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Substitution bei Nullstellen
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Wann wendet man die Substitution an?
Das Verfahren der Substitution wendet man an, um Nullstellen von bestimmten ganzrationalen Funktionen (meist) vierten Grades zu bestimmen. Die Funktionen dürfen nur 𝑥 2 und 𝑥 4 (bzw. 𝑥 3 und 𝑥 6 , 𝑥 4 und 𝑥 8 etc. ) in ihrer Funktionsvorschrift enthalten. z.B. Bestimmen Sie die Nullstellen von f(x) = 𝑥 4 − 2 𝑥 2 – 8!
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4 Schritte der Substitution
𝑥 4 − 2 𝒙 𝟐 – 8 = 0 (Wenn vor 𝑥 4 ein Faktor steht, muss man erst durch diesen dividieren!) 1. Setzen Sie 𝒛=𝒙 𝟐 , also 𝒛 2 = 𝒙 𝟐 2 =𝑥 2 ∙𝑥²=𝑥 4 ! (Substitution) 𝑧 2 – 2z – 8 = 0 2. Benutzen Sie die p-q-Formel, um die quadratische Gleichung zu lösen! 𝑧 1,2 = − 𝑝 2 ± 𝑝 −𝑞 =− −2 2 ± −(−8) = 1± 9 =1 ± 3 𝑧 1 = v 𝑧 2 = 1 − 3 𝑧 1 = v 𝑧 2 = −2 3. Setzen Sie wieder z = 𝑥 2 ein! (Rücksubstitution) 𝑥 2 = v 𝑥 2 = −2 4. Lösen Sie die Gleichungen nach x auf, indem Sie die Wurzel ziehen! x = 2 v x = −2 v es gibt keine Lösung, da 𝑥 2 immer positiv ist d.h. x = 2 v x = −2 sind die Lösungen der Gleichung!
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