Gleichung und ihre Lösung

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1 Gleichung und ihre Lösung
LU10: Verpackte Zahlen 1 Gleichung und ihre Lösung Gleichung Eine Gleichung ist ein mathematischer Aus-druck, der aus zwei Termen besteht, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Term Term Beispiel (1) ∙ (3x + 7) = -6 + x Lösung Ergeben die beiden Terme links und rechts des Gleichheitszeichen denselben Wert, wenn man eine bestimmte Zahl für die Variable (die 'Un-bekannte') in die Gleichung einsetzt, so nennt man diese Zahl die Lösung der Gleichung. Beispiel x = -4 ist die Lösung von (1), da: 2 ∙ (3 ∙ (-4) + 7) = -6 + (-4) 2 ∙ (-5) = -10

2 LU10: Verpackte Zahlen 2 Äquivalenzumformung Mit Hilfe von Äquivalenzumformungen (äquivalent = gleich-wertig) bringt man Gleichungen in eine immer einfachere Form, bis man die Lösung direkt ablesen kann. Äquivalenz-umformungen ändern die Lösung einer Gleichung nicht. Äquivalenzumformung 9x + 12 = 3 ∙ (x – 2) | TV 1. Termvereinfachung Erlaubt 2. Auf beiden Seiten dieselben Terme addieren oder subtrahieren 9x + 12 = 3x - 6 | -3x 3. Auf beiden Seiten dieselben Zahlen addieren oder subtrahieren 6x + 12 = - 6 | -12 4. Auf beiden Seiten mit derselben Zahl multiplizieren oder dividieren 6x = - 18 | :6 x = - 3 Verboten Beide Seiten mit null multiplizieren oder durch null dividieren

3 Lösbar, unlösbar, allgemeingültig
LU10: Verpackte Zahlen 3 Lösbar, unlösbar, allgemeingültig lösbar: eine (oder mehrere) Lösungen unlösbar: keine Lösung allgemeingültig: be-liebig viele Lösungen 0,2x – 1 = 3 | +1 2x – 1 = 2x | -2x 2(x+1) = 2x+2 | TV 0,2x = 4 | ∙5 – 1 = 0 2x+2 = 2x+2 | -2x x = 20 falsche Aussage 2 = 2 L = {20} L ={ } wahre Aussage L = Q Lösungsmenge Die Lösungs-menge ist leer! Die Lösungsmenge umfasst alle Zahlen der Grundmenge (z.B. die rationale Zahlen)

4 Berechne zuerst x und gib dann die Lösungsmenge an!
LU10: Verpackte Zahlen 4 Beispiele Berechne zuerst x und gib dann die Lösungsmenge an! 1. 2x – 18 = 0 x = 9 L = {9} – 6x = 12 x = 3 L = {3} 3. 5x - 1 = 2x + 1 x = L = 4. 3(x+2) = 3x falsche Aussage L = { } 5. x2 = 50 : 2 x1, 2 = 5, -5 L = {-5, 5} 6. 4(x + 0,5) = 2 + 4x wahre Aussage L = Q