Fouriertransformation - FT

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1 Fouriertransformation - FT
Teil 2 M d Q Tavares , TB425

2 Applied Mathematics (SiSy)
SiSy Overview Signals step / impulse / rect / sinc continuous / discret periodic / aperiodic deterministic / random representation in time / frequency domains power and energy in freq domain Systems linearisation feedback and stability discretisation Transforms FR ; FT ; DFT/FFT : Laplace : Z-Transformation : DCT : Applications Biomedical / Operational Research/ Sensorics & Messtechnik Automation / Location & Telecommunication Systems Data Compression & Cryptography / Image Processing / Audio Synthesis & Analysis Statistical Signal Processing LTI DGl; BSB; ZVD; h(t); g(t); G(ω); G(s) u(t) U(ω) u[n] U(z) y(t) Y(ω) y[n] Y(z) LTD DzGl; BSB; ZVD; g[n]; G(ω); G(z) ω t f S-Plane Control (RT) Telecomm (NTM) SigProc (DSV, ASV) Z-Plane n Applied Mathematics (SiSy) x y Mathematics

3 Inhalt Fouriertransformation Erinnerung Definition
Eigenschaften I Linearität, Ableitung und Zeitverschiebung Eigenschaften II FT und IFT der Impulsfunktion (Diracstoss) FT der periodischen Signale Zeit- und Frequenz- Skalierung Frequenzverschiebung Faltung & Multiplikation Dualität Parseval‘s Theorem Amplitudenmodulation Spektrum abgetastete Signale

4 Fouriertransformation
Wann ? nicht periodische kontinuierliches Signale Spektrum (Dichte) Wofür? Analyse & Berechnungen im Frequenzbereich Wie? Notationen X(f) (Betrag und Phase) Wortschatz? Spektrumdichte, Transformierte und Inverse-Transformierte Jede Funktion die stückweise beschränkt und differenzierbar ist kann als Fourierreihe dargestellt werden der Funktionswert konvergiert an den endlich viel Unstetigkeitsstellen gegen den Mittelwert der Grenzwerte von beiden Seiten: 1/2 ( lim x(r) r  t- + lim x(r) r  t+)

5 Fouriertransformation
Notation : Transformationspaar x(t) X(f) x(t) X(ω) Definition Fouriertransformation (FT) : Abbildung vom Zeitbereich in den Frequenzbereich Inverse Fouriertransformation (IFT) : Abbildung vom Frequenzbereich in den Zeitbereich DTMF: dual tone multi frequency Frequenzwahl keine Frequenz ist ein ganzzahliges Vielfaches einer anderen in etwa 21/19 (~1 Ton) keine Intermodulationsfrequenzen: f1+f2 und f1-f2 sind nicht andere Frequenzen Detektion Toleranz %

6 Fouriertransformation Eigenschaften I
Linearität : Ableitung : Zeitverschiebung

7 Inhalt Fouriertransformation Erinnerung Definition
Eigenschaften I Linearität, Ableitung und Zeitverschiebung Eigenschaften II FT und IFT der Impulsfunktion (Diracstoss) FT der periodischen Signale Zeit- und Frequenz- Skalierung Frequenzverschiebung Faltung & Multiplikation Dualität Parseval‘s Theorem Amplitudenmodulation Spektrum abgetastete Signale

8 Tabelle I : Fouriertransformation Eigenschaften II
mit f [Hz] mit ω [rad/s] + Parseval Theorem

9 Tabelle II : Some FT Reference Signals
Zeit-Skizze Zeit-Gleichung Freq-Gleichung Freq-Skizze

10 Tabelle III : Operationen mit Diracstoss
Operation / Eigenschaft Zeit-Gleichung+Skizze Freq-Gleichung+Skizze

11 Eigenschaften II: FT und IFT der Impulsfunktion
Diracstoss im Zeitbereich Lösung Hinweis: Ausblendeneigenschaft der Diracstoss Lösung Hinweis: Variable-Ersetzung oder FT Zeitverschiebung Eigenschaft Diracstoss im Frequenzbereich Lösung Hinweis: Variable-Ersetzung oder FT Frequenzverschiebung Eigenschaft

12 Eigenschaften II: FT und IFT der Impulsfunktion

13 Eigenschaften II: FT von periodische Signale
y(t) = exp(j2πf1t) x(t) = A.cos(2πf1t) Y(f) = δ(f-f1) X(f) = ….?.... Lösung Hinweis: Linearität Eigenschaft ¦Y(f)¦ 1 f f[Hz] ¦X(f)¦ A/2 -f f f[Hz]

14 Eigenschaften II: Frequenz-Verschiebung
Beispiel 1: Cosinus und Sinus Funktion Berechnen Sie die FT der Cosinus- und Sinus- Funktion. Verwenden Sie dafür die Frequenz-Verschiebung Eigenschaft.

