von Regina Böhm Nina Sturmlechner

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1 von Regina Böhm Nina Sturmlechner
Referat Bsp. 47 von Regina Böhm Nina Sturmlechner

2 Beispiel 47 Zeigen Sie, dass (1.476) für p>0 und ε≥0 einen Kegelschnitt beschreiben, und zwar für ε<1 eine Ellipse, für ε=1 eine Parabel und für ε>1 eine Hyperbel! (1.476): p/r =1+ ε cos (φ-φ₀)

3  √x² + y² + εx = p p/r = 1+ ε cos (φ-φ₀)  r = √x² + y²
Ebene Polarkoordinaten (r, φ): x = r cosφ y = r sinφ Geometrische Bedeutung der ebenen Polarkoordinaten: r = √x² + y² Setzen φ₀ = 0 und drücken die Gleichung in kartesische Koordinaten aus und erhalten:  √x² + y² + εx = p

4 Zwischenrechnung: p = r* (1+ ε*cosφ)
p = r + ε * r* cos φ  r*cosφ = x und r = √(x² + y²) p = √(x² + y²) + ε * x

5 √x² + y² + εx = p (1-ε²)x² + 2pεx + y² = p² ,
Bringt man den Term εx auf die rechte Seite und quadriert beide Seiten, so ergibt sich: (1-ε²)x² + 2pεx + y² = p² ,

6 Setzt man ε = 1 dann erhält man folgende Gleichung:
(1-ε²)x² + 2pεx + y² = p² 0 x² + 2px + y² = p² 2px + y² = p² Somit erhält man für den Fall ε = 1 eine Parabelgleichung!

7 (1-ε²)² (x + εp )² + 1- ε² y² = 1 p² 1-ε² p²
Für ε≠1 kann die ursprüngliche Gleichung: (1-ε²)x² + 2pεx + y² = p² …umgeformt werden zu: (1-ε²)² (x + εp )² ε² y² = 1 p² ε² p² Am Vorzeichen dieses Terms erkennt man, wann es sich um eine Ellipsengleichung oder eine Hyperbelgleichung handelt.

8 ist, handelt es sich um eine Ellipsen- oder Hyperbelgleichung.
Je nachdem, ob 1 – ε² (also der Koeffizient von y²)negativ oder positiv ist, handelt es sich um eine Ellipsen- oder Hyperbelgleichung. Die allgemeine Form der Ellipsengleichung lautet: (1/a²) x² + (1/b²) y² = 1 Der Koeffizient von y² ist also positiv; Das bedeutet in unserem Fall, dass für ε<1 die ursprüngliche Gleichung eine Ellipsengleichung ergibt! Die allgemeine Form der Hyperbelform lautet: (1/a²) x² - (1/b²) y² = 1 Der Koeffizient von y² ist also negativ; Das bedeutet in unserem Fall, dass für ε ˃ 1 die ursprüngliche Gleichung eine Hyperbelgleichung ergibt!

9 Ergebnis: ε < 1  Ellipse ε = 1  Parabel ε > 1  Hyperbel

10  ENDE 