Wir lösen Bruchgleichungen, deren Nenner eine Variable enthalten Aufgabe: Löse die folgende Gleichung x−2 x+2 = 8+x x−2
Schritt: Die einschränkenden Bedingungen angeben (Nenner darf nicht Null werden!) Da es verboten ist, durch 0 zu dividieren, müssen wir die Zahlen ausschließen, die im Nenner den Wert 0 ergeben würden. Dazu bestimmen wir zuerst die Definitionsmenge D: Nenner hinschreiben und gleich 0 setzen: x + 2 = 0 x - 2 = 0 Gleichung auflösen x + 2 = 0 / - 2 x - 2 = 0 / + 2 x = - 2 x = 2 Die „Ergebnisse“ von x ausschließen D = Q \ 2 ; - 2
2. Schritt: Mit einem gemeinsamen Nenner multiplizieren (= Hauptnenner aller Brüche in der Gleichung!) x−2 x+2 = 8+x x−2 (x−2) (x + 2) (x – 2) x+2 = 8+x (x + 2) (x – 2) x−2 HN: (x + 2) (x – 2)
3. Schritt: Gleichung lösen (x−2) (x + 2) (x – 2) x+2 = 8+x (x + 2) (x – 2) x−2 Kürzen ( x – 2 ) ( x – 2 ) = ( 8 + x ) ( x + 2 ) Ausmultiplizieren x² - 2x – 2x + 4 = 8x + 16 + x² + 2x Zusammenfassen x² – 4x + 4 = 10x + 16 + x² / - x² – 4x + 4 = 10x + 16 / - 4 – 4x = 10x + 12 / - 10x – 14x = 12 / (- 14) x = − 12 14 = − 6 7
4. Schritt: Lösungen mit den einschränkenden Bedingungen vergleichen D = Q \ 2 ; - 2 x = − 6 7
5. Schritt: Lösungsmenge angeben
Zusammenfassung 1. Schritt: Die einschränkenden Bedingungen angeben (Nenner darf nicht Null werden!) 2. Schritt: Mit einem gemeinsamen Nenner multiplizieren (= Hauptnenner aller Brüche in der Gleichung!) 3. Schritt: Gleichung lösen 4. Schritt: Lösungen mit den einschränkenden Bedingungen vergleichen 5. Schritt: Lösungsmenge angeben