... mit uns können Sie rechnen!

Präsentation zum Thema: "... mit uns können Sie rechnen!"—  Präsentation transkript:

1 ... mit uns können Sie rechnen!
Gernot Mühlbacher Einführung: ... mit uns können Sie rechnen! * Gleichungen Bestimmungsgleichungen Geradengleichungen Lernen ist mehr als Verstehen! Wie geschieht eigentlich das Lernen? Du wirst die Absichten und das Vorgehen dieses Lehrwerkes besser verstehen, wenn du gleich mal hier reinschaust! 22 © Gernot Mühlbacher Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe

2 Stichwortverzeichnis
1 führt immer zum 22/23 Lernen ist mehr als nur Verstehen! … als Wegweiser Folie Nr.: Allgemeine Form 16 Konstante 2 Äquivalent 9 Lernen Lernvorgang 22,23 Äquivalenz-Umformung 10,11,12 Lineare Gleichung 8 Aussage 3 / 4 Normalform 16,17 Aussageform 4 Operation 9,11 Vier-Stufen-Prinzip 8,14,15,24 Bestimmungs-gleichung 3 Operator Waagemodell 4, 11, 12 Definitionsbereich Definitionsmenge 5,6,18,24 Rechenoperation Wertebereich, Wertemenge 5,7,18,24 Geradengleichung 17 Schnittpunkt 19 Wertepaare (x/y) 16,18,19 Gleichung 3, 4, 5 Term Zahlenarten 21 Gleichung 1. Grades Term-Umformung Grundbereich 𝔾 Termwert Koeffizient Variable ? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Folien-Nr. anklicken!

3 Verändere den Term durch Einfügen eines variablen Koeffizienten!
FACHBEGRIFFE beherrschen! Verändere den Term durch Einfügen eines variablen Koeffizienten! Wer Mathematik verstehen und in Mathematik mitreden will, der muss die Vokabeln gelernt haben. Das ist nicht anders als in Englisch! Was sagt er? I‘m the teacher. Variable Ein Platzhalter in einem Term. Gleichwertig verwendet man auch die Begriffe Veränderliche, Formelzeichen, Unbekannte. Term Ein  Term ist ein sinnvoller Rechenausdruck. Er kann Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und andere math. Symbole wie Klammern beinhalten. (z.B. 3x oder 4(3-2y) Termwert 1. Beispiel:  (4 + 3) ∙ 5  Der Wert dieses Terms ist 35. 2. Beispiel: (x + 3) ∙ 5  ist ein Term, dessen Wert sich verändern kann. Der Wert dieses Terms ist (nur) dann 35, wenn man für die Variable x die Zahl 4 einsetzt. Koeffizient Ein Koeffizient ist eine Vorzahl einer variablen Zahl (z.B. 3•x oder 3x) in einem Term. Auf Grund des Kommutativgesetzes kann sie auch als nachgestellter Faktor auftreten (z.B. x•3). Sie wirkt bei der Feststellung des Termwertes mit. (lat. coefficere = mitwirken) Konstante Eine Konstante ist eine Größe, deren Wert sich nicht verändert. Sie begegnet uns entweder als absolute Zahl (z.B. 3) oder als Vorzahl in einem Term mit einer variablen Zahl (z.B. 3x).  siehe auch ‚Term‘ und ‚Koeffizient‘! 1 Hinweis: Auf Folie 20 findest du eine Übersicht mit Erklärung der verschiedenen Arten von Zahlen. 20

4 = = GLEICHUNGEN T1 T2 Gleichungen mit Variablen
Ein Mal-Zeichen zwischen einer Variablen und ihrem Koeffizienten darf man ersatzlos weglassen! z.B.: 2x + 1 = 2•x + 1 11 T1 T2 Eine Gleichung entsteht, wenn zwei Terme T1 und T2 durch ein Gleichheitszeichen verbunden werden. = linke Seite rechte Seite GLEICHUNGEN Ein Term bildet die linke und der andere Term die rechte Seite der Gleichung. Gleichungen ohne eine Variable Gleichungen mit Variablen dienen der Bestimmung eines Wertes für diese Variablen. Eine Gleichung ohne Variable ist eine Aussage. Die Aussage kann entweder wahr oder falsch sein. Sie heißen deshalb BESTIMMUNGSGLEICHUNGEN. Wahre Aussage: 4 • = In der obigen Gleichung hast du den Wert für x richtig bestimmt, wenn du durch Einsetzen in die Gleichung zu einer wahren Aussage gelangst. Falsche Aussage: = 10 Kannst du in der Gleichung oben rechts den Wert für x durch Ausprobieren richtig bestimmen? Fertig? ... KLICK! x = 5 ist die richtige Lösung, denn: Probe: 2 • = 11  wahre Aussage x = 3 Gehe erst jetzt zu deinem AB für Folie 3 und bearbeite es! wäre ein falsche Lösung, denn: Probe: 2 • = 11  falsche Aussage 1

