4 Spezifizierende Beschreibung empirischer Verteilungen

4 Spezifizierende Beschreibung empirischer Verteilungen 4.1 Spezifika empirischer Verteilungen 59 4.2 Lagekennwerte 63 4.2.1 Arithmetisches Mittel 63 4.2.2 Median 66 4.2.3 Modalwert 70 4.2.4 Fechner‘sche Lageregeln 71 4.3 Spezielle Lagekennwerte 73 4.3.1 Arithmetisches Mittel bei gruppierten Daten 73 4.3.2 Quantile 75 4.3.3 Geometrisches Mittel 80 4.4 Streuungskennwerte 84 4.4.1 Spannweite 84 4.4.2 Mittlere absolute Abweichungen 85 2

4 Spezifizierende Beschreibung empirischer Verteilungen 4.4.3 Median absoluter Abweichungen 88 4.4.4 Varianz, Standardabweichung und Schwankungsintervalle 91 4.5 Spezielle Streuungskennwerte 95 4.5.1 Varianz bei gruppierten Daten 95 4.5.2 Quantilsabstände 98 4.5.3 Variationskoeffizient 100 4.6 Standardisierung mittels Lage und Streuung 104 4.7 Messung von Schiefe 108 4.8 Darstellung und Messung von Konzentration 111 4.8.1 Lorenzkurve 111 4.8.2 Gini-Koeffizient 114 3

4 Spezifizierende Beschreibung empirischer Verteilungen 4.9 Spezifische Eigenschaften empirischer Kennwerte 118 4.9.1 Minimumeigenschaft des arithmetischen Mittels 118 4.9.2 Minimumeigenschaft des Medians 121 4.9.3 Transformationseigenschaften 124 4.9.4 Robustheit 131 4

4.1 Spezifika empirischer Verteilungen ● Unimodalität und Multimodalität ● ● Symmetrie und Schiefe ● ● Lage und Streuung ●

4.1 Spezifika empirischer Verteilungen Beispiel 4.1.1: Schiefe und Multimodalität

4.1 Spezifika empirischer Verteilungen

4.1 Spezifika empirischer Verteilungen

4.2 Lagekennwerte 4.2.1 Arithmetisches Mittel ● Definition und Berechnung ● ● Interpretation ●

4.2 Lagekennwerte ● Berechnung bei klassierten Daten ● ● Kein robuster Kennwert ●

4.2 Lagekennwerte

4.2 Lagekennwerte 4.2.2 Median ● Definition und Interpretation ● ● Berechnung bei Urlisten ●

4.2 Lagekennwerte ● Berechnung bei klassierten Daten ●

4.2 Lagekennwerte

4.2 Lagekennwerte

4.2 Lagekennwerte 4.2.3 Modalwert

4.2 Lagekennwerte 4.2.4 Fechner‘sche Lageregeln

4.2 Lagekennwerte Beispiel 4.2.1: Durchschnittseinkommen, Bundesmedian und Armutsgefährdung

4.3 Spezielle Lagekennwerte 4.3.1 Arithmetisches Mittel bei gruppierten Daten ● Hintergrund ● ● Berechnung ●

4.3 Spezielle Lagekennwerte ● Klassierung als Spezialfall ●

4.3 Spezielle Lagekennwerte 4.3.2 Quantile ● Definition und Interpretation ● ● Berechnung bei Urlisten ●

4.3 Spezielle Lagekennwerte ● Berechnung bei klassierten Daten ●

4.3 Spezielle Lagekennwerte

4.3 Spezielle Lagekennwerte

4.3 Spezielle Lagekennwerte Beispiel 4.3.1: Dezile und Quintilsverhältnis der Einkommensverteilung

4.3 Spezielle Lagekennwerte 4.3.3 Geometrisches Mittel ● Hintergrund ● ● Wachstumsfaktoren und Wachstumsraten ● ● Definition und Berechnung ● Umsätze eines Unternehmens

4.3 Spezielle Lagekennwerte

4.3 Spezielle Lagekennwerte Beispiel 4.3.2: Wirtschaftswachstum in Deutschland

4.3 Spezielle Lagekennwerte

4.4 Streuungskennwerte 4.4.1 Spannweite

4.4 Streuungskennwerte 4.4.2 Mittlere absolute Abweichungen ● Definition und Berechnung ● ● Interpretation ●

4.4 Streuungskennwerte ● Berechnung bei klassierten Daten ● ● Median als präferierter Bezugswert ●

4.4 Streuungskennwerte

4.4 Streuungskennwerte 4.4.3 Median absoluter Abweichungen ● Hintergrund ●

4.4 Streuungskennwerte ● Definition und Berechnung ●

4.4 Streuungskennwerte Beispiel 4.4.1: Streuung des weltweiten Pro-Kopf-BIP (vgl. Abb. 4.1.2)

4.4 Streuungskennwerte 4.4.4 Varianz, Standardabweichung und Schwankungsintervalle ● Definition und Berechnung ●

4.4 Streuungskennwerte ● Verschiebungsformel für die empirische Varianz ●

4.4 Streuungskennwerte ● Standardabweichung und Interpretation ●

4.4 Streuungskennwerte ● Hintergründe ●

4.5 Spezielle Streuungskennwerte 4.5.1 Varianz bei gruppierten Daten ● Berechnung ● ● Beispiel 4.5.1 ● ● Interpretation ●

