MARTIN-LUTHER-UNIVERSITÄT HALLE-WITTENBERG Mathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät Fachbereich Ingenieurwissenschaften Institut Umwelttechnik Numerische Untersuchung des Schwingungsverhaltens von reibungsbehafteten Flüssigkeitssäulen mit freien Oberflächen Studienarbeit von: Thomas Reichardt Inhalt 1 Bedeutung von Schwingungen 2 Grundlagen zu Schwingungen 3 Beschreibung des Schwingsystems 4 Berechnung der Eigenfrequenz 5 Numerische Simulation mit PHOENICS 6 Ergebnisse

1 Bedeutung von Schwingungen in vielen Bereichen des täglichen Lebens z.B. Ebbe und Flut, Tag und Nacht in der Physik z.B. Uhrenpendel, Atom- und Gitterschwingungen, Superstringtheorie in der Raumfahrt z.B. Resonanzschwingungen von Flüssigkeiten können zum Torkeln des Raumflugkörpers führen in der Medizin z.B. Pulsschlag In der Verfahrenstechnik z.B. zur Intensivierung des Stoffaustausches (in Extraktoren, Blasensäulen und Ionenaustauscherapparten)

2 Grundlagen zu Schwingungen Definition von Schwingungsvorgängen zeitlich-periodische Änderung einer physikalischen Größe um einen Mittelwert Energie wird hin- und herbewegt Systeme die zu einen Energieaustausch in der Lage sind werden Oszillatoren genannt. Die Periodizität des Energieaustausches wird durch die Frequenz, d.h. die Anzahl der Zyklen je Zeiteinheit beschrieben. Wird die Bewegung der Schwingung durch eine Cosinus- bzw. Sinus-Funktion beschrieben, liegt eine harmonische Schwingung vor.

2 Grundlagen zu Schwingungen Einmalige Energiezufuhr → freie Schwingung, System schwingt mit einer konstanten Eigenfrequenz keine Energie wird entzogen → freie ungedämpfte Schwingung Auslenkung schwankt zwischen zwei konstanten Maximalwerten (Amplituden) Reibung oder Energieverluste→ freie gedämpfte Schwingung abnehmende Amplitude Die Frequenz ist kleiner als die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung Wird dem Oszillator eine periodische Erregung mit einer Erregerfrequenz aufgezwungen, dann nennt man ihn Resonator, der dann eine erzwungene Schwingung ausführt. wenn die Erregerfrequenz gleich der Eigenfrequenz (Resonanzfrequenz) des Schwingsystems ist, tritt Resonanz ein Im ungedämpften Fall → Amplitude wächst unendlich an (Resonanzkatastrophe) Im gedämpften Fall → Amplitude steigt auf einen Maximalwert an

2 Grundlagen zu Schwingungen Allgemeine Schwingungsdifferenzialgleichung: Differentialgleichung der freien ungedämpften Schwingung: mit der Lösung: Differentialgleichung der freien gedämpften Schwingung:

3 Beschreibung des Schwingsystems Für die durchgeführten Untersuchungen wurde ein schwingungsfähiges System in einer offenen „Rohr-in-Rohr“-Ausführung, ähnlich einem beidseitig offenem U-Rohr zugrungegelegt. pb pb pb pb σ 1000 L2 100 dM L1 A1 A2 L = L1+L2 y

3 Beschreibung des Schwingsystems Versuchsplanung Variation der Ringspaltweite bei gleichen durchströmten Flächen im Mantel- und Zentralrohr Variation der durchströmten Flächen Vergleich der Eigenfrequenzen mit den Resonanzfrequenzen

3 Beschreibung des Schwingsystems 3d-Modelle AM halbiert AM=AZ AM verdoppelt

4 Berechnung der Eigenfrequenz Eigenfrequenz bei durchströmten Flächen gleicher Größe Herleitung über den Energieerhaltungssatz für instationäre, reibungsfreie Fadenströmungen inkompressibler Fluide Gleichheit der Querschnitte Drücke heben sich heraus, da gleich dem Umgebungsdruck Differenz des Flüssigkeitsniveaus wird ersetzt durch Da gleiche Flächen ergibt sich für das Integral die Länge des Flüssigkeitsfadens L Änderung der Spiegelhöhe mit der Zeit , bzw.

