Lösung von Optimierungsaufgaben in der Unternehmensplanung Simplex-Algorithmus Herzlich Willkommen... Lösung von Optimierungsaufgaben in der Unternehmensplanung ... zur Informationsveranstaltung über die EDV-gestütze Umsetzung des Simplex- Algorithmus Team: Jörn Buchheister Michael Ewald Jürgen Heckele Michael Laier Stephan Reinartz Mathias Wachter

Historie und Allgemeines Simplex-Algorithmus Inhalt Historie und Allgemeines Einführung und Funktionsweise Sonderfälle Lösung mit Visual Basic und Excel Beispielberechnungen

Simplex-Algorithmus Historie und Allgemeines Lineare Programmierung (LP) beschreibt Verfahren zur Lösung komplexer mathematischer Probleme (z.B. Kapazitätsberechnungen in der UP) LP wurde bereits in den vierziger Jahren von unterschiedlichen Mathematikern entwickelt Simplex ist ein Verfahren innerhalb der LP das sehr häufig verwendet wird “Das Verständnis der Simplex-Methode erfodert auch keine höheren Kenntnisse von der Mathematik....” (Quelle: Müller-Merbach, Operations Research)

Simplex-Algorithmus Einführung und Funktionsweise 1. Ein Beispiel Gewinnfunktion: G = 300 x1 + 500 x2 - 36.000 Nebenbedingungen: NB 1: x1 + 2x2 <= 170 NB 2: x1 + x2 <= 150 NB 3: 3x2 <= 180 Die Nichtnegativitätsbedingung: alle xi >= 0 1. Lösungsansatz: “Probieren” Nachteil: - Unsicherheit über optimale Lösung - Zahlenchaos: keine größeren Projekte ermittelbar - nicht per EDV verarbeitbar hoher Zeitaufwand Fazit: in der Praxis schlecht einsetzbar

Simplex-Algorithmus Einführung und Funktionsweise 2. Lösungsansatz: grafische Darstellung Einzeichnen: - Restriktionen und Zielfunktion - unzulässige Bereiche werden gekennzeichnet Nachteil: - nur im 2-dimesionalen Raum anwendbar - genaue Werte können nur schwer ermittelt werden Fazit: kann nur zur Visualisierung dienen 3. Lösungsansatz: Simplex Tableau Nebenbedingungen: NB 1: x1 + 2x2 <= 170 NB 2: x1 + x2 <= 150 NB 3: 3x2 <= 180 Gewinnfunktion: G = 300 x1 + 500 x2 - 36.000 (Ausgangsbeispiel) x1 + 2x2 + x3 = 170 x1 + x2 + x4 = 150 3x2 + x5 = 180 -G + 300x1 + 500x2 = 36.000 Umformung der Ungleichungen in Gleichungen durch Einführung von Schlupfvariablen

Simplex-Algorithmus } } Einführung und Funktionsweise 3. Lösungsansatz: Simplex-Tableau Spaltenindex j x1 x2 ai2 2 1 - 500 x1 x5 Tableau nach der ersten Umformung (Iteration): 6000 -G x3 x4 x2 300 50 1 90 60 -500/3 -2/3 -1/3 1/3 } 36000 - 500 * 60 = 6000 -G 300 500 36000 Zeilenindex i x3 } 1 - 2 * 0 = 1 1 2 170 x4 1 1 150 r: Pivotzeile x5 3 180 Pivotelement s: Pivotspalte a3*j 60 -

Simplex-Algorithmus Sonderfälle 1. unbeschränkter Bereich Bei der Auswahl der Pivotzeile sind alle Quotienten negativ oder gleich null und somit nicht zulässig. Problem: Es existiert keine endliche Lösung (Keine Kapazitätsrestriktionen, x1 kann also ins Unendliche vergrößert werden) Lösung: sorgfältigeres Aufstellen der Gleichungen

Simplex-Algorithmus Sonderfälle 2. primale Entartung Wenn bei Bestimmung der Pivotzeile mehrere gleiche kleinste Quotienten auftauchen Problem: bei zufälliger Auswahl der Pivotzeile kann sich eine Endlosberechnung ergeben (Zyklus) Lösung: Durch die zufällige Auswahl unter den Minimalwerten der Quotienten wird sichergestellt, daß ein Verlassen des Zyklus möglich ist.

Simplex-Algorithmus Sonderfälle 3. unzulässige Ausgangslösung Negative Werte in der Kapazitätsspalte bei den Mindestrestriktionen Problem: durch zusätzliche Nebenbedingungen wird der zulässige Bereich stark eingeschränkt Lösung: durch Umstellen des Ausgangstableaus in mehreren Phasen sowie ein anschließendes Lösungsverfahren kann die optimale Lösung gefunden werden

Simplex-Algorithmus Lösung mit Visual Basic und Excel Microsoft Excel Microsoft Visual Basic - grafische Darstellung - Eignung für zwei Nichtbasisvariablen - Eignung für drei Basisvariablen - grafische Darstellung - Berechnung mit mehr als 2 Variablen - Berücksichtigung aller Sonderfälle