15 Eigenschaften II: Frequenz-Verschiebung
Beispiel 2: Modulation Berechnen Sie die FT der modulierten Funktion: Lösung Hinweis: Linearität und Frequenzverschiebung Eigenschaften Y(f) f[Hz] Z(f) f[Hz] f[Hz] M(f)

16 Eigenschaften II: Zeit- und Frequenz- Skalierung
Ausdehnung oder Kompression der Zeitachse Ausdehnung oder Kompression der Frequenzachse

17 Eigenschaften II: Zeit- und Frequenz- Skalierung
Beispiel 3: Rechteckimpuls -/ / t[s] y(t) A f[Hz] ¦Y(f)¦ -/ / t[s] y(t) A f[Hz] ¦Y(f)¦

18 Eigenschaften II: Zeit- und Frequenz- Skalierung
auch bekannt als: Time x Bandwidth Product oder Das Unschärfe Prinzip Übung 1: Aufgabe 6 Quelle : Ulrich Karrenberg „Signale Prozesse Systeme“

19 Eigenschaften II: Faltung & Multiplikation
Faltung im Zeitbereich ↔ Multiplikation im Frequenzbereich Multiplikation im Zeitbereich ↔ Faltung im Frequenzbereich Bemerkung: Vergleichen Sie es mit Faltung mit Impulsantwort äquivalent zur Multiplikation mit Übertragungsfunktion LTI g(t) G(ω)

20 Eigenschaften II: Faltung & Multiplikation
Beispiel 4: Berechnen Sie die FT der Funktion: Lösung Hinweis: Dualität Faltung-Multiplikation Eigenschaft ¦Y(f)¦ y(t) -/ / t[s] f[Hz]

21 Eigenschaften II: Dualität
Duale Korrespondenz (Symmetriebeziehung oder Vertauschungssatz) Die Fouriertransformation und ihre Rücktransformation haben grosse Ähnlichkeit: Ersetzen wir und

22 Eigenschaften II: Dualität
Fouriertransformationspaar Duales Transformationspaar Beispiel 5: Ideales Tiefpassfilter Berechnen Sie die Impulsantwort eines idealen Tiefpassfilter? Beispiel 6: Ideales Bandpassfilter Berechnen Sie die Impulsantwort eines idealen Bandpassfilter?

23 Eigenschaften II: Theorem von Parseval
Theorem von Parseval für Energiesignale (aperiodisch, FT) Die Energie des Signals ist das selbe im Zeit- und Frequenzbereich Beweis über Berechnung von Theorem von Parseval für Leistungssignale (periodisch, FR) Die Leistung des Signals ist das selbe im Zeit- und Frequenzbereich „The average power of the signal x(t) equals the sum of the average power in its harmonic components.“ Übung 1: Aufgabe 2

24 Inhalt Fouriertransformation Erinnerung Definition
Eigenschaften I Linearität, Ableitung und Zeitverschiebung Eigenschaften II FT und IFT der Impulsfunktion (Diracstoss) FT der periodischen Signale Zeit- und Frequenz- Skalierung Frequenzverschiebung Faltung & Multiplikation Dualität Parseval‘s Theorem Amplitudenmodulation Spektrum abgetastete Signale Übung 1: FR & FT Eigenschaften

25 Analoge Modulationsverfahren
Quelle Modulator (HF-) Kanal De- modulator Senke Träger- Oszillator ev.Träger- s(t) y(t) Träger mit Information prägen: y(t) = a(t)∙cos(2πf0t+φ(t)) Amplitudenmodulation: a(t) = f[s(t)] und φ(t) = φ0 und Winkelmodulation: a(t) = A0 und φ(t) = f[s(t)]

26 AM-Rundfunk Übertragungseigenschaften LW, MW und KW („M. Meyer: Kommunikationstechnik“) Band Rundfunk Welle Kanal Distanz LW kHz Bodenwelle konstant Kontinent MW … kHz tags Bodenwelle tags konstant Kontinent nachts Raumwelle nachts variabel KW 3.2 … 26.1 MHz Raumwelle variabel weltweit (12 Bänder) Mehrweg, Doppler erste Rundfunksender um 1920 in Betrieb genommen BB-Spektrum: 200 … 4500 Hz (verständlich, Audioqualität „poor“) BZAM=9 kHz schmal, geeignet für Weitdistanzübertragung maximaler Modulationsgrad auf 1 beschränkt (Hüllkurven-Demodulator) => mittlerer Modulationsgrad kleiner Kanalraster meistens 9 kHz (statt mit kleinem guard band) Digitalisierung mit DRM (Digital Radio Mondiale) steht bevor => wahrscheinlich nur für dritte Welt interessant

