Das bedeutet aber: Die beiden gelben Quadrate sind zusammen genauso groß wie das rote. Das kann doch kein Zufall sein!
a² b² a b b a c b a b a c² c b a
A = (a + b)² c² c² A = a² + 2ab + b² a + b Der Flächeninhalt des Quadrates mit dem roten Rand lässt sich berechnen: a b a + b A = (a + b)² b a c Hier kann man die 1. Binomische Formel anwenden: c² c² A = a² + 2ab + b² a c b b a
A = ½ a • b c² c² A = 4 • ½ a • b A = 2ab A = 2ab + c² Der Flächeninhalt eines der grünen Dreiecke beträgt: a b A = ½ a • b b a Die vier grünen Dreiecke haben also insgesamt eine Größe von: c c² c² A = 4 • ½ a • b Das lässt sich kürzen: a c b A = 2ab b a Der Flächeninhalt des Quadrates mit dem roten Rand lässt sich also auch so berechnen: A = 2ab + c²
c² c² A = a² + 2ab + b² A = 2ab + c² a² + 2ab + b² = 2ab + c² Der Flächeninhalt des Quadrates mit dem roten Rand lässt sich demnach auf zwei verschiedenen Wegen berechnen: A = a² + 2ab + b² A = 2ab + c² Daraus folgt: a² + 2ab + b² = 2ab + c² Wir subtrahieren auf beiden Seiten 2ab und erhalten: a² + b² = c²
a² b² c² Fassen wir zusammen: c b a In jedem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden gelben Quadrate zusammen genau so groß wie das rote Quadrat. Genauer formuliert: In jedem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Quadrate über den Katheten zusammen genau so groß wie das Quadrat über der Hypotenuse.
Dies besagt der Satz des Pythagoras: c b a a² b² c² Dies besagt der Satz des Pythagoras: In jedem rechtwinkligen Dreieck (mit den Katheten a und b sowie der Hypotenuse c) gilt: a² + b² = c²