Verschlüsselung nach dem RSA-Verfahren

Verschlüsselung nach dem RSA-Verfahren
Adi Shamir, Ronald Rivest und Leonard Adleman 1977 (von links nach rechts) StD März, März 2012

Einwegfunktionen Das RSA-Verfahren ist ein rein mathematisches Verfahren und daher nicht so anschaulich darstellbar wie das Vigenère-Verfahren. Der wesentliche Punkt ist die Verwendung von Einwegfunktionen. Darunter sind umkehrbare Funktionen zu verstehen, bei denen die Umkehrfunktion wesentlich schwerer zu berechnen ist, als die Funktion selbst. StD März, März 2012

Vorüberlegungen StD März, März 2012

Einwegfunktionen Das Berechnen einer Potenz ist leichter als die Umkehrung mittels des Logarithmus. Ke = G <=> K = loge G e: Exponent (nicht Eulersche Zahl) K: Kodiertes Zeichen des Klartextes, z.B: 65 für A (ASCII) G: Kodiertes Zeichen des Geheimtextes StD März, März 2012

Einwegfunktionen Ist ein multiplikativ Inverses d des Exponenten e bekannt (d · e = 1), so ist die Berechnung von K aus G dagegen sehr einfach. Gd = (Ke) d = Ke·d = K1 = K Die (schwierige) Berechnung von K aus G mit Hilfe des Logarithmus wurde ersetzt durch die einfachere Potenzierung mit dem (geheimen) Wert d. StD März, März 2012

Einwegfunktionen Das Grundprinzip einer assymetrischen Verschlüsselung ist gefunden: Verschlüsseln durch Potenzieren mit dem öffentlichen Schlüssel e: G = Ke Entschlüsseln durch Potenzieren mit dem geheimen Schlüssel d: Gd = K StD März, März 2012

Einwegfunktionen Wichtig ist dabei natürlich, dass es praktisch unmöglich ist die Umkehrung der Verschlüsselungsfunktion zu berechnen. aus dem öffentlichen Schlüssel auf den geheimen Schlüssel zu schliessen. Bei unserem einfachen Beispiel ist das selbstverständlich noch nicht erfüllt. StD März, März 2012

Verwendung von Divisionsresten
Durch die Verwendung von Divisionsresten, sogenannter modulo-Operationen kann das Ziel der praktischen Unumkehrbarkeit erreicht werden. Beispiel: Wähle zwei Zahlen, z.B. 8 und 7. Multipliziere die beiden Zahlen Bilde den Rest bei Division durch 10. (8 * 7 ) mod 10 = 6 Versuche nun aus dem Ergebnis 6 auf die beiden ursprünglichen Zahlen zu schliessen. 6 = (2 * 3 ) mod = (4 * 9 ) mod 10 6 = (8 * 7 ) mod 10 6 = (23 * 2 ) mod 10 6 = (11 * 6 ) mod 10 6 = (12 * 113 ) mod 10 ? StD März, März 2012

Kombination Die Kombination der beiden Methoden – Potenzierung und modulo-Operationen – führt zu einem sicheren assymetrischen Verfahren. Klett, Informatik 5: „…Während die Berechnung wkPub mod (p·q), das sogenannte modulare Potenzieren, etwa 1000 Rechenschritte erfordert, sind für die Umkehrfunktion, das sogenannte diskrete Logarithmieren, bis zu Schritte erforderlich.“ Wie lange dauern wohl Schritte bei einer Rate von 1 Milliarde oder sogar 1 Billion Operationen pro Sekunde? StD März, März 2012

RSA StD März, März 2012

RSA 1977 wurde RSA, das erste öffentlich zugängliche asymmetrische Verschlüsselungsverfahren, veröffentlicht. Der Name RSA steht für die Anfangsbuchstaben der Familiennamen der drei Mathematiker am MIT (Massachusetts Institute of Technology), Ronald L. Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman, die RSA entwickelten. Adi Shamir, Ronald Rivest und Leonard Adleman 2003 (von links nach rechts) StD März, März 2012

RSA Erzeugung der Schlüssel
StD März, März 2012

Erzeugung von privatem und öffentlichem Schlüssel
Der öffentliche Schlüssel ist das Zahlenpaar (e,N), der private Schlüssel das Zahlenpaar (d,N), wobei N bei beiden Schlüsseln gleich ist. N: RSA-Modul, e: Verschlüsselungsexponent d: Entschlüsselungsexponent StD März, März 2012