5 = G L E I C H U N G mit einer Variablen T1: 3x + 2 T2: 2x + 4 3x + 2
Ein gutes Anschauungs-Modell für eine Gleichung ist ... Die Behauptung „linke Seite“ = „rechte Seite“ führt zu einer Gleichung. die Waage. Jeder Seite wird ein Term zugeordnet: T1 und T2 Je nachdem, welchen Wert du für x einsetzt, wird die Gleichung zu einer wahren Aussage oder zu einer falschen Aussage führen. Der Wert (das ‚Gewicht‘), der Terme hängt von x ab. (Statt x kann auch ein anderer Platzhalter verwendet werden.) = Als ‚Grundmenge‘ 𝔾, aus welcher die Werte für das x stammen dürfen, kannst du zunächst die Menge ℝ der reellen Zahlen annehmen. x ∈ ℝ Beispiel: Eine Gleichung 1. Grades (bei der die Unbekannte nur in 1. Potenz vorkommt), hat nur eine Lösung für x, die zu einer wahren Aussage führt. T1: 3x + 2 T2: 2x + 4 linke Seite (x ∈ ℝ) rechte Seite Aber: Bearbeite aufmerksam die nächste Folie! Die Gleichung ist eine ‚Aussageform‘. Man sagt dann: „Die Gleichung ist wahr.“ 3x + 2 2x + 4 = Für unser Beispiel: Wenn wir für x den Wert 2 einsetzen, dann führt dies zu einer ‚wahren Aussage‘. 3x + 2 2x + 4 = Wenn wir für x z.B. den Wert 5 einsetzen, dann führt dies zu einer ‚unwahren Aussage‘. 3•5+ 2 2•5 + 4 = 3•2+ 2 2•2 + 4 = 17 ≠ 14 8 = 8 𝕃 = {2} 1

6 Modellhafte Vorstellung:
Definitionsbereich oder Definitionsmenge („... alles, was man für die Variable (z.B. x) einsetzen darf“.) Wertebereich oder Wertemenge („... alles, was für die Variable rauskommen kann“.) GLEICHUNG Die nachfolgenden Folien 6 und 7 solltest du dann genauer durcharbeiten, wenn du dich für die Oberstufe der Gymnasien vorbereiten willst. Entwickle die nächste Folie aber mal, damit du evtl. zurück greifen kannst, wenn du im weiteren Verlauf auf die entsprechenden Begriffe triffst. 1

7 GRUNDBEREICH UND DEFINITIONSBEREICH
Wenn du mit Folie 6 fertig bist, dann gehe zum Arbeitsblatt zu den Folien 3 bis 6! Gleichungen können Terme (oder Teile von Termen) enthalten, für die bestimmte Werte der Variablen nicht eingesetzt werden dürfen. Dann ist der Grundbereich 𝔾 eingeschränkt. 3 x - 5 Beispiel 1: Der Bruchterm ist für x = 5 nicht definiert, denn dann hätte sein Nenner den Wert Null (0), Beispiel 2: Ein Wurzelterm ist für den Radikanden Null (0) nicht definiert. (√ ) ... und durch Null darf man nicht dividieren! ... deshalb wäre z.B für x = 2 nicht erlaubt. √2 - x In einer Bruchgleichung darf durch das Einsetzen der Variablen kein Nenner den Wert Null (0) bekommen. In einer Gleichung darf durch das Einsetzen der Varia-blen keine Wurzel den Radikanden Null (0) erhalten. Dies wäre eine Gleichung, in der beide Sonderfälle zu berücksichtigen sind: x ≠ 2,5 denn: 5 - 2•2,5 = 0 x ≠ denn: 3•3 - 9 = 0 Zu einer Gleichung ist deshalb der Definitionsbereich 𝔻 anzugeben. (... oder in schwierigen Fällen erst zu überprüfen). Der Aufgabensteller kann auch selbst Werte festlegen: 𝔻 = {-1 ; 0 ; 3,5 ; 10} Wie beschreibt man einen Definitionsbereich 𝔻 ? Wenn keiner dieser x-Werte zu einer wahren Aus-sage führt, dann hat die Gleichung keine Lösung. Normalerweise geht man davon aus, dass der Definitionsbereich 𝔻 gleich dem Grundbereich 𝔾 der reellen Zahlen ist. (𝔻 = ℝ) Dies gilt ohne beson-dere Erwähnung. Ansonsten muss man dies besonders aussagen. Ein Blick voraus: Es gibt auch Gleichungen mit zwei Variablen: z.B. y = 4x - 6 Bei dieser Gleichung ist die Angabe des Definitionsbereiches zwingend: = 3 5 - 2x √3x - 9 Die x-Werte einer Wertetabelle beschränken von sich aus noch keinen Definitionsbereich. (𝔻 = ℝ \ {2,5; 3}) Back slash \ bedeutet ‚ohne‘ Begründe, weshalb die Gleichung für die Werte x = 2,5 und x = 3 nicht definiert ist! Fertig? ... KLICK! oder x∈ ℝ \ {2,5 ; 3 } Diese zeigt nur Werte auf, die man berechnen soll. 1 Es liegt im Ermessen des Aufgaben-Erfinders, den Definitionsbereich zusätzlich weiter einzuschränken: Der Definitionsbereich kann hier durchaus größer sein. (z.B. 𝔻 = ℝ) z.B. 𝔻 = ℤ

8 KLICK! und vergleiche deine Ergebnisse des Arbeitsblattes zu Folie 3 bis 6 !
ℝ 3 2•2,5 – 1 = 4 x wäre 2,5. Laut Definitionsbereich dürfen aber nur ganze Zahlen herauskommen. Also ist die Lösungsmenge eine leere Menge! Wahre Aussage! 2,5 3 = 9 ∈ ℝ \ {2} = 9 Wahre Aussage! Du bist zurück vom Arbeitsblatt zu Folie 5 / 6.

