Portfoliooptimierung Nach Markowitz

Gliederung Einleitung Finanzmarkt Portfoliooptimierung Geschichte

“My ventures are not in one bottom trusted, Nor to one place, nor is my whole estate Upon the fortune of this present year. Therefore my merchandise makes me not sad.” (Shakespeare 1596: The Merchant of Venice)

„Portefeuille; Bezeichnung in der Kapitalmarkttheorie für den Bestand an Wertpapieren eines Investors.“ (Gabler Wirtschaftslexikon: „Portfolio“, unter: http://wirtschaftslexikon.gabler.de/Definition/portfolio.html (abgerufen am 20.11.2017))

Finanzmarkt Portfoliotheorie Assets = Vermögenswert (z.B. Aktien, Devisen, Immobilien) Diversifikation = Ausweitung von Wahlmöglichkeiten Standardabweichung σ = Mittlere Streuung um Mittelwert Varianz σ² = relativiertes Streuungsmaß Kovarianz = Kenngröße für die Stärke des linearen Zusammenhangs zweier quantitativer Merkmale bzw. Zufallsvariablen.

Finanzmarkt Portfoliotheorie Voraussetzungen Euklidische Metrik der Risikoabschätzung Diverzierbare Assets Investitionsentscheidung nur am Anfang einer Periode 𝑥=( 𝑥 1 ,…., 𝑥 𝑛 ) Investmentportfolio 𝑥 𝑗 Anteil / Wichtung der Assets 𝑗 𝐾 Anfangskapital 𝐾 𝑗 Wert / Preis des Assets

Finanzmarkt Portfoliotheorie Budgetrestriktion K= 𝑗=1 𝑛 𝐾 𝑗 𝑥 𝑗 mit 𝑗=1 𝑛 𝑥 𝑗 =1 Falls alle Assets unendlich oft teilbar, dann setze 𝑥 𝑗 = 𝐾 𝑗 𝑥 𝑗 𝐾

“Markowitz (1952) distinguished between efficient and inefficient portfolios.” (Harry M. Markowitz: “The Early History of Portfolio Theory: 1600-1960”, Financial Analysts Journal, Vol. 55, No. 4 (Jul. - Aug., 1999), pp. 5-16)

Portfoliooptimierung Erkenntnisse von Markowitz Gegenläufigkeit von Vermögenswerten Überzeugung von einem Portfolio ≅ Zufallsvariable Erwartete Rendite d. Portfolios ≅ gewichteter durchschnitt d. erwarteten Rendite der einzelnen Assets Varianz := Risiko Bsp.: 2 unkorrelierte Wertpapiere

Portfoliooptimierung Mögliche Modelle Erwartete Rendite maximieren Risiko minimieren Minimierung des Risikos für gegebene Rendite Maximierung der Rendite für gegebenes Risiko Rendite maximieren und Risiko minimieren

Portfoliooptimierung Mögliche Modelle Erwartete Rendite maximieren Risiko minimieren Minimierung des Risikos für gegebene Rendite Maximierung der Rendite für gegebenes Risiko Rendite maximieren und Risiko minimieren

Portfoliooptimierung Modell nach Markowitz: Rendite maximieren und Risiko minimieren Voraussetzungen 𝑅 𝑥 Rendite des Portfolios 𝑥 𝑅 𝑗 konstituierender Asset 𝑝 𝑡 Wahrscheinlichkeit von Szenario 𝑡 𝑟 𝑡𝑗 Rendite in Szenario t 0<𝑡≤𝑇

Portfoliooptimierung Modell nach Markowitz: Rendite maximieren und Risiko minimieren erwartete Rendite von Asset j 𝑟 𝑗 =𝐸( 𝑅 𝑗 )= 𝑡=1 𝑇 𝑝 𝑡 𝑟 𝑡𝑗 Wenn alle Szenarien in der Zukunft gleichwertig sind, dann 𝑝 𝑡 = 1 𝑇 d.h. 𝑟 𝑗 = 𝑡=1 𝑇 𝑟 𝑗𝑡 𝑇 Erwartete Rendite des Portfolios Maximieren: 𝑟 𝑥 =𝐸 𝑅 𝑥 = 𝑗=1 𝑛 𝑥 𝑗 𝑟 𝑗 → Max!

