Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“

Präsentation zum Thema: "Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“"—  Präsentation transkript:

1 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Diese Präsentation bietet einen Einstieg in den Themenbereich „Satz des Pythagoras“. Damit ist die Beziehung von Seiten in rechtwinkligen Dreiecken gemeint. In Ergänzung dieses Themas wird ebenso der „Satz des Thales“ dargestellt. Dieser Satz eignet sich besonders gut zur Konstruktion von rechtwinkligen Dreiecken. Er ist zudem hervorragend geeignet, das Verfahren eines „mathematischen Beweises“ zu verdeutlichen. Die Präsentation ist über die Homepage der Wilhelm-Raabe-Schule jederzeit frei zugänglich. Die Weitergabe bzw. Vervielfältigung der Präsentation ist ausdrücklich erlaubt. Selbstverständlich dürfen sich auch ELTERN bzw. NACHHILFELEHRKRÄFTE gern mit dieser Präsentation beschäftigen. Der Verfasser möchte alle Nutzer dazu ermutigen, sich ggf. zur Präsentation zu äußern und bittet darum, zu diesem Zweck die auf der Homepage der Wilhelm-Raabe-Schule angegebenen Kontaktmöglichkeiten zu nutzen. Bei der Herstellung der Präsentation wurde ausschließlich frei – kostenlos – zugängliche Software benutzt. WORD und EXCEL sind über OPEN-OFFICE verfügbar. DynaGeo steht für Angehörige der Wilhelm-Raabe-Schule ohnehin frei zur Verfügung. Auf dieser Homepage stehen weitere Beispiele klassischer euklidischer Geometrie – MÖNDCHEN DES HIPPOKRATES bzw. QUADRATUR DES KREISES – zur Verfügung.

2 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Jedes mathematische Verfahren hat im Grunde drei unterschiedliche Aspekte: Die mathematische Aussage (Satz) Der Beweis dieses Satzes Die Anwendung dieses Satzes (In aller Regel reicht es völlig aus, den Satz anwenden zu können. Das Verständnis des Beweises ist wünschenswert, aber nicht notwendig. Den Beweis selbst erbringen zu können, ist eine mathematische Spitzenleistung.)

3 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Die mathematische Aussage (Satz): In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden Quadrate über den Katheten genauso groß wie das Quadrat über der Hypotenuse. In der Abbildung () sehen wir das große blaue Quadrat über der Hypotenuse und die beiden roten Quadrate über den beiden Katheten.

4 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Dieser Satz wird im allgemeinen als „a² + b² = c²“ bezeichnet, wobei a und b die Namen der Katheten sind, c ist der Name der Hypotenuse.

5 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Merke: Die Hypotenuse ist grundsätzlich die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die Katheten sind immer kürzer als die Hypotenuse. Sie bilden den rechten Winkel im Dreieck.

6 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Hier sehen wir noch einmal das Dreieck und die mit a, b und c benannten Seiten. Es gilt die Gleichung: a² + b² = c²

7 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Bislang wissen wir nichts darüber, ob diese Behauptung stimmt oder nicht. Es gibt zwei Möglichkeiten, die Behauptung zu überprüfen: Die technische Lösung – dann müssten wir eine hinreichend große Anzahl rechtwinkliger Dreiecke ausmessen und die Quadrate prüfen. Die mathematische Lösung – dann müssten wir einen Weg finden, um ganz unabhängig von der bestimmten Form und Größe eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, dass die Behauptung stimmt.

8 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Hier ist eine technische Prüfanlage aufgebaut worden. Dabei ist die Länge der Hypotenuse und die Länge einer Kathete einstellbar. Die zweite Kathete wird gemessen; dann werden die Quadrate ausgerechnet. In der aktuellen Abbildung sehen wir a = 8,66 ; b = 2,79 und c = 9,1 . Demnach müsste gelten: 8,66² + 2,79² = 9,1² Bitte ausrechnen!

