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Prรคsentation zum Thema: ""โ€” ย Prรคsentation transkript:

334 E-Mail: klaus_messner@web.de, Internet: www.elearning-freiburg.de
Zusatzthemen Funktionsscharen Ortskurven Extremwertaufgaben Bedienung des GTR Internet:

335 Funktionsscharen Eine Funktion, die neben dem รผblichen Parameter ๐‘ฅ noch einen zweiten Parameter besitzt, bezeichnet man als eine Funktionsschar. Der zweite Parameter wird zumeist mit ๐‘ก oder ๐‘› bezeichnet. Beispiele: ๐‘“ ๐‘ก ๐‘ฅ = ๐‘’ ๐‘ก๐‘ฅ ; ๐‘ก>0 ๐‘” ๐‘› ๐‘ฅ =๐‘›โ‹…sin ๐‘ฅ ; ๐‘›โˆˆโ„

336 Funktionsscharen Einzelne Funktionen einer Schar bekommt man durch Einsetzen eines konkreten Werts fรผr den zweiten Parameter. Beispiel: ๐‘“ ๐‘ก ๐‘ฅ =๐‘ก๐‘ฅโ‹… ๐‘’ ๐‘ฅ ๐‘ก , ๐‘ก>0 Fรผr Funktionsscharen stellen sich dieselben Fragen wie bei einfachen Funktionen: Ableitungen Hoch-, Tief- und Wendepunkte Nullstellen ... ๐‘ฆ ๐‘“ ๐‘ก ๐‘ฅ =๐‘ก๐‘ฅโ‹… ๐‘’ ๐‘ฅ ๐‘ก ๐‘“ 1 ๐‘ฅ ๐‘ฅ ๐‘“ 2 ๐‘ฅ ๐‘“ 3 ๐‘ฅ ๐‘“ 4 ๐‘ฅ ๐‘” ๐‘ฅ

337 Berechnungen mit Funktionsscharen
Bei Rechenoperationen, wie z.B. beim Ableiten wird der Para- meter wie ein konkreter Zahlenwert behandelt! Beispiele: ๐‘“ ๐‘ก ๐‘ฅ = ๐‘ก๐‘ฅ 2 โ‡’๐‘“ โ€ฒ ๐‘ก ๐‘ฅ =2๐‘ก๐‘ฅ ๐‘” ๐‘› ๐‘ฅ =sin ๐‘›๐‘ฅ โ‡’๐‘” โ€ฒ ๐‘› ๐‘ฅ =๐‘›cos ๐‘›๐‘ฅ Aufgaben: Bilden Sie die Ableitung der beiden folgenden Funktionsscharen und bestimmen Sie die Extrempunkte. ๐‘“ ๐‘ก ๐‘ฅ = ๐‘ฅ+๐‘ก 3 +2t ๐‘“ ๐‘ก ๐‘ฅ =๐‘ก๐‘ฅโ‹… ๐‘’ ๐‘ฅ ๐‘ก

338 Ortskurven Wenn man charakteristische Punkte, etwa Hoch- oder Tief- punkte zu jeder einzelnen Funktion der Schar einzeichnet und diese verbindet so erhรคlt man eine neue Kurve, die Ortskurve der Hoch- oder Tiefpunkte. Zuweilen wird in den Abi-Aufgaben gefordert, einen Funktionsterm fรผr die Ortskurve der Hoch- oder Tief- punkte zu finden. ๐‘ฆ ๐‘“ ๐‘ก ๐‘ฅ =๐‘ก๐‘ฅโ‹… ๐‘’ ๐‘ฅ ๐‘ก ๐‘“ 1 ๐‘ฅ ๐‘ฅ ๐‘“ 2 ๐‘ฅ ๐‘“ 3 ๐‘ฅ ๐‘“ 4 ๐‘ฅ ๐‘” ๐‘ฅ

