Wärmeleitungs- gleichung Winkler Hannes Jerabek Hansjörg Vogler Christoph
Inhaltsübersicht Theorie FreeFem Lösung Crank-Nicolson Verfahren Tridiagonalmatrix FreeFem Implementierung des Problems Lösung Verschiedene Orts- und Zeitdiskretisierungen
Theorie Wärmeleitungsgleichung Taylor-Reihe
Theorie Orts- und Zeitdiskretisierung Differenzengleichung Ort: x = i * ∆x , i =1,2,…., L/∆x Zeit: t = n * ∆t , n =1,2,…., T/∆t Differenzengleichung explizites Eulerverfahren
Theorie Crank Nicolson Verfahren (implizit) Differenzengleichung
Theorie Crank Nicolson Verfahren
Theorie Crank Nicolson Verfahren Lineares Gleichungssystem
Theorie Crank Nicolson Verfahren Tridiagonalmatrix
Theorie Lösung des Gleichungssystems
Theorie Lösung des Gleichungssystems Rekursionsvorschrift Lösungsvektor Rekursionsvorschrift Koeffizienten aus Betrachtung der letzten Zeile: αI=0, βI=0
Theorie Lösung des Gleichungssystems Berechnung der αi und βi Berechnung von u1 Berechnung der restlichen ui
Wärmeleitungsgleichung Randbedingungen
Finite-Element-Methode
FreeFem-Umsetzung Definition eines Basisfunktionengitters Mesh Th Deklaration eines Finite-Element-Raumes fespace Vh(Th,P1) Definition der Problemstellung problem Waermeleitungsgleichung(u,w)
FreeFem-Umsetzung Definition der Integrale Definition Dirichlet-Randbedingung border Dirichlet(t=0,1){ x=L; y=t; } on(Dirchlet,u=uRand ) Definition Neumann-Randbedingung border Neumann(t=0,1){ x=0; y=t; } int1d(Th,Neumann) (gu*w)
Lösungen Zeitvariationen dt = 0.01 dt = 0.1
Lösungen Zeitvariationen dt = 1 dt = 5
Lösungen Ortsauflösungsvariationen mesh = 3 mesh = 5
Lösungen Ortsauflösungsvariationen mesh = 10 mesh = 20
Lösungen Ortsauflösungsvariationen mesh = 20 mesh = 30