Wähle zufällig und stochastisch unabhängig zwei unterschiedliche Primzahlen p und q. (In der Praxis erzeugt man dazu so lange Zahlen der gewünschten Länge und führt mit diesen anschließend einen Primzahltest durch, bis man zwei Primzahlen gefunden hat.) Beispiel: Zur Demonstration wählen wir die beiden Mersenne-Primzahlen p = 27-1 = 127 und q = = (Diese beiden Primzahlen dienen nur der Demonstration und entsprechen nicht den genannten Bedingungen. Sie sind für praktische Anwendung auch viel zu klein.) StD März, März 2012

Berechne den RSA-Modul N = p·q Im Beispiel: N = 127 · = Berechne die Eulersche φ - Funktion von N: φ (N) = ( p – 1 )·( q – 1 ) Im Beispiel: φ (N) = 126 · = StD März, März 2012

Wähle eine zu φ (N) teilerfremde Zahl e, für die gilt 1 < e < φ (N). Aus Effizienzgründen wird e klein gewählt, üblich ist e = Kleinere Werte von können zu Angriffsmöglichkeiten führen. Im Beispiel: Zur Demonstration wählen wir e = Willkürliche Wahl einer Primzahl, daher teilerfremd zu φ (N). StD März, März 2012

Berechne den Entschlüsselungsexponenten d als multiplikativ Inverses von e bezüglich des Moduls φ (N). Es soll also gelten: e · d = 1 mod φ (N) Die Berechnung erfolgt mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus. Im Beispiel: Es muss gelten: e · d + k · φ (N) = 1 = ggT( e, φ (N) ) (wg. Teilerfremdheit) konkret: · d + k · = ggT(1.013, ) StD März, März 2012

Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Fortgesetzte Division mit Rest: φ (N) = 1018 * e e = 1 * 706 = 2 * 307 = 3 * 92 = 2 * 31 = 1 * 30 = 30 * (ggT = 1 – muss wegen Teilerfremdheit so sein) Berechne den Entschlüsselungsexponenten d als multiplikativ Inverses von e bezüglich des Moduls φ (N). Es soll also gelten: e · d = 1 mod φ (N) Die Berechnung erfolgt mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus. Im Beispiel: Es muss gelten: e · d + k · φ (N) = 1 = ggT( e, φ (N) ) (wg. Teilerfremdheit) konkret: · d + k · = ggT(1.013, ) StD März, März 2012

Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Fortgesetzte Division mit Rest: φ (N) = 1018 * e e = 1 * 706 = 2 * 307 = 3 * 92 = 2 * 31 = 1 * 30 = 30 * (ggT = 1 – muss wegen Teilerfremdheit so sein) Berechne den Entschlüsselungsexponenten d als multiplikativ Inverses von e bezüglich des Moduls φ (N). Es soll also gelten: e · d = 1 mod φ (N) Die Berechnung erfolgt mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus. Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Bestimmung der Linearkombination: 1 = 1 * * 30 Im Beispiel: Es muss gelten: e · d + k · φ (N) = 1 = ggT( e, φ (N) ) (wg. Teilerfremdheit) konkret: · d + k · = ggT(1.013, ) StD März, März 2012

Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Fortgesetzte Division mit Rest: φ (N) = 1018 * e e = 1 * 706 = 2 * 307 = 3 * 92 = 2 * 31 = 1 * 30 = 30 * (ggT = 1 – muss wegen Teilerfremdheit so sein) Berechne den Entschlüsselungsexponenten d als multiplikativ Inverses von e bezüglich des Moduls φ (N). Es soll also gelten: e · d = 1 mod φ (N) Die Berechnung erfolgt mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus. Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Bestimmung der Linearkombination: 1 = 1 * * 30 1 = 1 * * ( * 31) Im Beispiel: Es muss gelten: e · d + k · φ (N) = 1 = ggT( e, φ (N) ) (wg. Teilerfremdheit) konkret: · d + k · = ggT(1.013, ) StD März, März 2012

Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Fortgesetzte Division mit Rest: φ (N) = 1018 * e e = 1 * 706 = 2 * 307 = 3 * 92 = 2 * 31 = 1 * 30 = 30 * (ggT = 1 – muss wegen Teilerfremdheit so sein) Berechne den Entschlüsselungsexponenten d als multiplikativ Inverses von e bezüglich des Moduls φ (N). Es soll also gelten: e · d = 1 mod φ (N) Die Berechnung erfolgt mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus. Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Bestimmung der Linearkombination: 1 = 1 * * 30 1 = 1 * * ( * 31) 1 = -1 * * 31 Im Beispiel: Es muss gelten: e · d + k · φ (N) = 1 = ggT( e, φ (N) ) (wg. Teilerfremdheit) konkret: · d + k · = ggT(1.013, ) StD März, März 2012

Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Fortgesetzte Division mit Rest: φ (N) = 1018 * e e = 1 * 706 = 2 * 307 = 3 * 92 = 2 * 31 = 1 * 30 = 30 * (ggT = 1 – muss wegen Teilerfremdheit so sein) Berechne den Entschlüsselungsexponenten d als multiplikativ Inverses von e bezüglich des Moduls φ (N). Es soll also gelten: e · d = 1 mod φ (N) Die Berechnung erfolgt mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus. Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Bestimmung der Linearkombination: 1 = 1 * * 30 1 = 1 * * ( * 31) 1 = -1 * * 31 1 = -1 * * ( * 92 ) Im Beispiel: Es muss gelten: e · d + k · φ (N) = 1 = ggT( e, φ (N) ) (wg. Teilerfremdheit) konkret: · d + k · = ggT(1.013, ) StD März, März 2012

Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Fortgesetzte Division mit Rest: φ (N) = 1018 * e e = 1 * 706 = 2 * 307 = 3 * 92 = 2 * 31 = 1 * 30 = 30 * (ggT = 1 – muss wegen Teilerfremdheit so sein) Berechne den Entschlüsselungsexponenten d als multiplikativ Inverses von e bezüglich des Moduls φ (N). Es soll also gelten: e · d = 1 mod φ (N) Die Berechnung erfolgt mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus. Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Bestimmung der Linearkombination: 1 = 1 * * 30 1 = 1 * * ( * 31) 1 = -1 * * 31 1 = -1 * * ( * 92 ) 1 = 3 * * 92 Im Beispiel: Es muss gelten: e · d + k · φ (N) = 1 = ggT( e, φ (N) ) (wg. Teilerfremdheit) konkret: · d + k · = ggT(1.013, ) StD März, März 2012

Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Fortgesetzte Division mit Rest: φ (N) = 1018 * e e = 1 * 706 = 2 * 307 = 3 * 92 = 2 * 31 = 1 * 30 = 30 * (ggT = 1 – muss wegen Teilerfremdheit so sein) Berechne den Entschlüsselungsexponenten d als multiplikativ Inverses von e bezüglich des Moduls φ (N). Es soll also gelten: e · d = 1 mod φ (N) Die Berechnung erfolgt mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus. Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Bestimmung der Linearkombination: 1 = 1 * * 30 1 = 1 * * ( * 31) 1 = -1 * * 31 1 = -1 * * ( * 92 ) 1 = 3 * * 92 1 = 3 * * ( * 307 ) Im Beispiel: Es muss gelten: e · d + k · φ (N) = 1 = ggT( e, φ (N) ) (wg. Teilerfremdheit) konkret: · d + k · = ggT(1.013, ) StD März, März 2012

Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Fortgesetzte Division mit Rest: φ (N) = 1018 * e e = 1 * 706 = 2 * 307 = 3 * 92 = 2 * 31 = 1 * 30 = 30 * (ggT = 1 – muss wegen Teilerfremdheit so sein) Berechne den Entschlüsselungsexponenten d als multiplikativ Inverses von e bezüglich des Moduls φ (N). Es soll also gelten: e · d = 1 mod φ (N) Die Berechnung erfolgt mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus. Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Bestimmung der Linearkombination: 1 = 1 * * 30 1 = 1 * * ( * 31) 1 = -1 * * 31 1 = -1 * * ( * 92 ) 1 = 3 * * 92 1 = 3 * * ( * 307 ) 1 = -10 * * 307 Im Beispiel: Es muss gelten: e · d + k · φ (N) = 1 = ggT( e, φ (N) ) (wg. Teilerfremdheit) konkret: · d + k · = ggT(1.013, ) StD März, März 2012

Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Fortgesetzte Division mit Rest: φ (N) = 1018 * e e = 1 * 706 = 2 * 307 = 3 * 92 = 2 * 31 = 1 * 30 = 30 * (ggT = 1 – muss wegen Teilerfremdheit so sein) Berechne den Entschlüsselungsexponenten d als multiplikativ Inverses von e bezüglich des Moduls φ (N). Es soll also gelten: e · d = 1 mod φ (N) Die Berechnung erfolgt mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus. Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Bestimmung der Linearkombination: 1 = 1 * * 30 1 = 1 * * ( * 31) 1 = -1 * * 31 1 = -1 * * ( * 92 ) 1 = 3 * * 92 1 = 3 * * ( * 307 ) 1 = -10 * * 307 1 = -10 * * (e - 1 * 706 ) Im Beispiel: Es muss gelten: e · d + k · φ (N) = 1 = ggT( e, φ (N) ) (wg. Teilerfremdheit) konkret: · d + k · = ggT(1.013, ) StD März, März 2012

Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Fortgesetzte Division mit Rest: φ (N) = 1018 * e e = 1 * 706 = 2 * 307 = 3 * 92 = 2 * 31 = 1 * 30 = 30 * (ggT = 1 – muss wegen Teilerfremdheit so sein) Berechne den Entschlüsselungsexponenten d als multiplikativ Inverses von e bezüglich des Moduls φ (N). Es soll also gelten: e · d = 1 mod φ (N) Die Berechnung erfolgt mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus. Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Bestimmung der Linearkombination: 1 = 1 * * 30 1 = 1 * * ( * 31) 1 = -1 * * 31 1 = -1 * * ( * 92 ) 1 = 3 * * 92 1 = 3 * * ( * 307 ) 1 = -10 * * 307 1 = -10 * * (e - 1 * 706 ) 1 = 23 * e - 33 * 706 Im Beispiel: Es muss gelten: e · d + k · φ (N) = 1 = ggT( e, φ (N) ) (wg. Teilerfremdheit) konkret: · d + k · = ggT(1.013, ) StD März, März 2012

Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Fortgesetzte Division mit Rest: φ (N) = 1018 * e e = 1 * 706 = 2 * 307 = 3 * 92 = 2 * 31 = 1 * 30 = 30 * (ggT = 1 – muss wegen Teilerfremdheit so sein) Berechne den Entschlüsselungsexponenten d als multiplikativ Inverses von e bezüglich des Moduls φ (N). Es soll also gelten: e · d = 1 mod φ (N) Die Berechnung erfolgt mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus. Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Bestimmung der Linearkombination: 1 = 1 * * 30 1 = 1 * * ( * 31) 1 = -1 * * 31 1 = -1 * * ( * 92 ) 1 = 3 * * 92 1 = 3 * * ( * 307 ) 1 = -10 * * 307 1 = -10 * * (e - 1 * 706 ) 1 = 23 * e - 33 * 706 1 = 23 * e - 33 * (φ (N) * e ) Im Beispiel: Es muss gelten: e · d + k · φ (N) = 1 = ggT( e, φ (N) ) (wg. Teilerfremdheit) konkret: · d + k · = ggT(1.013, ) StD März, März 2012

Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Fortgesetzte Division mit Rest: φ (N) = 1018 * e e = 1 * 706 = 2 * 307 = 3 * 92 = 2 * 31 = 1 * 30 = 30 * (ggT = 1 – muss wegen Teilerfremdheit so sein) Berechne den Entschlüsselungsexponenten d als multiplikativ Inverses von e bezüglich des Moduls φ (N). Es soll also gelten: e · d = 1 mod φ (N) Die Berechnung erfolgt mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus. Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Bestimmung der Linearkombination: 1 = 1 * * 30 1 = 1 * * ( * 31) 1 = -1 * * 31 1 = -1 * * ( * 92 ) 1 = 3 * * 92 1 = 3 * * ( * 307 ) 1 = -10 * * 307 1 = -10 * * (e - 1 * 706 ) 1 = 23 * e - 33 * 706 1 = 23 * e - 33 * (φ (N) * e ) 1 = - 33 * φ (N) * e Im Beispiel: Es muss gelten: e · d + k · φ (N) = 1 = ggT( e, φ (N) ) (wg. Teilerfremdheit) konkret: · d + k · = ggT(1.013, ) StD März, März 2012

Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Fortgesetzte Division mit Rest: φ (N) = 1018 * e e = 1 * 706 = 2 * 307 = 3 * 92 = 2 * 31 = 1 * 30 = 30 * (ggT = 1 – muss wegen Teilerfremdheit so sein) Berechne den Entschlüsselungsexponenten d als multiplikativ Inverses von e bezüglich des Moduls φ (N). Es soll also gelten: e · d = 1 mod φ (N) Die Berechnung erfolgt mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus. Erweiterter Euklidischer Algorithmus: Bestimmung der Linearkombination: 1 = 1 * * 30 1 = 1 * * ( * 31) 1 = -1 * * 31 1 = -1 * * ( * 92 ) 1 = 3 * * 92 1 = 3 * * ( * 307 ) 1 = -10 * * 307 1 = -10 * * (e - 1 * 706 ) 1 = 23 * e - 33 * 706 1 = 23 * e - 33 * (φ (N) * e ) 1 = - 33 * φ (N) * e d Im Beispiel: Es muss gelten: e · d + k · φ (N) = 1 = ggT( e, φ (N) ) (wg. Teilerfremdheit) konkret: · d + k · = ggT(1.013, ) StD März, März 2012