Portfoliooptimierung Modell nach Markowitz: Rendite maximieren und Risiko minimieren 𝜎 Standartabweichung der Rendite (Risikomaß) 𝜎 𝑖𝑗 = 1 𝑇 𝑡=1 𝑇 ( 𝑟 𝑖𝑡 − 𝑟 𝑖 )( 𝑟 𝑗𝑡 − 𝑟 𝑗 ) Kovarianz Formel für Standartabweichung des Portfolios 𝜎 𝑥 = 𝐸 𝑅 𝑥 −𝑟 𝑥 2 = 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝜎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 → Min! Varianz für Rendite ist der erwartete Wert der quadrierten Abweichung 𝜎 2 = 𝑡=1 𝑇 𝑝 𝑡 ( 𝑟 𝑡 −𝐸 𝑟 )² → Min!

Portfoliooptimierung Modell nach Markowitz: Rendite maximieren und Risiko minimieren Optimierungsproblem 𝑟 𝑥 = 𝑗=1 𝑛 𝑥 𝑗 𝑟 𝑗 → Max! [Rendite] 𝜎 2 = 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑥 𝑖 𝜎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 → Min! [Risiko] wobei 𝑗=1 𝑛 𝑥 𝑗 =1 Gewichtete Zielfunktion: λ r(x) − (1−λ) σ(𝑥) → Max! 0<λ≤1

Comparing the two articles, “Roy also proposed making choices on the basis of mean and variance […] Comparing the two articles, one might wonder why I got a Nobel Prize for mine and Roy did not for his.” (Harry M. Markowitz: “The Early History of Portfolio Theory: 1600-1960”, Financial Analysts Journal, Vol. 55, No. 4 (Jul. - Aug., 1999), pp. 5-16)

Geschichte Portfoliooptimierung nach Markowitz Merton H. Miller 1952 Roy: “Safety first and the holding of assets”, Econometrica 20 Markowitz: “Portfolio Selection”, The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1 1959 Markowitz: “Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments” 1960 Gedankenaustausch mit Sharpe 1963 Sharpe: “A Simplified Model for Portfolio Analysis” Merton H. Miller Harry M. Markowitz William F. Sharpe

Geschichte Portfoliooptimierung nach Markowitz Merton H. Miller 1987 Markowitz: “Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets”, Management Science, Vol. 9, No. 2 1990 Wirtschaftsnobelpreis für die Theorie der Portfolio-Auswahl Markowitz, Sharpe und Miller Merton H. Miller Harry M. Markowitz William F. Sharpe

Mean-Varianz-Analyse Geschichte Portfoliooptimierung nach Markowitz 1952a 1959 Varianz Grundsatz für empfohlenes Verhalten Ohne Rechtfertigung, allg. Verwendung d. Maßes für Streuung Hypothese des tatsächlichen Verhaltens Vorschlag zur Approximation bei der Maximierung des erwartete Nutzen Mean-Varianz-Analyse

Mehrperiodenmodell mit einperiodischer Analyse Geschichte Portfoliooptimierung nach Markowitz 1952a 1959 Mittlere Varianz Mehrperiodenmodell mit einperiodischer Analyse Gaußsche W-Verteilung (1) Mittelwert, Varianz & Kovarianz Portfolioanalyse auf dem Barwert zukünftiger Dividenden (2) W-Verteilung der Rendite in einem stationären Zustand Mittelwert, Varianz & Kovarianz Parameter d. stat. Zustandes

Danke für die Aufmerksamkeit

Quellen Harry M. Markowitz: “The Early History of Portfolio Theory: 1600-1960”, Financial Analysts Journal, Vol. 55, No. 4 (Jul. - Aug., 1999), pp. 5-16 nach einer Vorlesung von Prof. Dr. Chr. Tammer: „Mehrkriterielle Optimierung“, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg, Germany, 2011/12 John B. Guerard, Jr.: „Handbook of Portfolio Construction“ I. Bolshakova, M. Kovalev, E. Girlich : „PORTFOLIO OPTIMIZATION PROBLEMS: A SURVEY“, 2009 Yaoyao C. Duan: „ A Multi-objective Approach to Portfolio Optimization“, Boston College, Chestnut Hill, MA Armananzas, Lozano: „ A Multiobjective Approach to the Portfolio Optimization Problem“, Donostia-San Sebastian, Spain, 2018 Gregor Weiss, Vorlesung: „Computational Finance“, Leipzig, Germany, 2016

Bildverzeichnis Markowitz: https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economic- sciences/laureates/1990/markowitz-bio.html Sharpe: http://depts.washington.edu/foster/sharpes-living-laboratory/ Miller: https://www.risknet.de/wissen/who-s-who/merton-howard-miller/ Medaillie: http://www.faz.net/aktuell/wirtschaft/wirtschaftswissen/geschichte- des-nobelpreis-fuer-oekonomie-nur-neoliberale-propaganda-14472021/preisgeld- und-medaille-14472025.html