Optimierung unter Nebenbedingungen

Präsentation zum Thema: "Optimierung unter Nebenbedingungen"—  Präsentation transkript:

1 Optimierung unter Nebenbedingungen
Die Methode von Lagrange Zseby, Analysis, Kap. 4

2 4.3 Optimierung unter Nebenbedingungen (Lagrange)
4.3.0 Aufgabenstellung Gewinnmaximierung mit begrenzten Mitteln Kostenminimierung bei vorgegebenem Ertrag Zseby, Analysis, Kap. 4

3 4.3.1 Grafische Darstellung
Das Minimum ist dadurch gekennzeichnet, daß an dieser Stelle die Nebenbedingung eine Höhenlinie der Zielfunktion berührt. Mit anderen Worten: Beide Steigungen stimmen an dieser Stelle überein. Zseby, Analysis, Kap. 4

4 4.3.2 Steigungen und partielle Ableitungen
Die Steigungen der Höhenlinien von f ( x , y ) und g ( x , y ) lassen sich mit Hilfe der partiellen Ableitungen ausdrücken. Beispiel: z=10 bzw. z=20 Zseby, Analysis, Kap. 4

5 Steigung der Höhenlinien:
Beispiel: Steigung der Höhenlinien: Steigung der Nebenbedingung: Zseby, Analysis, Kap. 4

6 4.3.3 Optimalitätsbedingung
Aus der Gleichheit der Steigungen erhält man oder umgeformt: "Lagrangescher Multiplikator" Zseby, Analysis, Kap. 4

7 4.3.4 Gleichungssystem zur Ermittlung des Optimums
(1) (2) (3) Zseby, Analysis, Kap. 4

8 Anwendung auf das Beispiel:
(1) (2) (3) Zseby, Analysis, Kap. 4

9 4.3.5 Interpretation des Lagrangeschen Multiplikators l
Wenn die Nebenbedingung um einen (kleinen) Betrag gelockert wird, läßt sich das Optimum um das |l| -fache dieses Betrages verbessern. Im Beispiel ist |l| = 1 . Wir lockern die Nebenbedingung um den Betrag 0.01, indem wir x + y = (statt 1) fordern. Dann erhalten wir die Lösung Die Verbesserung beträgt tatsächlich |l| = 0.01 , da das Minimum von 0.50 auf 0.49 verringert werden konnte. Zseby, Analysis, Kap. 4

10 Lagrange-Funktion (0) (1) (2) (3) Zseby, Analysis, Kap. 4

11 Beispiel: Dose, minimale Kosten
Zseby, Analysis, Kap. 4

12 Beispiel: Dose, minimale Kosten
Zseby, Analysis, Kap. 4

13 Beispiel: Dose, minimale Kosten
Zseby, Analysis, Kap. 4

14 Beispiel: Dose, minimale Kosten
Zseby, Analysis, Kap. 4

15 Beispiel: Dose, minimale Kosten
a = Kosten Etikett [€/cm2] b = Kosten Blech [€/cm2] Zseby, Analysis, Kap. 4