9 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Hier ist eine technische Prüfanlage aufgebaut worden. Dabei ist die Länge der Hypotenuse und die Länge einer Kathete einstellbar. Die zweite Kathete wird gemessen; dann werden die Quadrate ausgerechnet. In der aktuellen Abbildung sehen wir a = 8,66 ; b = 2,79 und c = 9,1 . Demnach müsste gelten: 8,66² + 2,79² = 9,1² Bitte ausrechnen: 75, ,78 = 82,81 Und für Techniker stimmt das. Genauer geht es eben nicht!

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BITTE SELBER NACHRECHNEN! – Für Techniker reicht das!

11 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Mathematiker rechnen nicht einfach blöde drauflos. Sie überlegen. Und dann zeichnen sie ein großes Quadrat, das in ein kleineres Quadrat und in vier Dreiecke unterteilt ist. Die vier Dreiecke sind alle gleich; es sind rechtwinklige Dreiecke, deren Hypotenusen des kleinere Quadrat bilden. Das kann man sich nur schwer vorstellen. Das muss man sehen. Okay!

12 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Vier grüne Dreiecke – alle sind gleich – alle sind rechtwinklig. Jeweils ein a und ein b bilden die Seitenlänge des großen Quadrates. Die Hypotenusen c bilden das rote Quadrat in der Mitte. Und jetzt wird gerechnet.

13 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Das große Quadrat hat die Seitenlänge a+b. Also ist die Fläche (a+b)². Ausgerechnet nach binomischer Formel: A = a² + 2ab + b² Das große Quadrat wird aus fünf Einzelteilen gebildet. Rotes Quadrat und vier grüne Dreiecke. Rotes Quadrat = c² Grünes Dreieck = 0,5 * ab Zusammen: A = c² + 2 * ab

14 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Wir haben also zwei Flächenberechnungen für dasselbe Quadrat A = a² + 2ab + b² und A = c² + 2ab Was gleich ist, kann gleichgesetzt werden: a² + 2ab + b² = c² + 2ab / subtrahiere 2ab a² + b² = c²

15 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Quod erat demonstrandum – q.e.d. Ein logischer, mathematischer oder ähnlicher Beweis wird traditionell mit den lateinischen Worten „“ (abgekürzt q. e. d.) respektive mit „“ (abgekürzt w. z. b. w.) abgeschlossen. Hinter einer Behauptung und vor dem Beweis heißt das Kürzel: „Was zu beweisen wäre“. Die wörtliche Übersetzung aus dem Lateinischen lautet eigentlich „was zu zeigen war“ bzw. „was bewiesen werden musste“ (siehe Gerundivum). Die Floskel ist eine Übersetzung des griechischen ὅπερ ἔδει δεῖξαι (hóper édei déixai), mit dem die griechischen Mathematiker, unter anderen Euklid (um 300 v. Chr.) und Archimedes, ihre Beweise abschlossen.

16 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Besonders wichtig: Der „Satz des Pythagoras“ lautet: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse genauso groß wie die Summe der Quadrate über den Katheten. Die Abkürzung dafür ist: a² + b² = c² Das bedeutet keineswegs, dass die Katheten immer nur a und b bzw. die Hypothenuse immer c heißen muss.

17 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
In diesem Fall ... gilt: John² + Hans² = Susi²

18 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Standardaufgaben: Gegeben sind die Katheten a = 5 cm und b = 12 cm. Berechne die Hypotenuse. Aus a² + b² = c² wird c² = a² + b² Formel c² = 5² + 12² Einsetzen c² = c² = Wurzel ziehen c = Ergebnis Antwort: Die Hypotenuse ist 13 cm lang.

19 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Standardaufgaben: Gegeben sind die Katheten a = 175 m und die Hypotenuse c = 380 m. Wie lang ist die zweite Kathete? Aus a² + b² = c² wird b² = c² - a² Formel b² = 380² - 175² Einsetzen b² = b² = Wurzel ziehen b = 337,31 Ergebnis Antwort: Die zweite Kathete ist 337,31 m lang.

20 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Grundlage jedes Lösungsgangs bei einer Sachaufgabe ist die Planfigur. In dieser Planfigur wird eingetragen, welche Größen vorhanden sind (grüne Kennzeichnung) und welche gesucht sind (rote Kennzeichnung). Und dann gilt: F(ormel) – E(insetzen) – E(rgebnis) Details dazu im Unterricht – bitte gut aufpassen!

