Numerische Simulation des Stofftransports

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1 Numerische Simulation des Stofftransports
Olaf A. Cirpka, Eawag W+T Wolfgang Kinzelbach, ETH IfU

2 Advektions-Dispersionsgleichung
Massen- und Volumenbilanz einer infinitesimal schmalen Flussscheibe Transportgleichung nach Einsetzen

3 Integrale Betrachtungsweise
J: Massenflussdichte [kg/s/m2]

4 Stationäre Strömung ohne laterale Zu-/Abflüsse
Geometrie an Querschnitten i  1/2 gegeben:  Vi = x · (Ai-1/2 + Ai+1/2)/2 Primäre Unbekannte: Konzentration ci in Zelle i Dispersion: Gradient an i  1/2? Advektion: Welche Konzentration an i  1/2? Zeitliche Integration?

5 Dispersion: Ermittlung von Gradienten
Differenzenquotient statt Differentialquotient: i i + 1 c Tatsächliche Konzentration Zellenmittelwert x

6 Advektion: Konzentration am Interface
Upwind: ci+1/2 = ci Downwind: ci+1/2 = ci+1 Zentrale Differenzen: ci+1/2 =(ci + ci+1)/2 c u i i + 1

7 Zentrale Differenzen ci+1/2 =(ci + ci+1)/2
Pro: Genauer im Sinne einer Taylorreihen-Analyse Contra: Oszillationen  negative Konzentrationen

8 Oszillationen durch Zentrale Differenzen
Richtig i - 2 i - 1 i i + 1 i + 2

9 Oszillationen durch Zentrale Differenzen
Falsch! Müsste abnehmen. u Richtig i - 2 i - 1 i i + 1 i + 2

10 Oszillationen durch Zentrale Differenzen
Simulation des advektiven Transports mit zentralen Differenzen erzeugt nachlaufende Oszillationen c Falsch! Müsste abnehmen. Völlig Falsch! Führt zu negativer Konzentration u Richtig i - 2 i - 1 i i + 1 i + 2

11 Upwind Differenzen ci+1/2 = ci bei positiver Geschwindigkeit
ci+1/2 = ci+1 bei negativer Geschwindigkeit Pro: Keine Oszillationen Contra: Numerische Dispersion

12 Verhinderung von Oszillationen durch Upwind-Differenzen
Richtig i - 2 i - 1 i i + 1 i + 2

13 Verhinderung von Oszillationen durch Upwind-Differenzen
Richtig u Richtig i - 2 i - 1 i i + 1 i + 2

14 Verhinderung von Oszillationen durch Upwind-Differenzen
Richtig u Richtig Richtig i - 2 i - 1 i i + 1 i + 2

15 Numerische Dispersion durch Upwind-Differenzen
i - 2 i - 1 i i + 1 i + 2

16 Numerische Dispersion durch Upwind-Differenzen
i - 2 i - 1 i i + 1 i + 2

17 Numerische Dispersion durch Upwind-Differenzen
Mittelwertbildung in den Zellen führt zu verschmierten Konzentrationsverteilungen  sieht aus wie Dispersion c Mittelwert in Jeder Zelle u i - 2 i - 1 i i + 1 i + 2

18 Numerische Fehler in der Simulation der Advektion
Oszillationen Negative Konzentrationen sind unphysikalisch, führen zu “erstaunlichem” Reaktionsverhalten (z.B. Zunahme statt Abnahme) oder zu Instabilität (z.B. unendliche Raten) Numerische Dispersion führt zu falscher Mischung von Stoffen und damit zu überhöhten Reaktionsraten.