4.5 Spezielle Streuungskennwerte ● Hintergründe ●

4.5 Spezielle Streuungskennwerte

4.5 Spezielle Streuungskennwerte 4.5.2 Quantilsabstände 2α

4.5 Spezielle Streuungskennwerte Beispiel 4.5.2: Quantilsabstände der Einkommensverteilung 16168

4.5 Spezielle Streuungskennwerte 4.5.3 Variationskoeffizient ● Hintergrund ● ● Definition und Berechnung ●

4.5 Spezielle Streuungskennwerte ● Interpretation ●

4.5 Spezielle Streuungskennwerte

4.5 Spezielle Streuungskennwerte Beispiel 4.5.3: Variationsvergleich von Wechselkursen

4.6 Standardisierung mittels Lage und Streuung ● Hintergrund ● Beispiel: Vergleich eines deutschen und schweizerischen Angestellten in einer bestimmten Branche. Deutscher: 2800 Euro bei einem Durchschnitt von 2500 Euro und einer Standardabweichung von 150 Euro Schweizer: 5500 Franken bei einem Durchschnitt von 5000 Franken und einer Standardabweichung von 400 Franken ● Berechnung und Interpretation ● Allgemeine Form: Spezialfall Z-Standardisierung:

4.6 Standardisierung mittels Lage und Streuung ● Eigenschaften z-standardisierter Werte ●

4.6 Standardisierung mittels Lage und Streuung

4.6 Standardisierung mittels Lage und Streuung Beispiel 4.6.1: Standardisierte Zeitreihen

4.7 Messung von Schiefe ● Konzept und Definition ●

4.7 Messung von Schiefe ● Interpretation ● QS

4.7 Messung von Schiefe Beispiel 4.7.1: Schiefe der Einkommensverteilung

4.8 Darstellung und Messung von Konzentration 4.8.1 Lorenz-Kurve ● Was versteht man unter Konzentration? ● ● Beispiel 4.8.1 ●

4.8 Darstellung und Messung von Konzentration ● Konstruktion einer Lorenzkurve ●

4.8 Darstellung und Messung von Konzentration ● Interpretation ●

4.8 Darstellung und Messung von Konzentration 4.8.2 Gini-Koeffizient ● Definition und Interpretation ● ● Berechnung ● ● Wertebereich und Normierung ●

4.8 Darstellung und Messung von Konzentration

4.8 Darstellung und Messung von Konzentration ● Vorsicht bei der Interpretation ● vgl. Fahrmeir et al. (2010)

4.8 Darstellung und Messung von Konzentration Beispiel 4.8.2: Konzentration von Einkommen in Deutschland

4.9 Spezifische Eigenschaften empirischer Kennwerte 4.9.1 Minimumeigenschaft des arithmetischen Mittels ● Hintergrund ● ● Analytischer Nachweis ●

4.9 Spezifische Eigenschaften empirischer Kennwerte ● Beispiel 4.9.1 ●

4.9 Spezifische Eigenschaften empirischer Kennwerte

4.9 Spezifische Eigenschaften empirischer Kennwerte 4.9.2 Minimumeigenschaft des Medians ● Hintergrund ● ● Analytischer Nachweis ● ● Beispiel 4.9.2 ●

4.9 Spezifische Eigenschaften empirischer Kennwerte

4.9 Spezifische Eigenschaften empirischer Kennwerte

4.9 Spezifische Eigenschaften empirischer Kennwerte 4.9.3 Transformationseigenschaften ● Arten von Transformationen ●

4.9 Spezifische Eigenschaften empirischer Kennwerte

4.9 Spezifische Eigenschaften empirischer Kennwerte ● Verschiebungsäquivarianz und Verschiebungsinvarianz ●

4.9 Spezifische Eigenschaften empirischer Kennwerte ● Skalenäquivarianz und Skaleninvarianz ●

4.9 Spezifische Eigenschaften empirischer Kennwerte ● Eigenschaften weiterer Kennwerte ●

4.9 Spezifische Eigenschaften empirischer Kennwerte ● Eigenschaften standardisierter Werte ●

4.9 Spezifische Eigenschaften empirischer Kennwerte

4.9 Spezifische Eigenschaften empirischer Kennwerte 4.9.4 Robustheit ● Zum Begriff ● ● Robuste und nicht robuste Kennwerte ● ● Anmerkungen zur kritischen Verwendung ●