Elementare Grundlagen der Vektorrechnung Kursfolien Karin Haenelt 08.11.00

Definition: Vektor Vektoren sind Größen, die durch - Betrag - Richtungsangabe bestimmt sind Das geometrische Bild eines physikalischen Vektors ist ein Pfeil mit der Richtung des Vektors, dessen Länge den Betrag des Vektors repräsentiert. (Weltner, 1999, 15) 08.11.00

Bezeichnungen Repräsentant eines Vektors Bezeichnung eines Vektors Bezeichnung eines Vektors mit Anfangspunkt A und Endpunkt B Einheitsvektor, Vektor mit dem Betrag einer Längeneinheit Einheitsvektor der Länge 1 in x-Richtung 08.11.00

Komponentendarstellung Angaben zur Konstruktion eines Vektors: Das benutzte Koordinatensystem Die Komponenten des Vektors in Richtung der Koordinatenachsen z az a y ay ax x (Weltner, 1999, 24) 08.11.00

Addition – geometrisch (1) b b b a a a Parallel- Vektor verschiebung bis Anfangspunkt Vektor = Endpunkt Vektor b b a Vektor - Summe von und - Anfangspunkt = Anfangspunkt von - Endpunkt = Endpunkt von c a b a b (Weltner, 1999, 16) 08.11.00

Addition – geometrisch (2) Summenvektor Resultante 08.11.00

Addition – Komponentenschreibweise y -2 -1 1 2 3 x 08.11.00

Multiplikation mit einem Skalar 08.11.00

Betrag – zweidimensionaler V. x y ay ax Betrag = Länge des Pfeils c a b Satz des Pythagoras „Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypothenuse“ 08.11.00

Betrag – dreidimensionaler V. z az a y ay ax x 08.11.00

Skalarprodukt - geometrische Deutung (1) Skalarprodukt: Multiplikation der Beträge zweier Vektoren unter Berücksichtigung der Richtungs- abhängigkeit der Vektoren ergibt eine skalare Größe Schreibweisen: 08.11.00

Skalarprodukt - geometrische Deutung (2) Das skalare Produkt zweier Vektoren und ist gleich dem Produkt aus dem Betrag des Vektors und dem Betrag der Projektion von auf a b a b a b a a (Weltner, 1999, 39) 08.11.00

Skalarprodukt - Komponentendarstellung Skalares Produkt der Einheitsvektoren Herleitung (Weltner, 1999, 41) 08.11.00

Skalarprodukt - Beispiel (Weltner, 1999, 42) 08.11.00

Trigonometrische Ausdrücke b a x y ay ax a 08.11.00

Beispielaufgabe Es soll der Winkel zwischen den Vektoren r1 = -6i + 8j r2 = 3i – 4j + 12k berechnet werden Leupold, 1976, 495) 08.11.00

Lösung der Beispielaufgabe Aus folgt (Leupold, 1976, 495) 08.11.00

Formeln Addition Multiplikation mit Skalar Skalar- produkt Betrag 08.11.00

Literatur Leupold, Wilhelm (1976): Vektoralgebra. In: Birnbaum, H.; Götzke, H.; Kreul, H.; Leupold, W.; Müller, F.; Müller, P.H.; Nickel, H.; Sachs, H. (Hrsg.): Algebra und Geometrie für Ingenieure. Leipzig, VEB Fachbuchverlag, 1976. S. 463-525. SchülerDuden Mathematik II. Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich: DudenVerlag, 2000 Weltner, Klaus (1999): Mathematik für Physiker. Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik. Wiesbaden: Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH. 11. Aufl. 1999 08.11.00