339 Rechenbeispiel Gesucht ist die Ortskurve der Tiefpunkte der Funktionenschar ๐‘“ ๐‘ก ๐‘ฅ =๐‘ก๐‘ฅโ‹… ๐‘’ ๐‘ฅ ๐‘ก . Lรถsung: Bestimme zunรคchst die ersten beiden Ableitungen ๐‘“ โ€ฒ ๐‘ก ๐‘ฅ =๐‘กโ‹… ๐‘’ ๐‘ฅ ๐‘ก +๐‘ก๐‘ฅโ‹… ๐‘’ ๐‘ฅ ๐‘ก โ‹… 1 ๐‘ก = ๐‘’ ๐‘ฅ ๐‘ก ๐‘ก+๐‘ฅ ๐‘“ ๐‘ก โ€ฒโ€ฒ ๐‘ฅ = 1 ๐‘ก ๐‘’ ๐‘ฅ ๐‘ก ๐‘ก+๐‘ฅ + ๐‘’ ๐‘ฅ ๐‘ก = ๐‘’ ๐‘ฅ ๐‘ก 1 ๐‘ก ๐‘ก+๐‘ฅ +1 Setze wie รผblich ๐‘“ โ€ฒ ๐‘ก ๐‘ฅ =0, um die Kandidaten fรผr die Tiefpunkte zu finden.

340 ๐‘“ โ€ฒ ๐‘ก ๐‘ฅ = ๐‘’ ๐‘ฅ ๐‘ก ๐‘ก+๐‘ฅ ๐‘“ ๐‘ก โ€ฒโ€ฒ ๐‘ฅ = ๐‘’ ๐‘ฅ ๐‘ก 1 ๐‘ก ๐‘ก+๐‘ฅ +1 Rechenbeispiel ๐‘“ โ€ฒ ๐‘ก ๐‘ฅ = ๐‘’ ๐‘ฅ ๐‘ก ๐‘ก+๐‘ฅ =0 folgt ๐‘ฅ=โˆ’๐‘ก Eingesetzt in ๐‘“ ๐‘ก โ€ฒโ€ฒ ๐‘ฅ folgt: ๐‘“ ๐‘ก โ€ฒโ€ฒ โˆ’๐‘ก = ๐‘’ โˆ’1 >0 โ‡’ Tiefpunkt. Eingesetzt in ๐‘“ ๐‘ก ๐‘ฅ folgt: ๐‘“ ๐‘ก โˆ’๐‘ก =โˆ’ ๐‘ก 2 ๐‘’ โˆ’1 =โˆ’ ๐‘ก 2 ๐‘’ . Damit ergibt sich die Menge der Tiefpunkte zu ๐‘‡๐‘ƒ ๐‘ก โˆ’๐‘ก โˆ’ ๐‘ก 2 ๐‘’ . ๐‘ฅ=โˆ’๐‘ก lรถst man nun nach ๐‘ก auf und erhรคlt ๐‘ก=โˆ’๐‘ฅ. Den Parameter setzt man in die ๐‘ฆ-Koordinate und erhรคlt die Ortskurve: ๐‘ฆ=โˆ’ โˆ’๐‘ฅ 2 ๐‘’ =โˆ’ ๐‘ฅ 2 ๐‘’ . Ergbnis: Die Ortskurve der Tiefpunkte lautet ๐‘”(๐‘ฅ)=โˆ’ ๐‘ฅ 2 ๐‘’ .

341 Bestimmung von Ortskurven
Die ๐‘ฆ-Koordinate der Extrem- oder Wendepunkte ist nicht der Funktionsterm der Ortskurve, denn die ๐‘ฆ-Koordinate hรคngt in der Regel noch vom Parameter ๐‘ก ab. Der Funktionsterm der Ortskurve muss aber von ๐‘ฅ abhรคngen! Lรถse hierzu die ๐‘ฅ-Koordinate nach dem Parameter ๐‘ก auf und erhalte so einen Ausdruck fรผr ๐‘ก in Abhรคngigkeit von ๐‘ฅ. Setze diesen Ausdruck nun in der ๐‘ฆ-Koordinate ein und erhalte den Funktionsterm der Ortskurve in Abhรคngigkeit von ๐‘ฅ.

