§20 Der Rang einer Matrix Jede (m,n)-Matrix kann auch als ein n-Tupel von Spaltenvektoren geschrieben werden: wobei (20.1) Definition:

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1 §20 Der Rang einer Matrix Jede (m,n)-Matrix kann auch als ein n-Tupel von Spaltenvektoren geschrieben werden: wobei (20.1) Definition: Der Spaltenrang von A ist srg(A) := rg {A1, A2, ... , An} = dim Span {A1, A2, ... , An} . Bemerkung: Sei (b1, b2, ... , bn) eine geordnete Basis von V, sei (e1, e2, ... , em) die Standardeinheitsbasis von Km und sei f = f(A,b,e) die durch A definierte lineare Abbildung von V nach Km .

2 Kapitel IV, §20 Dann gilt f(bj) = Aj . Denn wegen ist
Also ist der Spaltenrang von A gleich dem Rang der linearen Abbildung f : srg A = dim Span {A1, A2, ... , An} = dim Im f = rg f , da Span {A1, A2, ... , An} = Im f . Analog: Jede (m,n)-Matrix kann auch als ein m-Tupel von Zeilenvektoren geschrieben werden:

3 Kapitel IV, §20 (20.2) Definition: Der Zeilenrang von A ist
zrg(A) := rg {A1, A2, ... , Am} = dim Span {A1, A2, ... , Am} . Wir werden zeigen, dass für eine Matrix A stets srg(A) = zrg(A) gilt, dass man also von dem Rang einer Matrix sprechen kann. Als wichtiges Hilfsmittel und auch für andere Zwecke wird die Transponierte AT zu einer Matrix benötigt: (20.3) Definition: Sei eine (m,n)-Matrix über dem Körper K . Die zu A transponierte Matrix AT – eine (n,m)-Matrix – ist durch definiert. Beispiel: Ein Spaltenvektor X aus Km mit den Komponenten Xj aus K ist in der Matrixnotation auch als Element von Kmx1 aufzufassen. XT = (X1, X2, ... , Xm) ist dann der entsprechende Zeilenvektor in K1xm, wie schon gelegentlich benutzt.

4 Kapitel IV, §20 (20.4) Satz: Die Abbildung
ist linear und bijektiv, also ein Isomorphismus. Es gilt (AT)T = A . (20.5) Satz: srg(A) = zrg(A) Zu dem Beweis brauchen wir den Hilfssatz: (20.6) Hilfssatz: Sei A eine (m,n)-Matrix. A* gehe aus durch eine Vertauschung von zwei Spalten oder von zwei Zeilen hervor. Dann gilt: srg(A) = srg(A*) und zrg(A) = zrg(A*) . (20.7) Definition: Der Rang rg(A) einer (m,n)-Matrix A ist der Spaltenrang oder der Zeilenrang von A. Kurz: rg(A) := srg(A) = zrg(A) (20.8) Korollar: Für eine (m,n)-Matrix A gilt:

5 Kapitel IV, §20 (20.9) Definition: Elementare Umformungen. Sei A eine (m,n)-Matrix. Zu den elementaren Umformungen von A gehören: 1o Addition einer Spalte von A zu einer anderen Spalte von A. 2o Multiplikation einer Spalte von A mit einem von Null verschiedenen Skalar aus K. 3o Addition einer Zeile von A zu einer anderen Zeile von A. 4o Multiplikation einer Spalte von A mit einem von Null verschiedenen Skalar aus K. Eine elementare Umformung von A ist jede Hintereinanderaus-führung von endlich vielen der Umformungen 1o-4o. Zu den elementaren Umformungen von A gehören insbesondere die Vertauschungen von Spalten und damit beliebige Permutationen. Ebenso: Permutationen von Zeilen. (20.10) Satz: Bei elementaren Umformungen ändert sich der Rang einer Matrix nicht.

6 Kapitel IV, §20 Mit diesem Invarianzsatz hat man ein wichtiges und effektives Rechenverfahren zur Ermittlung des Ranges einer Matrix zur Hand. (20.11) Satz: Jede (m,n)-Matrix A kann durch elementare Umformungen auf die Form gebracht werden mit r = rg(A). Hier wird die „Kästchenschreibweise“ benutzt; und E(r) ist die (r,r)-Matrix mit lauter „Einsen“ in der Diagonalen und lauter „Nullen“ sonst. Bemerkung: Der Rang einer Matrix ist inbesondere für lineare Gleichungssysteme von Bedeutung, vgl. die Sätze 16.5 – 16.8 !