9 BESTIMMUNGSGLEICHUNGEN mit einer Variablen
Monika leistet 6 Stunden als erfahrene Babysitterin. Am Ende bekommt sie von den Eltern des Kindes 52 €. In diesem Betrag sind 4 € als spontane Anerkennung für ‚gute Arbeit‘ enthalten. Wie hoch ist die Stundenvergütung? Erfasse den Sinn dieses Textes! 1. Stufe: In jedem Fall wirst du dir zu Beginn die sachlichen Zusammenhänge überlegen. Worum geht es bei dieser Aufgabe? 2. Stufe: Du untersuchst den Text, um die wichtigen Angaben herauszulesen geg.: Zeit: 6 Stunden Deine Überlegung: Wenn ich vom Gesamtlohn das Trinkgeld abziehe, dann habe ich den sechsfachen Stundenlohn. Lohn: 52 € 3. Stufe (reine Mathematik): Mathematische Zusammenhänge davon Trinkgeld: 4 € Dies ergibt eine Bestimmungsgleichung mit einer Variablen. Fasse das Ergebnis deines Denkens zunächst nur in Worte! Fertig? ... dann KLICK! = 6x Stufe 2: Stelle die gegebenen und gefragten Textbeiträge im Telegrammstil kurz dar! Fertig? ... dann KLICK! ges.: Stundenvergütung: x € 1 x = 8,00 Stufe 3: Kannst du den Denkvorgang in die Form einer Gleichung übersetzen? Fertig? ... dann KLICK! Es wird Zeit, ein Rechenverfahren für diese Art Gleichungen zu lernen! Auch durch Kopfrechnung lässt sich der richtige Betrag bestimmen. = 6∙8,00 4. Stufe (Überprüfung): Die richtige Lösung muss bei einer Probe zu einer wahren Aussage führen. Schlusssatz! Monika bekommt einen Stundenlohn in Höhe von 8,00 €. Wenn du versäumt hast, dein AB begleitend auszufüllen, dann solltest du dies jetzt im Ganzen tun und dann mit den Ergebnissen hier vergleichen! 48 = 48 Eine Bestimmungsgleichung ist eine Gleichung, in der unbekannte Größen auftreten, die bestimmt werden sollen. Wenn die Unbekannte nur in 1. Potenz vorkommt, dann spricht man auch von einer linearen Gleichung. 4. Stufe: Überprüfe das Ergebnis durch eine Probe! Schlusssatz! Fertig? ... dann KLICK! In der Folge wollen wir erfahren, wie man durch gezielte Bearbeitung der Bestimmungsgleichung die richtige Lösung findet. (auf der 3. Stufe) Zuerst werden noch weitere Fachbegriffe zu lernen sein. 1

10 20 ... und noch ein paar Fachausdrücke Termumformung
Wendet man Rechengesetze (z.B. das Distributivgesetz oder das Kommutativgesetz) an, kann man Terme umformen. Dabei bleibt der Termwert immer gleich. (4 + 3) ∙ 5  ↔  4 ∙ 5  + 3 ∙ 5  ↔  5 ∙ 3  + 5 ∙ 4   (4 + x) ∙ 5  ↔  4 ∙ 5  + x ∙ 5  ↔  5 ∙x  + 5 ∙ 4  (Rechen)operation Die verschiedenen Rechenarten mit den dazugehörigen Rechenzeichen „+“ ,  „-“ ,  „∙“,  „:“ nennt man auch Rechenoperationen. Wichtig zu wissen: Jede Rechenoperation kann man mit der entsprechenden Gegenoperation rückgängig machen. Die Rechenoperation + 5 kann mit der dazugehörigen Gegenoperation -5 rückgängig gemacht werden. Operator Die Rechenzeichen „+“ ,  „-“ ,  „∙“,  „:“ oder auch „√“ nennt man Operatoren. Das Vorzeichen („-“ oder „+“) einer Zahl kann ebenfalls als Operator bezeichnet werden. Operatoren lässt man oft weg. Man hat dazu eindeutige Absprachen getroffen.(Folie 3) Achte darauf im weiteren Verlauf des Lehrwerkes! Äquivalent ‚Äquivalent‘ bedeutet ‚gleichwertig‘. Haben zwei Terme den gleichen Wert,  sind sie äquivalent. Die folgenden Terme sind äquivalent, denn beide Terme haben den Wert 35: T = T2 (4 + 3) ∙ 5  =   Hinweis: Auf Folie 20 findest du eine Übersicht mit Erklärung der verschiedenen Arten von Zahlen. 1 20