4 Berechnung der Eigenfrequenz die Differenzialgleichung lautet dann oder für die Eigenfrequenz der freien ungedämpften Schwingung gilt:

4 Berechnung der Eigenfrequenz Eigenfrequenz bei durchströmten Flächen unterschiedlicher Größe L2 y2 L1 y1 A1 A2

4 Berechnung der Eigenfrequenz Herleitung über den Energieerhaltungssatz und Kontinuitätsbedingung eingesetzt in die die Energiebilanz führt nach Umstellen zu folgendem Ausdruck: für die Differenz des Flüssigkeitsniveaus kann geschrieben werden und mit folgt

4 Berechnung der Eigenfrequenz Auflösen des Integrals mit und ergibt sich die Differentialgleichung Vernachlässigung des quadratischen Gliedes führt zu

4 Berechnung der Eigenfrequenz Somit gilt und für die Eigenfrequenz

5 Numerische Simulation mit PHOENICS PHOENICS ist ein CFD-Softwarepaket mit dem folgende Strömungsvorgänge simuliert werden können: stationäre und instationäre Strömungen laminare und turbulente Strömungen Strömungen kompressibler und inkompressibler Medien Einphasensysteme oder Mehrphasensysteme Berechnung von Partikelbahnen Berechnung mit oder ohne chemische Reaktionen Strömungsvorgänge durch Schüttschichten

5 Numerische Simulation mit PHOENICS Erhaltungsgleichungen Grundlage der Berechnung bilden partielle Differential-gleichungen für die Erhaltung der Masse, Energie und Impuls Lösung erfolgt numerisch Differentialgleichungen werden durch ein System von algebraischen Gleichungen ersetzt (Diskretisierung) In Phoenics erfolgt die Lösung mit der Finite-Volumen-Methode Finite-Volumen-Methode Netz wird über das Berechnungsgebiet gelegt es ergeben sich für jede Zelle (jedes Kontrollvolumen) sechs Oberflächenintegrale nach der Integration entstehen Bilanzgleichungen die eine Lösung ermöglichen

5 Numerische Simulation mit PHOENICS Verfahren zur Bestimmung der Höhe von Flüssigkeiten bei freien Oberflächen (HOL-Verfahren) zur Simulation von bewegten Schnittstellen (Flüssigkeit-Gas) ist in PHOENICS im Unterprogramm GXHOL integriert Position der Schnittstelle wird über die Markierungsvariable VFOL ermittelt VFOL : Volumenbruch der Flüssigkeit TMOL : gesamte Masse der Zellen in einer Spalte LMOL : Masse der Flüssigkeit vor der Schnittstellenzelle RHOL : Flüssigkeitsdichte CVOL : Zellvolumen VFOL kann Werte von 0 bis 1 annehmen 0 → Gas 1 → Wasser

5 Numerische Simulation mit PHOENICS Gitterausschnitt

5 Numerische Simulation mit PHOENICS Ermittlung der Resonanzfrequenz Einlesen der PHI-Dateien der einzelnen Varianten in Autoplot Diagramm für die Variable VFOL erzeugt und Erfassung des mittleren Wertes der Variable VFOL

5 Numerische Simulation mit PHOENICS Messwerte wurden in Excel aufgenommen Bestimmung der Schwingungsdauer und des Abklingkoeffizienten für die jeweilige Variante Berechnung der Resonanzfrequenzen Nachbildung der Schwingungsfunktionen

