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Berechnung des Fixverktors bei stochastischen Matrizen
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Beispiel Drei große Mobilfunkanbieter teilen sich den gesamten Markt in einem Land. Der Anteil der Handybesitzer, die bei der Firma Alpha (A) einen Vertrag haben, liegt bei x%, der Anteil der Firma Beta (B) bei y% und der von Gamma (C) liegt bei z%. Das Veränderungsverhalten der Verbraucher am Ende eines Jahres zeigt die folgende Tabelle: Wie müssen die Anfangsanteile aussehen, damit die Verteilung stabil bleibt? 0,2 0,4 0,32 0,15 0,5 0,11 0,65 0,1 0,57 ∙ 𝑥 𝑦 𝑧 = 𝑥 𝑦 𝑧 0,2∙𝑥+0,4∙𝑦+0,32∙𝑧 0,15∙𝑥+0,5∙𝑦+0,11∙𝑧 0,65∙𝑥+0,1∙𝑦+0,57∙𝑧 = 𝑥 𝑦 𝑧 0,2∙𝑥+0,4∙𝑦+0,32∙𝑧=𝑥 0,15∙𝑥+0,5∙𝑦+0,11∙𝑧=𝑦 0,65∙𝑥+0,1∙𝑦+0,57∙𝑧=𝑧 𝑥+𝑦+𝑧=1
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Lösung des linearen Gleichungssystems:
0,2∙𝑥+0,4∙𝑦+0,32∙𝑧=𝑥 0,15∙𝑥+0,5∙𝑦+0,11∙𝑧=𝑦 𝑥+𝑦+𝑧=1 −x −y III −0,8∙𝑥+0,4∙𝑦+0,32∙𝑧=0 0,15∙𝑥−0,5∙𝑦+0,11∙𝑧=0 𝑥+𝑦+𝑧=1 ∙50 ∙40 ∙ −40∙𝑥+20∙𝑦+16∙𝑧=0 6∙𝑥−20∙𝑦+4,4∙𝑧=0 20𝑥+20∙𝑦+20∙𝑧=20 I+II II II+III −34𝑥+20,4∙𝑧=0 6∙𝑥−20∙𝑦+4,4∙𝑧=0 26∙𝑥+24,4∙𝑧=20 ∙26 II ∙ −884𝑥+530,4∙𝑧=0 6∙𝑥−20∙𝑦+4,4∙𝑧=0 884∙𝑥+829,6∙𝑧=680 I+III II III 1360∙𝑧=680 6∙𝑥−20∙𝑦+4,4∙𝑧=0 884∙𝑥+1224∙𝑧= 𝑥=0,3 𝑦=0,2 𝑧=0,5 Wenn der Anteil der Firma Alpha (A) bei 30%, der Anteil der Firma Beta (B) bei 20% und der von Gamma (C) bei 50% liegt, dann ist die Verteilung stationär.
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