19 The Easy Way Out Approximationsfehler hängen von der Diskretisierung ab Feine Auflösung hilft immer Zentrale Differenzen: Gitter-Peclet-Zahl<2 (Pe = uΔx/D) verhindert negative Konzentrationen Upwind Differenzen: Numerischer Dispersionkoeffizient ist proportional zur Gitterweite Δx

20 Slope Limiter Verfahren (Godunov-Verfahren höherer Ordnung)
Rekonstruktion der räumlichen Konzen-trationsverteilung innerhalb der Zellen Es dürfen keine neuen Extrema auftreten Exakte Lösung des Riemann-Problems Mittelwert-Bildung in den Zellen

21 Godunov Verfahren mit “Minmod” Limiter
Anfangsverteilung

22 Godunov Verfahren mit “Minmod” Limiter
Lineare Interpolation

23 Godunov Verfahren mit “Minmod” Limiter
Wähle kleineren Gradienten (bei Extrema null Gradient)

24 Godunov Verfahren mit “Minmod” Limiter
Exakte Lösung

25 Godunov Verfahren mit “Minmod” Limiter
Exakte Lösung Mittelung in Zellen

26 “Minmod” Limiter Mittlere Konzentration in Zelle i: ci
Gradient in Zelle i: si Gitterweite: x Konzentrationsverteilung in Zelle i:

27 Zeitliche Integration
Explizites Euler-Verfahren Massenflüsse werden ausschließlich zum alten Zeitpunkt ermittelt Sehr schnell Erfordert Limitierung der Zeitschrittweite Implizites Euler-Verfahren Massenflüsse werden (partiell) zum neuen Zeitpunkt ermittelt Erfordert Lösung großer Systeme linearer Gleichungen

28 Zeitliche Integration
Semidiskretisierung Partielle DGL wird nur im Raum diskretisiert Führt zu System gewöhnlicher DGL’n Verwendung von DGL-Lösern (ode solver) Hier behandelt: Explizites Euler-Verfahren

29 Explizites Euler-Verfahren (mit Upwind Differenzen)
Rechte Seite enthält ausschließlich Konzentrationen zum alten Zeitpunkt. Jede Zelle kann unabhängig berechnet werden.

30 Explizite Integration des advektiven Transports mit “Minmod” Limiter

31 Zeitschrittbegrenzung durch Advektion
Courant-Friedrich-Lax Kriterium x 1 i i+1 i-1

32 Zeitschrittbegrenzung durch Advektion
Courant-Friedrich-Lax Kriterium 1 Courant Zahl x i-1 i i+1

33 Optimale Zeitschrittweite für explizite Integration der Advektion
Cr = 1 Konzentrationen werden genau um eine Zelle verschoben Exakte Lösung Erfordert unregelmäßige Gitterabstände bei ungleichförmiger Strömung Nicht realisierbar bei instationärer Strömung mit ortsfestem Gitter

34 Zeitschrittbegrenzung durch Dispersion
Neumann Kriterium x 1 i i+1 i-1

35 Zeitschrittbegrenzung durch Dispersion
Neumann Kriterium 1/3 Neumann Zahl x i-1 i i+1

36 Maximale Zeitschrittweite für explizite Integration der Dispersion
Ne < 1/3 Extrema werden nicht umgekehrt Ne < 1/2 Es gibt keine negativen Konzentrationen Grundsätzlich gilt: Je kleiner der Zeitschritt, umso genauer die explizite Berechnung der Dispersion

37 Anfangswertproblem nach Semidiskretisierung
Definiere Konzentration am Interface Benötigt Anfangsbedingung c(t=0) Integriere mit DGL-Löser (z.B. Runge-Kutta, Adams-Bashforth, Gear)

38 Vergleich der Diskretisierungsverfahren für die Advektion

39 Anwendung auf den 1D Transport in Flüssen
Dispersionskoeffizient ist vergleichsweise groß (im Gegensatz zum Grundwasser) Deswegen kann bei ausreichend feiner Diskretisierung zentrale Differenzen für die Advektion gewagt werden Bei gleichförmigem Abfluss: Upwind-Differenzen mit Cr = 1 und explizite Zeitintegration