27 Frequenztranslation durch Mischung
s(t) = A∙cos(2πfmt) y(t) = s(t)∙cos(2πf0t) cos(2πf0t) Beispiel: A=1, fm = 1 kHz, f0 = 20 kHz s(t) y(t)

28 Frequenztranslation durch Mischung
S(f ) y(t) = s(t)∙cos(2πf0t) = A∙cos(2πfmt)∙cos(2πf0t) y(t) = (A/2)∙cos(2π(f0-fm)t) (A/2)∙cos(2π(f0+fm)t) Basisband A/2 f -fm fm - f0 + f0 Frequenztranslation „HF“-Band Y(f ) A/4 f f0+fm -f0 f0-fm f0

29 Produktmodulation AM-Signal: y(t) = s(t)∙cos(2πf0t)
AM-Spektrum: Y(f) = (1/2)∙S(f+f0) +(1/2)∙S(f-f0) Upper Side Band (USB) Lower Side Band (LSB) Zweiseitenband-Amplitudenmodulation mit unterdrücktem Träger (DSB-AM or DSSC: Double-Sideband Suppressed Carrier)

30 sT(t) bipolar rechteckförmig
Produktmodulation s(t) sT(t) bipolar rechteckförmig y(t) Ringmischer

31 Kohärente AM-Demodulation
Mischung und Tiefpassfilter

32 Klassische AM m·s(t) y(t) = A·[1+m·s(t)]∙cos(2πf0t) 1 A·cos(2πf0t)
Is(t)I ≤ 1 y(t) = A·[1+m·s(t)]∙cos(2πf0t) 1 A·cos(2πf0t) Beispiel: m=0.5, s(t) = cos(2πfmt), fm = 1 kHz, A=1, f0 = 20 kHz s(t) y(t) 2.m

33 Klassische AM Enveloppendetektion oder Nicht-kohärente Demodulation

34 Inhalt Fouriertransformation Erinnerung Definition
Eigenschaften I Linearität, Ableitung und Zeitverschiebung Eigenschaften II FT und IFT der Impulsfunktion (Diracstoss) FT der periodischen Signale Zeit- und Frequenz- Skalierung Frequenzverschiebung Faltung & Multiplikation Dualität Parseval‘s Theorem Amplitudenmodulation Spektrum abgetastete Signale

35 Spektrum abgetastete Signale
Sampling explained with Fourier Transform Properties Fourier Transform of Periodic Functions (generalized) Summation of time shifted generating functions Ideal Impulse Sampling Spectrum of a periodic impulse signal t t

36 Fourier Transform of Periodic Functions - I
Given a periodic function x(t) and its Fourier series (FR) we look for its Fourier Transform (FT) → The frequency spectrum (FT) of a periodic signal is a series of impulse functions at the harmonics frequencies. Each impuls is weighted by the complex Fourier series (FR) coefficient of that harmonic. (vide comparison FT-FR sisy1)

37 Fourier Transform of Periodic Functions - II
Or expressing the periodic function as the sum of time-shifted generating function g(t) remembering train of impulses t

38 Fourier Transform of Periodic Functions - II
expressing the train of impulses by its Fourier series (FR) with and using the result of the FT for periodic signals, shows that → The Spectrum of a train of impulses in the time domain is again a train of impulses in the frequency domain!

39 Fourier Transform of Periodic Functions - II
So now back into the periodic function as sum of generating function. Let us remember the property multiplication vs faltung in time and frequency domain → We confirm the result that the spectrum of a periodic function is discrete. Furthermore we see that this spectrum has a form (envelope) that is similar to the spectrum of the aperiodic generating function.

40 Spectrum of a Periodic Impulse Signal
Checking this result with the approach of the generating function. The generating function is then a single impulse. t f

41 Ideal Impulse Sampling
x(t) xs(t) p(t)=∑δ(t-nTs) x(t) xs(t)=x[n] Ts t f Ts t fs f t f → The ideal sampling corresponds to: multiplication with train of impulses in time domain and convolution (Faltung) with train of impulses in frequency domain!