Variation der Ringspaltweite 6 Ergebnisse Variation der Ringspaltweite mit 0,005m; 0,015m; 0,025m; 0,035m und 0,05m Grenzringspaltweite bei 0,025m, hier ist die durchströmte Fläche im Ringspalt gleich der durchströmten Fläche im Zentralrohr Auslenkung im Mantelrohr

6 Ergebnisse Auslenkung im Zentralrohr

6 Ergebnisse Resonanzfrequenzen Auslenkung im Mantelrohr: größte Resonanzfrequenz bei 0,035m Ringspaltweite Auslenkung im Zentralrohr: größte Resonanzfrequenz bei 0,025m σ [m] Aus der Simulation ermittelte Resonanzfrequenzen bei gleichen durchströmten Flächen fd [Hz] bei Auslenkung im Mantelrohr fd [Hz] bei Auslenkung im Zentralrohr 0,005 - 0,5 0,015 0,5134788 0,5158332 0,025 0,5786618 0,5775321 0,035 0,5849886 0,5227492 0,05 0,5284738

6 Ergebnisse Animationen 0,005 0,015 0,025 0,035 0,05 Auslenkung der Flüssigkeit [m] zum Zeitpunkt Null im: Ringspaltweite [m]: Mantelrohr: 0,5 Zenralrohr: 0,9 0,005 0,015 0,025 0,035 0,05

6 Ergebnisse Variation der der durchströmten Flächen

6 Ergebnisse Resonanzfrequenzen größte Resonanzfrequenz bei den Varianten, wo die Auslenkung der Flüssigkeit in dem Rohrraum mit der kleinsten durchströmten Fläche erfolgt σ [m] aus der Simulation ermittelte Resonanzfrequenzen Fläche im Mantelrohr verdoppelt Fläche im Mantelrohr halbiert fd [Hz] bei Auslenkung im Mantelrohr fd [Hz] bei Auslenkung im Zentralrohr 0,025 0,5389147 0,6102888 0,612769 0,5498805

6 Ergebnisse Vergleich der Ergebnisse Vergleich der Abklingkoeffizienten    σ [m] gleiche Flächen Fläche im Mantelrohr verdoppelt Fläche im Mantelrohr halbiert δ bei Auslenkung im Mantelrohr im Zentralrohr 0,005 - 1,3862944 0,015 0,6038682 0,6210491 0,025 0,5992839 0,5981139 0,6443042 0,7607315 0,6217748 0,5247986 0,035 0,5351949 0,413369 0,05 0,4103751

6 Ergebnisse Vergleich der Ergebnisse Vergleich der berechneten Eigenfrequenzen mit den Resonanzfrequenzen analytisch berechnete Eigenfrequenzen über Energieerhaltungssatz mit L1=L2=0,7666m bzw. L1=L2=0,6333m gleiche Flächen Fläche im Mantelrohr verdoppelt Fläche im Mantelrohr halbiert f0 [Hz] f0 [Hz] Auslenkung im Mantelrohr im Zentralrohr Im Mantelrohr 0,59570528 0,569216104 0,626273876 σ [m] aus der Simulation ermittelte Resonanzfrequenzen gleiche Flächen Fläche im Mantelrohr Verdoppelt halbiert fd [Hz] bei Auslenkung im Mantelrohr im Zentralrohr 0,005 0,5 0,015 0,5134788 0,5158332 0,025 0,5786618 0,5775321 0,5389147 0,6102888 0,612769 0,5498805 0,035 0,5849886 0,5227492 0,05 0,5284738

6 Ergebnisse

6 Ergebnisse schmale Hauptströmung und breite Rückströmung bei 0,015m Ringsp.

6 Ergebnisse Geschwindigkeitsvektoren bei der Auslenkung im Mantelrohr und 0,015m Ringspaltweite

6 Ergebnisse ebenfalls breite Rückströmung bei 0,005m Ringspaltweite

6 Ergebnisse Wirbelbildung im Bereich der Ringspaltweite bei 0,035 und 0,05 m Ringsp.