342 Aufgaben Es sei ๐‘“ ๐‘› ๐‘ฅ =10 ๐‘ฅโˆ’๐‘› ๐‘’ โˆ’๐‘ฅ , ๐‘›โˆˆ โ„• 0 Gesucht ist der Funktionsterm derjenigen Kurve auf der alle Hochpunkte von ๐‘“ ๐‘› ๐‘ฅ liegen. Lรถsung: ๐‘“ ๐‘› โ€ฒ ๐‘ฅ =10 ๐‘’ โˆ’๐‘ฅ 1+๐‘›โˆ’๐‘ฅ ๐‘“ ๐‘› โ€ฒโ€ฒ ๐‘ฅ =โˆ’10 ๐‘’ โˆ’๐‘ฅ 2+๐‘›โˆ’๐‘ฅ ๐ป๐‘ƒ ๐‘› 1+๐‘›โˆฃ10 ๐‘’ โˆ’1โˆ’๐‘› ๐‘” ๐‘ฅ =10 ๐‘’ โˆ’๐‘ฅ ist die Ortskurve der Hochpunkte von ๐‘“ ๐‘› ๐‘ฅ .

343 Extremwertaufgaben In einer Extremwertaufgabe geht es darum, eine Funktion zu minimieren bzw. zu maximieren. Die Schwierigkeit besteht vor allem darin, aus den Angaben in der Aufgabenstellung den Funktionsterm zu finden. Zumeist ist der Funktionsterm abhรคngig von mehreren GrรถรŸen, so dass das zweite Problem darin besteht, den Funktionsterm so umzuwandeln, dass dieser nur noch von einer GrรถรŸe abhรคngt.

344 Rechenbeispiel 1 Aus einem rechteckigen Stรผck Blech soll ein oben offener Behรคlter hergestellt werden. Das Blech ist 60cm lang und 48cm breit. An den vier Ecken werden Quadrate ausgeschnitten. Die Quadrate sollen so ausgeschnitten werden, dass das Fassungsvermรถgen des Behรคlters mรถglichst groรŸ wird. Klebeflรคchen werden dabei nicht berรผcksichtigt. Bestimmen Sie die Abmessungen des Behรคlters und dessen Volumen.

345 Lรถsung Skizze anfertigen! Volumenformel aufstellen: ๐‘‰=(๐‘Žโˆ’2๐‘ฅ)ยท(๐‘โˆ’2๐‘ฅ)ยท๐‘ฅ Dafรผr sorgen, dass ๐‘‰ nur noch von einer GrรถรŸe abhรคngt: ๐‘‰ ๐‘ฅ = 60โˆ’2x ยท 48โˆ’2x ยท๐‘ฅ= 4x 3 โ€“ 216x x Maximum mit Ableitung finden: ๐‘‰โ€ฒ ๐‘ฅ = 12x 2 โ€“432x+2880=0โ‡’ ๐‘ฅ 1 =25,17; ๐‘ฅ 2 =8,83 Es folgt: ๐‘Žโ€ฒ=42,34cm;๐‘โ€ฒ=30,34cm;๐‘‰ 8,83 = 11343cm 3 ๐‘โ€ฒ ๐‘Žโ€ฒ

346 Lรถsungsschema Funktion mit Hilfe der Angaben in der Aufgabe erstellen.
Dafรผr sorgen, dass der Funktionsterm nur noch von einer GrรถรŸe abhรคngt. Ableitung bilden um Minimum oder Maximum zu finden. Damit lassen sich dann die gesuchten GrรถรŸen ermitteln.