11 5x - 30 = 20 5x - 30 = 20 5x = 50 5x 50 = 1x = 10 ÄQUIVALENZUMFORMUNG
Die linke und die rechte Seite einer Gleichung bleiben gleichwertig (äquivalent), wenn man auf beiden Seiten der Gleichung: dieselbe Zahl oder Variable addiert, kurz: links und rechts den gleichen Operator einsetzt. dieselbe Zahl oder Variable subtrahiert, mit derselben Zahl oder Variablen (außer Null) multipliziert, durch dieselbe Zahl oder Variable (außer Null) dividiert. Beispiel für Äquivalenzumformungen: Diese zweifache Äquivalenzumformung hat zum Ergebnis geführt, dass du nun den Wert für x kennst, der beim Einsetzen in die Gleichung zu einer wahren Aussage führt: 5x = 20 +30 Gleichung: 5x = 20 1. Äquivalenz- umformung +30 Lösungsmenge 𝕃 = {10) 5x = 50 :5 Wir können eine Probe zur Überprüfung machen, indem wir für x in der Ausgangsgleichung den Wert 10 einsetzen: 5x = 2. Äquivalenz- umformung Gehe zu deinem AB und vollziehe noch einmal die einzelnen Arbeitsschritte bis zu Lösung! Fertig? ... dann KLICK! 5 𝕃 = {10) 1x = 10 5x = 20 5 ∙ = 20 Die beabsichtigte Äquivalenzumformung kündigt man immer für die kommende Zeile unter Angabe des Operators hinter einem senkrechten Strich an. = 20 20 = 20 (wahre Aussage) 1

12 ÄQUIVALENZUMFORMUNGEN durch Addieren und Subtrahieren
Äquivalenzumformungen sind gut mit dem Waagemodell zu erklären. Äquivalenzumformungen dienen bei Gleichungen dem Ziel, Stufe für Stufe nach der gesuchten Variablen x aufzulösen. Die Variable soll isoliert werden. ( ) 95 2x + 15 -15 ( ) = 1. Äquivalenzumformung Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn du auf beiden Seiten die gleiche Operation durchführst. (Die Aussage bleibt wahr) Auf die Waagschale–hier symbolisiert durch eine Klammer- legst du bei diesem Beispiel jeweils den gleich mächtigen Operator -15. Die Klammer (+Klammer) kannst du auflösen bzw. weglassen. Die 1. Äquivalenzumformung bewirkt, dass links 2x isoliert ist. 2x = Probe: 2∙ = 95 2x = 80 :2 Die 2. Äquivalenzumformung bewirkt, dass die gesuchte Variable x isoliert ist. Mehr dazu  nächste Folie! 95 = 95 ... wahre Aussage 1x = 40 Erfolg dieser zweifachen Äquivalenzumformung: Du hast die Variable x isoliert und kennst den Wert, der zu einer wahren Aussage führt. 1

13 ÄQUIVALENZUMFORMUNGEN durch Multiplizieren und Dividieren
Alle Äquivalenzumformungen dienen dem (Fern)Ziel, die Unbekannte x zu isolieren. Bei Gleichungen mit Brüchen beseitigt man zuerst die Nenner. 2 3 2x = •3 Achtung! ... häufiger Fehler! Man multipliziert deshalb zuerst mit dem Nenner des Bruches (in unserem Beispiel •3), mit dem Ziel einer hilfreichen Äquivalenzumformung. Weshalb wäre dies keineswegs eine Äquivalenzumformung? Fertig? ... dann KLICK! Bei mehreren Bruchzahlen multipliziert man mit dem Hauptnenner. ( ) ( ) 2x = 2 3 3• •3 Klammer hier nicht nötig. Kürzen! Wenn du dir die veränderte Situation so geschrieben vorstellst ..., oder so ... dann gerät die Waage aus dem Gleichgewicht, die Äquivalenzumformung gelingt nicht! richtig: 6x = 6x = +18 +18 Äquivalenzumformung Die (nötige) Klammer ... symbolisiert, dass jeweils die ganze Seite der Gleichung multipliziert werden soll. Die Klammer muss man also ausmultiplizieren und nicht einfach auflösen. Probe: 2 ∙ = 20 6 2 3 ? Probe: Setze bzw für x in die Ausgangsgleichung ein ! Fertig? ... dann KLICK! 20 6 Löse diese Gleichung noch einmal Schritt für Schritt auf deinem AB! Fertig? ... dann KLICK! = 40 6 2 3 ? 6x = :6 Äquivalenzumformung 6 4 6 = 2 3 ? 20 6 1 3 = 3 x = 4 6 2 3 = 1 wahre Aussage:

