Zu Kap I.8.3. Formale Lösung mit Greenscher Funktion

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1 Zu Kap I.8.3. Formale Lösung mit Greenscher Funktion
Erinnerung: heißt eine Greensche Fktn. des Operators , falls dann wird die Poisson-Gleichung für beliebige gelöst durch

2 Beispiel: ist Greensche Funktion mit Dirichlet-Randbedingung
ist partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung ()

3 G0 ist partikuläre Lösung der inhomogenen Gl. ()
also: allgemeine Lösung zu () lautet mit F  allgemeine Lösg. der homogenen Gl. zu (), d. h. (F ist eine harmonische Funktion) F muss so gewählt werden, dass Randbedingungen erfüllt werden!

4 ℝ Randwertproblem: Gebiete , z.B. Metallkörper Lösung gesucht auf ,
mit (Dirichlet) oder (von Neumann) vorgegeben (Randbedingungen). F (und somit G) sollen nur von Geometrie von abhängen Lösung soll als Integral über und Randbedingungen formuliert werden

5 Bemerkung: Bestimmung von F (für beliebige ) i.a. schwierig; nur in Spezialfällen ( Symmetrien) analytisch machbar (z.B. durch Spiegelladungsmethode, s.o.) Falls überhaupt ein F existiert, ist es eindeutig (wegen Eindeutigkeitssatz, s.o.) Konstruktion ist rein formal, aber für theoretische Untersuchungen von großer Bedeutung und Aussagekraft Setze nun voraus: F, G sind für das Gebiet bekannt Unsere Aufgabe: Konstruktion der Lösung 