347 Rechenbeispiel 2 Gegeben ist eine Rolle mit 50m Zaun. Damit soll nun ein rechteckiges Stรผck Land so umzรคunt werden, dass die Landflรคche mรถglichst groรŸ wird. Wie lauten dann die Abmessungen des Rechtecks und wie groรŸ ist dessen Flรคche? Lรถsung: ๐ด=๐‘Žโ‹…๐‘. Mit ๐‘ˆ=2๐‘Ž+2๐‘=50 folgt ๐‘=25โˆ’๐‘Ž. Eingesetzt in ๐ด folgt ๐ด ๐‘Ž =๐‘Žโ‹… 25โˆ’๐‘Ž =โˆ’ ๐‘Ž 2 +25๐‘Ž. Maximum mit Ableitung finden: ๐ดโ€˜ ๐‘Ž =โˆ’2๐‘Ž+25=0 โ‡’ ๐‘Ž=12,5 โ‡’ ๐‘=25โˆ’๐‘Ž=12,5 ๐ดโ€˜โ€˜(๐‘Ž)=โˆ’2<0, also liegt bei ๐‘Ž=12,5 ein HP. Es folgt ๐ด=๐‘Žโ‹…b= 12,5 2 =156,25 m 2 .

348 Aufgabe 1 Die Parabel ๐‘“ ๐‘ฅ =โˆ’ ๐‘ฅ 2 +6xโˆ’5 schlieรŸt oberhalb der ๐‘ฅ-Achse zwischen den beiden Nullstellen eine Flรคche ein. Berechnen Sie diese Flรคche. Ein Rechteck ist symmetrisch einbeschrieben und liegt mit der Unterkante auf der ๐‘ฅ-Achse. Wie mรผssen die Abmessungen des Rechtecks lauten, damit dessen Flรคcheninhalt maximal wird?

349 Lรถsung Nullstellen mit GTR oder p-q-Formel: ๐‘ฅ 1 =1; ๐‘ฅ 2 =5; ๐‘ฅ ๐‘€๐‘–๐‘ก๐‘ก๐‘’ =3 Flรคche zwischen den NST mit GTR: ๐ด= 1 5 โˆ’ ๐‘ฅ 2 +6๐‘ฅโˆ’5 ๐‘‘๐‘ฅโ‰ˆ10,67 m 2 FlรคchengrรถรŸtes Rechteck: ๐ด =๐‘™โ‹…๐‘=๐‘“ ๐‘ฅ 0 โ‹…2โ‹… 3โˆ’ ๐‘ฅ 0 Maximum mit dem GTR: ๐‘ฅ 0 โ‰ˆ1,845 und damit ๐ด โ‰ˆ6,16. ๐‘“ ๐‘ฅ =โˆ’ ๐‘ฅ 2 +6๐‘ฅโˆ’5 ๐ด ๐‘“(๐‘ฅ 0 ) ๐ด 1 ๐‘ฅ 0 3โˆ’ ๐‘ฅ 0 3 5 ๐‘™=2โ‹… 3โˆ’ ๐‘ฅ 0

350 Wahlteil 2006 Ana I 2, Aufgabe 2.1 Gegeben ist die Funktion ๐‘“ mit ๐‘“(๐‘ฅ)=4 sin ๐œ‹ 12 ๐‘ฅ fรผr 0โ‰ค๐‘ฅ โ‰ค12. Ihr Schaubild sei ๐พ. b) Bestimmen Sie die Seitenlรคnge des flรคchengrรถรŸten Rechtecks, bei dem zwei Ecken auf der ๐‘ฅ-Achse und die beiden anderen Ecken auf ๐พ liegen.

351 Bedienung des GTR Zeichnen einer Kurve Minimum, Maximum, Schnittpunkte Nullstellen Flรคchen berechnen Lineare Gleichungssysteme

352 Zeichnen einer Kurve Mit Y= in den Y-Editor wechseln und dort den oder die Funktionsterme eingeben. รœber WINDOW Achsenskalierung des Koordinatensystems eingeben. Mit GRAPH die Funktion(en) zeichnen lassen. Mit den Pfeiltasten kann man im Y-Editor ein Gleichheitszeichen anfahren und mit ENTER markieren bzw. demarkieren. Gezeichnet werden nur Funktionen mit markiertem Gleichheitszeichen.