14 Löse diese beiden Aufgaben zuerst auf dem AB!
Ü B U N G E N (ÄUF = Äquivalenzumformung) ... kleiner Unterschied, ... große Wirkung! 8y = +6 1. ÄUF 8(y - 6) = Ausmultiplizieren 8y = 8y = +48 1. ÄUF 8y = :8 2. ÄUF 8y = Löse diese beiden Aufgaben zuerst auf dem AB! Fertig? ... dann KLICK! y = 30 8 :8 2. ÄUF Probe: 8y = 8y = y = 6 8 72 8 y = Probe: 8∙ = 24 ? 8(y - 6) = y = 3 4 3 4 y = 3 y = 9 8∙ = 24 ? 15 4 8( ) = ? 120 4 = 24 ? 8 ∙ = 24 = 24 = 24 5 4a = 0,5 Die linke Seite und die rechte Seite der Gleichung (d.h. jedes Glied der Gleichung) werden mit dem Hauptnenner multipliziert. ∙ 4a 3 y + 4 8 + y = 0 Die gesuchte Variable soll aus dem Nenner geschafft werden. Diesem Ziel dient: 5 4a = 0,5 ∙ 4a Kürzen! HN: (2 + 3y)∙(8 + y) Kürzen! 3 ∙ y + 4 ∙ 8 + y = 0∙ (2 + 3y)∙(8 + y) 5 = 0,5 ∙ 4a Seiten tauschen! ( ) ( ) 2a = 5 :2 3(8 + y) + = 0 4(2 + 3y) Bestimme den Definitionsbereich! Fertig? ... dann KLICK! 𝔻 = ℝ \ { ; -8} -2 3 Weshalb? Siehe Folie 5! a = 2,5 + = 0 Löse auch die folgenden zwei Aufgaben zuerst auf dem AB! Fertig? ... dann KLICK! y y Probe: 5 4∙2,5 = 0,5 ? 15y = 0 -32 15y = :15 1 2 5 10 = 0,5 ? ⬄ 0,5 = 0,5 y = -32 15 = - 2 15 2 1

15 Anwendung von Bestimmungsgleichungen
Rudi Ralf 1. Stufe: Ralf und Rudi sind zusammen 9 Jahre alt. Ralf ist doppelt so alt wie Rudi. Wie alt ist Rudi? Löse die Aufgabe als Ganzes auf deinem Arbeitsblatt! Kontrolle? ... dann KLICK! 2. Stufe: Rudi: x Jahre Ralf: 2x Jahre 𝔾 = ℕ Summe: 9 Jahre Die Summe von neun Lebensjahren entsteht aus zwei Summanden: 4. Stufe: x + 2x = 9 Jahre Probe: x + 2x = 9 = 9 wahre Aussage! 𝕃 = 3 3x = 9 Jahre :3 Rudi ist 3 Jahre alt. 3. Stufe: x = 3 Jahre An welchen Stellen verortest du die Schritte des „4-Stufen-Prinzips“? 1. Stufe: Text lesen und verstehen. Das ist bei dieser Aufgabe keine große Herausforderung! 2. Stufe: Alltagssprache übersetzen  mathematische Sprache/Bilder! Bei genauem Hinsehen bemerken wir, dass die Stufen 2 und 3 nicht sauber zu trennen sind. Versuche in Kürze, die Entwicklungs-schritte nach dem 4-Stufen-Prinzip (Folie 6) im Lösungsweg dieser Sachaufgabe nachzuvollziehen! Handelt es sich noch um Alltagssprache übersetzen? 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. Rechnen! 4. Stufe: Überprüfen des Ergebnisses. Einbetten in die erzählte Geschichte! oder schon um das Berechnen? 1

16 Bestimmungsgleichungen mit zwei Unbekannten
Wir sprechen weiterhin nur über lineare Gleichungen (1. Grades). Eine einzelne Bestimmungsgleichung kann auch zwei Unbekannte haben. Ein Beispiel aus dem Alltag: 1. Stufe: Hast du verstanden, worum es geht? Feines Obst wird zum Stückpreis verkauft. Eine Orange kostet: 60 ct Eine Feige kostet: 90 ct Paula zahlt insgesamt 5,10 €. Wieviel Stück bekommt sie von jeder Sorte? 2. Stufe bei solchen ‚Textaufgaben‘: Du musst die Informationen, die im Text stecken, in eine übersichtliche Kurzform bringen. Dabei denkst du schon darüber nach, wie du die unbekannten (gefragten) Größen benennst. (... oft x und y ) Du suchst nach den rechnerischen Zusammenhängen. Gesamtkosten: Stückpreise: geg.: Deine Mathematik-Kenntnisse sind jetzt gefragt: Orangen 60 ct Feigen 90 ct 510 ct Wir streben eine Bestimmungsgleichung an. 3. Stufe: Die Summe von 510 ct entsteht aus zwei Summanden. Anzahl Orangen: Anzahl Feigen: ges.: x y Faktoren tauschen! Koeffizienten vor die Variablen! + = 510 x ∙ 60 y ∙ 90 𝔻 = ℕ Der erste Summand ist ein Vielfaches von 60 ct.. Formuliere die rechnerischen Zusammenhänge zuerst in Worten! Fertig? ... dann KLICK! Analysiere den Text! Notiere die gegebenen und gefragten Größen! Fertig? ... dann KLICK! Der zweite Summand ist ein Vielfaches von 90 ct.. Versuche durch Probieren die richtige Lösung zu ermitteln! Fertig? ... dann KLICK! 60x 90y + = 510 Als Lösung kommen nur ganze positive Zahlen in Frage. 𝔻 = ℕ x = 4 und y = 3 𝕃 = {(4/3)} ... denn kein Kaufmann verkauft Halbe oder Viertel von Orangen oder Feigen. Wir kennen (noch) kein Lösungsverfahren für eine Bestimmungsgleichung mit zwei Unbekannten. 4. Stufe Probe: 4 ∙ ∙ 90 = 510 Paula kauft z.B. 4 Orangen und 3 Feigen. 1

