508.535 Satellitengeodäsie Kugelfunktionen Torsten Mayer-Gürr

Bisher: Für einfache Körper lassen sich auch „einfache“ Formeln angeben. Kugel Hohlkugel Kugeloberfläche Jetzt: Für die reale Erde lässt sich das Schwerefeld nicht so leicht beschreiben… 24.03.2015

Gravitationspotential product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from 2002-08 to 2007-04 of GRACE data earth_gravity_constant 3.986004415e+14 radius 6378136.6 max_degree 180 key L M C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc 0 0 1.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 0 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 1 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 2 0 -4.841692718699e-04 0.000000000000e+00 6.469883774458e-13 0.000000000000e+00 gfc 2 1 -2.654790999243e-10 1.475393314283e-09 6.108979511966e-13 6.355307212507e-13 gfc 2 2 2.439383367978e-06 -1.400273635220e-06 6.254221806143e-13 6.423410956098e-13 gfc 3 0 9.571610348416e-07 0.000000000000e+00 4.908157850872e-13 0.000000000000e+00 gfc 3 1 2.030461736678e-06 2.482003394707e-07 4.904543816334e-13 5.118675157415e-13 gfc 3 2 9.047877724984e-07 -6.190053685183e-07 5.459595906001e-13 5.482674767117e-13 gfc 3 3 7.213217237276e-07 1.414349090196e-06 5.163836126113e-13 5.163483433061e-13 gfc 4 0 5.399657665980e-07 0.000000000000e+00 3.758481731782e-13 0.000000000000e+00 gfc 4 1 -5.361573220519e-07 -4.735672404588e-07 3.874699557956e-13 3.973550735355e-13 gfc 4 2 3.505015650151e-07 6.624798955603e-07 4.501829959710e-13 4.398486563277e-13 gfc 4 3 9.908565738322e-07 -2.009566568843e-07 4.776067657084e-13 4.766590461153e-13 gfc 4 4 -1.885196275153e-07 3.088038091544e-07 4.556511148108e-13 4.565287154679e-13 gfc 5 0 6.867029195170e-08 0.000000000000e+00 2.444626602968e-13 0.000000000000e+00 gfc 5 1 -6.292117216708e-08 -9.436975416042e-08 2.510438328896e-13 2.640391465060e-13 ... Wie kann man das Gravitationsfeld der Erde abspeichern? Benötigt wird das gesamte Feld im Außenraum (Werte auf der Erdoberfläche, Bahnberechung von Satelliten o. Mond) 24.03.2015

Approximation Beispiel: Bestimmung der Temperaturabhängigkeit eines Entfernungsmessers y Approximation durch ein Polynom Vorteile: - Es müssen nur wenige Polynomkoeffizienten abgespeichert werden. - Es kann auch zwischen den Messwerten Funktionswerte berechnet werden. x 24.03.2015

Approximation Approximation des Potentials durch räumliche Polynome Beispiel: Homogenes Polynom vom Grad 5 Homogenes Polynom vom Grad n Gruppierung in Polynome mit homogenem Grad n 24.03.2015

Homogene, harmonische Polynome Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch Die Approximation sollte auch harmonisch sein Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Approximation des Potentials durch Summe von homogenen, harmonischen Polynomen Homogenes, harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhängigen Basispolynomen Beispiel: Grad n=2 Es lässt sich zeigen, dass es 2n+1 linear unabhängige harmonische homogene Polynome Hnm von Grad n gibt 24.03.2015

Homogene, harmonische Polynome Das Gravitationspotential ist im Außenraum harmonisch Die Approximation sollte auch harmonisch sein Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Approximation des Potentials durch Summe von homogenen, harmonischen Polynomen Homogenes, harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhängigen Basispolynomen Beispiel: Grad n=2 oder wenn man negative Indizies einführt: Grad n Ordnung m 24.03.2015

Koeffizientendreieck Approximation des Potentials durch Summe von homogenen, harmonischen Polynomen Anordnung der Koffizienten in einem Dreieck Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Grad n = 5 Ordnung m 24.03.2015

Koeffizientendreieck Standardabweichungen der Monatslösung ITG-Grace2010s (2008-03) 24.03.2015

Homogene Polynome Homgenes Polynom vom Grad n Satz: Es gilt Beweis 24.03.2015

Kugelflächenfunktionen Sphärische Polarkoordinaten Homogene, harmonische Polynome Kugelflächenfunktion: homogenes harmonisches Polynom beschränkt auf die Kugeloberfläche Darstellung des Potentials Approximation von Funktionen auf der Kugel 24.03.2015