Durch Kombination der Zahlen e und d mit dem RSA-Modul N können die Schlüssel gebildet werden: Der öffentliche Schlüssel (public key) ist das Zahlenpaar (e,N) Der private Schlüssel (private key) ist das Zahlenpaar (d,N) Im Beispiel: public key: (1.013, ) private key: (33617, ) StD März, März 2012

Sicherheit Das RSA-Modul N ist als Teil des öffentlichen Schlüssels allgemein bekannt. Wäre es nun leicht möglich, N in seine beiden Primfaktoren zu zerlegen, wäre die Berechnung des geheimen Schlüssels kein Problem. Die Sicherheit des Verfahrens steht und fällt daher mit der Möglichkeit bzw. Unmöglichkeit Primfaktorisierungen effizient zu berechnen. StD März, März 2012

RSA Kodierung StD März, März 2012

Aufbereitung des Klartexts
67: C 68: D 69: E 70: F 71: G 72: H 73: I 74: J 75: K 76: L 77: M 78: N 79: O 80: P 81: Q 82: R 83: S 84: T 85: U 86: V 87: W 88: X 89: Y 90: Z Der Klartext muss in Zahlen umgesetzt werden. Geeignet ist z.B. der ASCII-Code (A:65, B:66,….). Klartext: FKG, WÜRZBURG Aufbereitung: F K G W U E R Z B U R G Umsetzung: Aufspaltung: StD März, März 2012

Anwendung des öffentlichen Schlüssels
Um eine Nachricht K zu verschlüsseln, verwendet der Absender die Formel (modulare Potenzierung) C = Ke mod N und erhält so aus dem Klartext K den Geheimtext C. K muss dabei kleiner sein als der RSA-Modul N. Im Beispiel: mod = mod = mod = mod = (Die Rechnungen können mit ARIBAS nachvollzogen werden.) StD März, März 2012

Interpretation des Geheimtextes
Der Geheimtext stellt keinen Text im eigentlichen Sinne dar. So ist z.B. 09 kein druckbares Zeichen. ASCII-Codes unter 32 stellen Steuerzeichen z.B. für die Ansteuerung eines Druckers dar. 09 entspricht einem Tabulator, ein Drucker wurde also einen Tabulatorsprung machen. Weitere: 10 LineFeed, 13 CarriageReturn etc. Der Geheim"text" ist also lediglich ein Datenstrom, ein Bitmuster. StD März, März 2012

RSA Dekodierung StD März, März 2012

Entschlüsseln mit dem privaten Schlüssel
Der Geheimtext C kann durch modulare Potenzierung wieder zum Klartext K entschlüsselt werden. Der Empfänger benutzt die Formel K = Cd mod N mit dem nur ihm bekannten Wert d sowie N. Im Beispiel: mod = mod = mod = mod = (Die Rechnungen können mit ARIBAS nachvollzogen werden.) StD März, März 2012

Rekonstruktion des Klartextes
66: B 67: C 68: D 69: E 70: F 71: G 72: H 73: I 74: J 75: K 76: L 77: M 78: N 79: O 80: P 81: Q 82: R 83: S 84: T 85: U 86: V 87: W 88: X 89: Y 90: Z Das Bitmuster wird in zweistellige Zahlen aufgeteilt und mittels ASCII-Code wieder als Text geschrieben. Geheimtext: Aufbereitung: Umsetzung: F K G W U E R Z B U R G Klartext: FKG, WÜRZBURG StD März, März 2012

RSA Assymetrie StD März, März 2012

„Entschlüsseln“ mit dem öffentlichen Schlüssel
Die Anwendung des öffentlichen Schlüssels zu einem Entschlüsselungsversuch, etwa mittels K = Ce mod N führt nicht zum Ziel. Im Beispiel: mod = ergäbe B]\ statt FKG ! (Die Rechnung kann mit ARIBAS nachvollzogen werden.) StD März, März 2012

Sicherheit Das dargestellte Verfahren dient zur Demonstration. Es erfüllt bei Weitem nicht die heutigen Ansprüche an sichere Datenübertragung und wird in der Praxis nicht wie oben beschrieben eingesetzt, da es mehrere Schwächen hat. Mögliche Angriffspunkte und Verbesserungen sind im Artikel "RSA-Kryptosystem" der Wikipedia beschrieben StD März, März 2012

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