17 Allgemeine Form  Normalform
Wenn du die vorher gewonnene Bestimmungs-gleichung rein algebraisch ohne den realen Hintergrund der Sachaufgabe siehst, Die Lösungen sind immer Wertepaare (x/y). Sie müssen beim Einsetzen in Gleichungen mit zwei Unbekannten eine wahre Aussage ergeben. ... dann müssen wir den Grundbereich 𝔾 nicht einschränken. 𝔻 = ℝ gilt stillschweigend. ( negative und gebrochene Zahlen sind erlaubt) Die Lösungsmenge 𝕃 bei Gleichungen mit zwei Unbekannten kann also aus unendlich vielen Wertepaaren bestehen. ... wenn die der Definitionsbereich 𝔻 nicht eingeschränkt ist (wie vorher beim Obst-Einkauf). Allgemeine Form: 60x y = :10 Wir können an der Gleichung ohne Folgen Äquivalenzumformungen vornehmen. Vielleicht hast du es schon bemerkt: 6x y = 51 -6x 𝕃 = {(4/3)} 𝕃 = {(4/3); ... ; ...} Für die Sachaufgabe auf der vorigen Folie hätte es im 𝔻 = ℕ mindestens noch eine weitere Lösung gegeben: Du kannst jetzt aber feststellen, dass viele weitere Lösungspaare möglich geworden sind. Für die Sachaufgabe gilt: Zu diesem Zweck formen wir die Gleichung so um, dass wir y dabei auf der linken Seite isolieren. Untersuche die Wertetabelle genau und markiere die mögliche zweite Lösung bei 𝔻 = ℕ! Probe! Fertig? ... dann KLICK! 𝕃 = { (4/3); (1/5)} Lineare Gleichungen mit zwei Variablen kann man grundsätzlich in folgende Form bringen: 9y = x :9 Normalform: (wenn nach y aufgelöst) y = x 2 3 Allgemeine Form: ax + by + c = 0 Stelle auf deinem AB noch einmal aus der ‘allgemeinen Form‘ die ‚Normalform‘ her! x y 2 1 -3 -2 -1 6 3 4 7 5 Durch Auflösen nach y erhält man die Normalform: y = mx + b 7 5 3 Berechne die fehlenden y- bzw. x-Werte in der obigen Tabelle! Fertig? ... dann KLICK! In der obigen ‚Allgemeinen Form‘ heißen die Koeffizienten a und b. c ist eine konstante Zahl! a, b und c können auch negative oder gebrochene Zahlen sein! Beachte: In der Regel werden die Koeffizienten klein geschrieben. Dies ist die Stelle, wo dieses Lehrwerk „Gleichungen“ ganz eng das Lehrwerk „Lineare Funktion“ (Folien 5 bis 7) berührt. Lies dort einmal nach! Wenn das hier Schwierigkeiten bereitet hat, dann war es vermutlich wegen des Bruchrechnens. Das wollten wir so nebenbei etwas üben. 1

18 Die Geradengleichung Die lineare Gleichung ax + by + c = 0 beschreibt alle Geraden in der Ebene und ist deshalb die allgemeine Form. Du kannst Bestimmungsgleichungen mit 2 Variablen auch als Geradengleichungen auffassen. Was heißt das? Die Koeffizienten a und b, sowie die absolute Zahl c bestimmen den Verlauf der Geraden. Beispiel: (5/4,83) Geradengleichung in der allgemeinen Form: (3/3,5) -2x + 3y - 4,5 = 0 |+2x Ermittle mindestens 4 Lösungspaare der Gleichung! (Verfahre wie auf der vorigen Folie, indem du zuerst die nach y aufgelöste Normalform herstellst!) Trage die Wertepaare als Punkte in die Tabelle ein! Fertig? ...KLICK! 3y = 4,5 +2x |:3 (1,5/2,5) y = x ,5 2 3 Normalform: (0/1,5) Man kann dann die x- und y-Werte der Lösungspaare als die Koordinaten von Punkten im Koordinatensystem verstehen. (-1,5/0,5) z.B.: y x -1,5 1,5 3 5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,83 Diese Gerade ist die geometrische Darstellung der Geradengleichung -2x + 3y = 4,5. (-1,5/0,5) (0/1,5) (1,5/2,5) (3/3,5) (5/4,83) Zeichne die Punkte ins Koordinatensystem! Fertig? ...KLICK! Diese vier (fünf) Punkte stehen stellvertretend für unendlich viele denkbare Wertepaare (Punkte) in den Zwischenräumen und an den Rändern. Sie liegen alle auf einer Geraden. Wie viele Punkte hättest du benötigt, um diese Gerade verlässlich einzuzeichnen? Fertig? ...KLICK! Zwei Punkte würden reichen, um eine Gerade korrekt zu zeichnen. Im Verlauf des Lehrwerkes „Lineare Funktionen“ lernst du intensiv das Zeichnen der Geraden. 1