21 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Bevor nun begonnen wird, einzelne Anwendungen des Satzes darzustellen, ein kurzer Blick auf den Satz des Thales: In einem Halbkreis bildet jeder Punkt auf dem Kreisbogen gemeinsam mit den beiden Enden des Durchmessers ein rechtwinkliges Dreieck. Auch diesen Satz begreift man bildlich besser.

22 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Die Punkte A und B sind die beiden Enden des Durchmessers. Gemeinsam mit C entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Der rechte Winkel liegt beim Punkt C auf dem Kreisbogen. Wird C auf dem Kreisbogen verschoben, so bleibt der rechte Winkel grundsätzlich erhalten. Siehe dazu die zusätzlichen Abbildungen.

23 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Dieser Satz ist wichtig, um kinderleicht und schnell rechtwinklige Dreiecke konstruieren zu können. Dieser Satz ist wichtig, weil die Beweisführung einen typischen mathematischen Gedanken-gang aufweist.

24 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
In dieser () Form ist gar nichts beweisbar. Das Dreieck muss zunächst zerlegt werden, um vorhandene mathematische Kenntnisse anwenden zu können. Wir verbinden die Mitte des Durchmessers mit dem Punkt C und haben damit das ursprüngliche Dreieck in zwei Dreiecke unterteilt.

25 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Das ursprüngliche Dreieck ist also durch die Linie von M nach C unterteilt worden. Wir haben jetzt zwei Dreiecke: ein Grünes und ein Blaues. Und diese beiden Dreiecke haben ein besondere Eigenschaft: Es sind beides gleich-schenklige Dreiecke, da jeweils zwei Seiten vom Radius des (Halb-)Kreises gebildet werden.

26 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Das sieht man hier genau: Alle roten Linien sind Radien!

27 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Und diese Eigenschaft ist sehr wichtig. Schließlich haben Dreiecke mit zwei gleichen Seiten – nämlich den beiden Radien – grundsätzlich auch zwei gleiche Winkel. Und um Winkel geht es ja beim Satz des Thales.

28 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Um mit den Winkeln arbeiten zu können, müssen sie Namen bekommen. Gleiche Winkel bekommen natürlich auch gleiche Namen.

29 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
... und das sieht so aus:

30 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Jetzt sind alle Aussagen in mathematischer Form ganz einfach aufschreibbar: Die Behauptung lautet jetzt: w1 + w2 = 90° (Satz des Thales) Dazu ist folgendes bekannt: 2*w1 + w3 = 180° 2*w2 + w4 = 180°

31 Mathematik 9. Jahrgang: Der weltberühmte „Satz des Pythagoras“
Jetzt muss gerechnet werden: Wir addieren die beiden Dreiecke 2*w1 + w3 = 180° 2*w2 + w4 = 180° und erhalten 2*w1 + w3 + 2*w2 + w4 = °

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Hier kommt die Rechnung, denn ... ... diese Gleichung kann vereinfacht werden: 2*w1 + 2*w2 + w3 + w4 = ° und jetzt schau auf die Zeichnung w3 + w4 = 180° also: 2*w1 + 2*w ° = ° (auf beiden Seiten also 180° abziehen) 2*w1 + 2*w = ° (auf beiden Seiten durch 2 teilen) w w2 = 90°

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Quod erat demonstrandum – q.e.d. Ein logischer, mathematischer oder ähnlicher Beweis wird traditionell mit den lateinischen Worten „“ (abgekürzt q. e. d.) respektive mit „“ (abgekürzt w. z. b. w.) abgeschlossen. Hinter einer Behauptung und vor dem Beweis heißt das Kürzel: „Was zu beweisen wäre“. Die wörtliche Übersetzung aus dem Lateinischen lautet eigentlich „was zu zeigen war“ bzw. „was bewiesen werden musste“ (siehe Gerundivum). Die Floskel ist eine Übersetzung des griechischen ὅπερ ἔδει δεῖξαι (hóper édei déixai), mit dem die griechischen Mathematiker, unter anderen Euklid (um 300 v. Chr.) und Archimedes, ihre Beweise abschlossen.