Blockschaltbild und Zustandsraumdarstellung (BSB und ZVD) M d Q Tavares , TB425 dqtm@zhaw.ch

Applied Mathematics (SiSy) SiSy Overview Signals step / impulse / rect / sinc continuous / discret periodic / aperiodic deterministic / random representation in time / frequency domains power and energy in freq domain Systems linearisation feedback and stability discretisation Transforms FR ; FT ; DFT/FFT : Laplace : Z-Transformation : DCT : Applications Biomedical / Operational Research/ Sensorics & Messtechnik Automation / Location & Telecommunication Systems Data Compression & Cryptography / Image Processing / Audio Synthesis & Analysis Statistical Signal Processing LTI DGl; BSB; ZVD; h(t); g(t); G(ω); G(s) u(t) U(ω) u[n] U(z) y(t) Y(ω) y[n] Y(z) LTD DzGl; BSB; ZVD; g[n]; G(ω); G(z) ω t f S-Plane Control (RT) Telecomm (NTM) SigProc (DSV, ASV) Z-Plane n Applied Mathematics (SiSy) x y Mathematics

SiSy1 Zusammenfassung Systeme Modellierung und Darstellung (LTI) Physikalisches Prozess Modell-bildung Differential- gleichung Messung (Schrittantwort) Schrittantwort (analytisch) Impulsantwort Frequenzgang (Bodediagramm) Block schaltbild Zustands variable Genauigkeit? Messverfahren Kontinuierliche Systeme Antwort beliebige Eingang (Faltung) Stationäre Antwort zum Schwingungseingang Numerische Simulation Physikalisches Modell nicht genug

LTI Systeme Modellierung und Darstellungen Physikalisches Prozess Physikalisches Prozess Differential- gleichung Differential- gleichung Frequenzgang (Übertragungsfkt) Frequenzgang (Übertragungsfkt) Blockschaltbild Blockschaltbild

Zustandsvariablendarstellung (ZVD) Modellierung von Komplexe Systeme (höhere Ordnung) und/oder mit Einsicht auf innere Variablen: Austauch : einzelne DGl N.Ordnung vs N DGl 1.Ordnung Modellierung durch physikalische Zusammenhänge zwischen innere Variablen ZVD Notation: Skript 3.4.1 S.40 Physikalisches Prozess Differentialgleichungen (mehrere 1.Ordnung - ZVD) Übertragungsfunktion (mit Laplace Operator s) Blockschaltbild

Zustandsvariablendarstellung und Blockschaltbild Inhalt Zustandsvariablendarstellung und Blockschaltbild Notation G(s) und G(ω) oder G(f) BSB Elemente Zustandsvariablendarstellung (ZVD) Definition und Beispiele Physikalische und Mathematische BSB Blockschaltbild (BSB) BSB Algebra Minimale Anzahl Integrator (Systeme mit Ableitung in der Eingangsfunktion)

Notation Übertragungsfunktion eines Systems: ÜFkt Variable Transformation G(ω) Kreisfrequenz : jω Fouriertransformation G(s) Laplace-Operator : s = δ+ jω Laplace Transformation Mit der Laplace Transformation man kann auch untersuchen: Stabilität des Systems Einschwingvorgang Historisch : analytische Lösung von DGl für harmonische Anregung δ= 0 , und G(s) = G(ω) Ableitung/Integration Eigenschaft LTI G(s)

Notation Blockschaltbild Elemente Blöcke Verstärker, Integratoren, … auch nicht lineare Keine Differentiatoren Signale Additionen Verzweigung Integratoren sind die zentralen Elemente eines BSB Minimalrealisierung : Anzahl der Integratoren = System Ordnung

Zustansvariablendarstellung Beispiele und Definition (Overhead Folien und Taffel) Referenz-Systeme 1. und 2.Ordnung Mathematisches BSB Passives TPF RC 2.Ordnung Physikalische BSB Passives BPF RLC 2.Ordnung Übung Aktives Sallen-Key TPF (Butterworth) Übung/Hausaufgabe

Zustansvariablendarstellung

Zustandsvariablendarstellung und Blockschaltbild Inhalt Zustandsvariablendarstellung und Blockschaltbild Notation G(s) und G(ω) BSB Elemente Zustandsvariablendarstellung (ZVD) Definition und Beispiele Physikalische und Mathematische BSB Blockschaltbild (BSB) BSB Algebra Minimale Anzahl Integrator (Systeme mit Ableitung in der Eingangsfunktion)

BSB Physikalische Form

BSB Physikalische Form Übung 2 : Aufgabe 1

BSB Mathematische Form

BSB Mathematische Form

Zusammenfassung BSB & Zusammenhang ZVD

Zustandsvariablendarstellung und Blockschaltbild Inhalt Zustandsvariablendarstellung und Blockschaltbild Notation G(s) und G(ω) BSB Elemente Zustandsvariablendarstellung (ZVD) Definition und Beispiele Physikalische und Mathematische BSB Blockschaltbild (BSB) BSB Algebra Minimale Anzahl Integrator (Systeme mit Ableitung in der Eingangsfunktion)

Blockschaltbild Algebra Elemente

Blockschaltbild Algebra Grundlagen zum Umbau von BSB: Systemvereinfachung

Blockschaltbild Algebra Grundlagen zum Umbau von BSB: Verlegung Verzweigung

Blockschaltbild Algebra Grundlagen zum Umbau von BSB: Verlegung Additionsstelle

Blockschaltbild Algebra Grundlagen zum Umbau von BSB: Beseitigung Rückführung

Blockschaltbild Algebra Grundlagen zum Umbau von BSB: Beispiel Ziel: Rückkopplung ÜF gleicht 1

Blockschaltbild Algebra Grundlagen zum Umbau von BSB: Beispiel

Zustandsvariablendarstellung und Blockschaltbild Inhalt Zustandsvariablendarstellung und Blockschaltbild Notation G(s) und G(ω) BSB Elemente Zustandsvariablendarstellung (ZVD) Definition und Beispiele Physikalische und Mathematische BSB Blockschaltbild (BSB) BSB Algebra Minimale Anzahl Integrator (Systeme mit Ableitung in der Eingangsfunktion)

Blockschaltbild Algebra Systeme mit Ableitung in der Eingangsfunktion

Blockschaltbild Algebra Systeme mit Ableitung in der Eingangsfunktion

Blockschaltbild Algebra Minimale Anzahl Integrator Gegeben ein System n.Ordnung. Wir suchen das BSB mit minimaler Anzahl von Integrator. Differentialgleichung: z.B.: n=m=2, normiert a2=1 Übertragungsfunktion: LTI G(s) g(t) Übung 2 : Aufgabe 3

Blockschaltbild Algebra Minimale Anzahl Integrator Notation: Beide Seite der DGl 2 mal integrieren: Linke und rechte Seite gleichen m(t) G1(s) (.) g1(t) (*) G2(s) (.) g2(t) (*) u(t) m(t) y(t)

Blockschaltbild Algebra Minimale Anzahl Integrator Direkt Form I Direkt Form II Bmk: Integrator nebeneinander können kombiniert sein Übung: Zeichnen Sie die entsprechende BSB