19 Gleichungen mit zwei Variablen (Unbekannten)
Beispiel: -2x y = 1 y = 2x + 1 ax + by = c Allgemeine Form: oder Normalform: y = mx + b Alle unabhängigen Variablen stammen aus einer festgelegten Definitionsmenge oder einem Definitionsbereich 𝔻. Die abhängigen Variablen gehören zu der Wertemenge oder dem Wertebereich 𝕎. Die Lösungen, die eine Gleichung mit zwei Variablen zu einer wahren Aussage führen, sind immer Wertepaare (x/y). Die Wertepaare werden oft in einer Wertetabelle dargestellt: Berechne die y-Werte für diese Wertetabelle! Fertig? ... dann Klick! Die Wertepaare kann man als Punkte im Koordinatensystem einzeichnen. unabh. Variable: abh. Variable: x y Übertrage die Wertepaare als Punkte ins Koordinatensystem! Fertig? ... dann KLICK! Sie liegen alle auf einer Geraden. Wähle möglichst weit auseinander liegende Punkte! Für jede Gleichung mit zwei Unbekannten gibt es nur dann endlich viele Wertepaare (x/y) als Lösung, wenn man vorher die Definitionsmenge beschränkt hat. Wenn die Definitionsmenge nicht beschränkt ist, dann ergeben sich unendlich viele Wertepaare. Verbinde die Punkte zu einer Geraden!! Fertig? ... dann KLICK! Dies dient der Zeichengenauigkeit. Zwei Wertepaare würden genügen, eine zugehörige Gerade zu zeichnen. x  unabhängige Variable y  abhängige Variable Hat eine Gleichung zwei Variablen (z.B. x und y), dann unterscheidet man die unabhängige (meist x), die man als erste in die Gleichung einsetzt, von der davon abhängigen Variablen, die man dann berechnet. 1

20 Zwei Gleichungen mit zwei Variablen (Unbekannten)
Nun kommt eine zweite Gleichung ins Spiel, die ebenfalls zwei Unbekannte besitzt. Vorhergehende Folie: II y = -0,5x + 3,5 Geradengleichung I y = 2x + 1 Berechne die y-Werte in der Wertetabelle! Fertig? ... dann KLICK! Welches Wertepaar ist in beiden Wertetabellen erschienen? Fertig? ... dann KLICK! x y x y 3 1 x y , , ,5 -1 1 x Wertetabelle: y Es gibt nur ein Wertepaar, das gleichzeitig für die Gleichungen (I und II) gilt. Dieses eine Wertepaar muss nicht immer glatte, natürliche Zahlen aufweisen. Berechnung und Zeichnung: Zeichnerische Bestätigung: Auch, wenn wir dieses Wertepaar nicht kennen würden: Wir wissen, dass dabei für beide Gleichungen (I und II) der gleiche y-Wert gilt. Berechnung dieses Wertepaares durch Gleichsetzen: Also kann man die Terme der beiden rechten Seiten der Gleichungen (I und II) gleichsetzen und den x-Wert berechnen, anschließend das y. S (1/3) 2x + 1 = -0,5x + 3,5 -1 Bestätigung rechnerische 2,5x = 2,5 :2,5 x = 1 Einsetzen in I Dieses gemeinsame Wertepaar müsste man auch als Punkt S im Schaubild erkennen können. y = 2x + 1 y = 2•1 + 1 y = 3 S (1/3) Markiere den Punkt S(1/3) im Koordinatensystem! !Fertig? ... dann KLICK! Zeichne mit Hilfe eines weiteren Punktes die Gerade II! Fertig? ... dann KLICK! Rechnerisch und zeichnerisch haben wir den Schnittpunkt S der beiden durch die Geradengleichungen gegebenen Geraden ermittelt. Mit diesem Thema beschäftigt sich sehr intensiv das Lehrwerk „Gleichungssysteme“. 1

21 Auf getrennten Wegen! ... und doch verbunden.
Im Rahmen dieses Lehrwerkes über Gleichungen haben wir zwei Themen gestreift, die es jetzt im Sinne der Übersichtlichkeit getrennt zu behandeln gilt: ‚Funktion‘ und ‚Gleichungssysteme‘. Die Berührungspunkte und Vernetzungen werden aber in den folgenden zwei Lehrwerken immer wieder aufscheinen. Du solltest auch immer wieder auf das Lehrwerk ‚Gleichungen‘ zurück greifen! 1