Basisfunktionen 24.03.2015

Basisfunktionen 24.03.2015

Basisfunktionen 24.03.2015

Basisfunktionen 24.03.2015

Approx. durch Kugelflächenfunktionen Approximation durch Kugelflächenfunktionen 24.03.2015

Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081 24.03.2015

Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081 24.03.2015

Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081 24.03.2015

Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081 24.03.2015

Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081 24.03.2015

Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081 24.03.2015

Approx. mit Kugelflächenfunktionen Grad n Anzahl der Koeffizienten 4 25 8 81 16 289 30 961 60 3721 120 14641 240 58081 24.03.2015

Approximation einer gegebenen Funktion durch Kugelflächenfunktionen oder Wie bestimmt man die Koeffizienten? 24.03.2015

Approx. durch Kugelflächenfunktionen Approximation auf der Kugeloberfläche: Norm und Skalarprodukt: Sind die Basisfunktionen orthogonal dann lautet die Lösung 24.03.2015

Approx. durch Kugelflächenfunktionen Reihenentwicklung nach Kugelflächenfunktionen: mit den Koeffizienten Norm der Basisfunktionen: Nicht normiert (z.B. Mathematik): Schmidt semi-normalisiert (z.B. Magnetfeld): Wahl der Norm ist beliebig: Vollständig normiert (z.B. Schwerefeld) 24.03.2015

Approx. durch Kugelflächenfunktionen Reihenentwicklung nach Kugelflächenfunktionen: mit den Koeffizienten 24.03.2015

Berechnung der Basisfunktionen 24.03.2015

Kugelflächenfunktionen Koordinaten auf der Kugel Kugelflächenfunktion: Homogenes harmonisches Polynom beschränkt auf die Kugeloberfläche Basisfunktionen Grad n = 0 Grad n = 1 Grad n = 2 Grad n = 3 Grad n = 4 Ordnung m 24.03.2015

Rekursionsformeln Koordinaten auf der Kugel 1. 2. Faktoren (vollständig normiert) 3. 4. 24.03.2015

Potential im Außenraum 24.03.2015

Kugelflächenfunktionen Sphärische Polarkoordinaten Homogene, harmonische Polynome Kugelflächenfunktion: homogenes harmonisches Polynom beschränkt auf die Kugeloberfläche Darstellung des Potentials Approximation von Funktionen auf der Kugel 24.03.2015

Kugelfunktionen Approximation des Potentials Laplacesche Kugelflächenfunktionen Die Reihe konvergiert nur für r<1 Approximation des Potentials Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: nächste Folien 24.03.2015

Laplace und Beltrami Operator Laplace Operator Laplace Operator in sphärischen Koordinaten Beltrami Operator (Laplace Operator beschränkt auf die Kugeloberfläche) 24.03.2015

Kugelfunktionen Approximation des Potentials Wir wissen, dass die Laplacegleichung hierfür gilt Ziel: zeigen, dass dann die Laplacegleichung auch dafür gilt! Die Reihe konvergiert nur für r<1 Approximation des Potentials Diese Reihe ist ebenfalls harmonisch und konvergiert für r>1 Beweis: nächste Folien 24.03.2015

Laplace und Beltrami Operator Laplace Operator 24.03.2015

Kugelfunktionen Approximation des Potentials für r<1 Laplacesche Kugelflächenfunktionen Approximation des Potentials für r>1 24.03.2015

Klassische Herleitung der Kugelfunktionen: Lösung der Laplacegleichung 24.03.2015

Lösung der Laplace Gleichung Annahme: Lösung entspricht folgendem Separationsansatz DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen Erneute Separation Lösung der DGL sind die sogenannten zugeordneten legendreschen Funktionen DGL hat zwei linear unabhängige Lösungen 24.03.2015

Lösung der Laplace Gleichung Gesucht sind alle Lösungen der Laplacegleichung Spezielle Lösung mit Alle Linearkombination der speziellen Lösungen sind auch Lösungen für r<1 für r>1 Vergleich: Fourier-Reihe Kugelfunktionsentwicklung kann man interpretieren als 2D Fourier-Reihe auf der Kugel 24.03.2015

Vergleich der Ansätze: Homogene, harmonische Polynome vs. Lösung der Laplacegleichung 24.03.2015

Kugelfunktionen Variante 1: Variante 2: Zusammenhang: für m>=0 24.03.2015

Kugelfunktionen Schreibweise 1: Schreibweise 2: Entwicklung einer Funktion auf der Kugel nach Kugelflächenfunktionen Schreibweise 3: Es gibt auch noch eine Darstellung bei der sin und cos zu einer komplexen Funktion zusammengefasst werden. Man findet alle Darstellungen in der Literatur. Zusammenhang: 24.03.2015