353 Funktionswerte, Minimum, Maximum
Mit TRACE kann man dem Kurvenverlauf folgen. Die Koordinaten werden dann am unteren Rand im Display angezeigt. รœber 2ND CALC min bzw. 2ND CALC max kann man Minima bzw. Maxima einer Funktion bestimmen. Man gibt dabei zuerst die linke, dann die rechte Intervallgrenze an (mit den Pfeil- tasten oder durch Eingabe der x-Werte von Hand). Jede Eingabe wird mit ENTER abgeschlossen. Ein letztes ENTER startet die Berechnung.

354 Schnittpunkte รœber 2ND CALC intersect kann man den Schnittpunkt zweier Kurven bestimmen. Man wรคhlt mit den Pfeiltasten zuerst die eine, dann die andere Kurve. Jede Eingabe wird mit ENTER abgeschlossen. Ein letztes ENTER startet die Berechnung.

355 Nullstellen Eingabe des Funktionsterms im Y-Editor und mir GRAPH zeichnen lassen. รœber 2ND CALC zero kann man die Nullstelle in einem Intervall bestimmen. Auswahl der Intervallgrenzen wie รผblich. ENTER startet die Berechnung.

356 Nullstellen mit dem Gleichungslรถser
Mit 2ND QUIT in den Anzeigemodus wechseln. รœber MATH solver wird der Gleichungslรถser aufgerufen, siehe Abb., ggf. โ†‘ tippen. Funktionsterm oder Y-Variable eingeben (Y-Variablen sind รผber VARS Y-VARS ENTER erreichbar). Bei der Anzeige X= Startwert eingeben ohne ENTER. ALPHA SOLVE tippen, dann steht bei X= das Ergebnis.

357 Flรคchen berechnen โ€“ Methode 1
Eingabe des Funktionsterms im Y-Editor und mir GRAPH zeichnen lassen. รœber 2ND CALC โˆซf(x)dx wรคhlen. Intervallgrenzen wie รผblich eingeben und ENTER tippen. Die entsprechende Flรคche wird eingezeichnet und der Wert des Integrals wird am unteren Rand angezeigt. Der Wert des Integrals entspricht nicht zwangslรคufig der GrรถรŸe der Flรคche!!! Um die Flรคche zu berechnen sind ggf. Einzelberechnungen nรถtig!

358 Flรคchen berechnen โ€“ Methode 2
Eingabe des Funktionsterms im Y-Editor. Mit 2ND QUIT in den Anzeigemodus wechseln. Wert des Integrals รผber MATH fnInt( berechnen. Bsp.: fnInt(Y1,X,0,2) Parameter 1: Y-Variable oder Funktionsterm Parameter 2: Integrationsvariable. Eigentlich immer X. Parameter 3 und 4: Linke und Rechte Intervall-grenze. Y-Variablen wรคhlt man รผber VARS Y-VARS ENTER.

359 Lรถsen linearer Gleichungssysteme
Eingabe der Matrix รผber 2ND MATRIX und Auswahl der Matrixbezeichnung (A). รœber EDIT werden zunรคchst die Anzahl der Zeilen und Spalten eingegeben. Mit ๎„ฅ gelangt man ins Eingabefeld. Zeilenweise Koeffizienten eintippen, hier 2 ENTER, -3 ENTER, 1 ENTER, -1 ENTER usw. Mit 2ND QUIT zurรผck in den Anzeigemodus. Mit 2ND MATRIX rref(A) ENTER wird das Gleichungssystem gelรถst. Den Matrixbezeichner A bekommen Sie ebenfalls รผber 2ND MATRIX. I. 2x -3y + z = -1 II. x - y + 2z = 5 III. 3x +2y - z = 4 x=1, y=2, z=3


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