22 Arten von Zahlen e π -√3 √7 ⅚ -⅜ ⅘ √15 ℝ ℤ -1 -2 -3 ... 1 2 3 4 ... 5
Den natürlichen Zahlen ℕ begegnen wir bereits in der Grundschule. ℕ={1, 2, 3, ....} Arten von Zahlen Ein Überblick: ℝ Es ist nicht einheitlich festgelegt, ob die Null zu den natürlichen Zahlen gehört. Eine weit verbreitete Schreibweise zählt die Null dazu und benennt diese Menge mit ℕ0={0, 1, 2, 3, ...}. ℤ π e -1 -2 -3 ... 1 2 3 4 ... 5 ℕ ℕ0 ℕ0 ist nur ein Teil der Menge der ganzen Zahlen ℤ. -√3 √7 √15 3 ... ⅘ -⅜ 1,2 -2,5 ⅚ 7/11 Es gibt auch noch die negativen ganzen Zahlen: {-1, -2, -3, ....} ℚ ℤ = { , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Wo ordnen wir die Bruchzahlen ein? { ... -½, -⅔, -⅘, -1,25, ⅜, 0,38 32/7, ... } Du kannst jede ganze Zahl aus der Menge ℤ als Bruchzahl schreiben. z.B. 3 = 3/1 oder -2 = -2/1. Auch die endlichen Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. z.B. 1,2 = 12/10. Also gehört jede ganze Zahl und jede endliche Dezimalzahl auch zu den Bruchzahlen. Bei etlichen Nennern ergeben sich beim Dividieren auch unendliche periodische Dezimalzahlen. z.B. 7/11 = 0,63. Alle diese Bruchzahlen nennt man rationale Zahlen. Zeichen: ℚ (von Quotient) Neu: Die unendlichen und nicht periodischen Dezimalbrüche, die beim Ziehen von Wurzeln entstehen. (Immer, wenn der Radikand keine Quadratzahl bzw. kein Wert höherer Potenzen ist.) Alle diese Wurzelwerte können wir nicht als Bruchzahlen schreiben. Man spricht von den irrationalen Zahlen. Da man sie genau wie alle rationalen Zahlen aber auf dem Zahlenstrahl genau verorten kann, fasst man sie mit diesen als reelle Zahlen zusammen. Zeichen: ℝ 2 Du kennst bereits eine andere irrationale Zahl, nämlich die Kreiszahl Pi. π ≈ 3, 1 Außerdem gehört die sog. Eulersche Zahl e (Wachstumszahl) dazu. e≈ 2,

23 Wie kann man so was vermeiden?
Welche Gefahr droht? Wie kommt so was? Wie kann man so was vermeiden? Beim Lernen errichten wir ein Wissenshaus! Stelle es auf ein solides Fundament! Risse im Fundament musst du vermeiden! Wie geht das? Auf der nächsten Folie wird einiges erklärt. 1 22

24 Verändertes Verhalten
© 2014 Gernot Mühlbacher Wie soll ich mir einen Lernvorgang vorstellen? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. Beispiel: Beim Fangen eines Balles öffnest du deine Hände und beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispiel durch Hinweise und häufiges Üben im Training des Handballvereins. Vergleiche die Aussagen im Text mit der bildlichen Darstellung! auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) Ein neuer LERNSCHRITT Neue Informationen Umwelt z.B. Unterricht zeigt sich in Form von: neuem Wissen, neuen Erfahrungen, neuen Fertigkeiten, neuen inneren Haltungen / Einstellungen Verändertes Verhalten Ver- knüp- fung und / oder Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neu erkannte Sachverhalt (das neu erworbene Wissen) wird immer wieder hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. Der neue Lernschritt ist erst abgeschlossen, wenn das neue Wissen und die neuen Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. 2

25 Modellhafte Vorstellung:
Definitionsbereich oder Definitionsmenge („... alles, was man einsetzen darf“.) Wertebereich oder Wertemenge („... alles, was rauskommen kann“.) GLEICHUNG Der Prozess beim von Lösen Sachaufgaben führt sehr oft über das Erstellen und Lösen von Gleichungen. Im Kurz-Lehrwerk „Problemlösen / Modellieren“ wird hierzu ein hilfreiches Vorgehen empfohlen. Wir werden in den Lehrwerken immer wieder nach diesem ‘Rezept‘ vorgehen. für das Verfahren beim Lösen von Sachaufgaben: DAS ‚4-STUFEN-PRINZIP‘ 1. Stufe: Hintergrund von Sachaufgaben ist immer eine reale Geschichte. Habe ich Erfahrungen mit dem Thema? 3. Stufe: Mathematische Werkzeuge nutzen. Rechnen! 2. Stufe: “Sich ein Bild machen.“ Zusammenhänge erkennen, Bilder vorstellen. Also: Alltagssprache  mathematische Sprache/Modelle! 4. Stufe: Überprüfen des Ergebnisses. Auswerten, bewerten einordnen. Einbetten in die erzählte Geschichte! 1

26 Kurz erklärt Kommt es zu einem Feuchte- oder Leitungswasserschaden, sind wir der ERSTE Experte am Schadenort. Wir leiten ERSTE Maßnahmen im Rahmen der Ursachenermittlung/-analyse und Schadenminderung ein. Wir treffen ERSTE Entscheidungen, wie mit der jeweiligen Situation unserer Empfehlung nach umzugehen ist und liefern unabhängig von Nachgewerken ERSTE Ergebnisse, Details zum Schadenausmaß und Einschätzungen zur weiteren Vorgehensweise. Auszüge aus START vor

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