4 Spezifizierende Beschreibung

4 Spezifizierende Beschreibung
empirischer Verteilungen

4 Spezifizierende Beschreibung empirischer Verteilungen
4.1 Spezifika empirischer Verteilungen 66 4.2 Lagekennwerte 70 4.2.1 Arithmetisches Mittel 70 4.2.2 Median 74 4.2.3 Modalwert 78 4.2.4 Fechner‘sche Lageregeln 79 4.3 Spezielle Lagekennwerte 81 4.3.1 Arithmetisches Mittel bei gruppierten Daten 81 4.3.2 Quantile 83 4.3.3 Geometrisches Mittel 88 4.4 Streuungskennwerte 93 4.4.1 Spannweite 93 4.4.2 Mittlere absolute Abweichungen 94 2

4.4.3 Median absoluter Abweichungen 98 4.4.4 Varianz, Standardabweichung und Schwankungsintervalle 101 4.5 Spezielle Streuungskennwerte 105 4.5.1 Varianz bei gruppierten Daten 105 4.5.2 Quantilsabstände 108 4.5.3 Variationskoeffizient 110 4.6 Standardisierung mittels Lage und Streuung 114 4.7 Messung von Schiefe 118 4.8 Darstellung und Messung von Konzentration 121 4.8.1 Lorenzkurve 121 4.8.2 Gini-Koeffizient 124 3

4.9 Spezifische Eigenschaften empirischer Kennwerte 129 4.9.1 Minimumeigenschaft des arithmetischen Mittels 129 4.9.2 Minimumeigenschaft des Medians 133 4.9.3 Transformationseigenschaften 137 4.9.4 Robustheit 145 4

4.1 Spezifika empirischer Verteilungen
● Unimodalität und Multimodalität ● ● Symmetrie und Schiefe ● ● Lage und Streuung ●

Beispiel 4.1.1: Schiefe und Multimodalität

4.2 Lagekennwerte 4.2.1 Arithmetisches Mittel
● Definition und Berechnung ● > Gegeben metrisch skalierte Beobachtungswerte 𝑥 1 , 𝑥 2 ,... 𝑥 𝑛 : 𝑥 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 > Merkmalssumme 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 =𝑛× 𝑥 ● Interpretation ● 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 =0 Schwerpunkteigenschaft

4.2 Lagekennwerte ● Berechnung bei klassierten Daten ●

4.2 Lagekennwerte > Feststellung: Bei gleichmäßiger Verteilung aller Werte innerhalb der Klassen stimmen Klassenmittelwert und Klassenmitte ungefähr überein > Im Beispiel (Tab ) gilt deshalb mit k = 6 Klassen: 𝑥 ≈ 1 𝑛 𝑗=1 6 𝑚 𝑗 𝑛 𝑗 = ×2+15×8+25×10+35×6+45×3+55×1 =26 𝑛 6 𝑚 6 𝑚 𝑗 Klassenmitte der j-ten Klasse ● Kein robuster Kennwert ●

4.2 Lagekennwerte

4.2 Lagekennwerte 4.2.2 Median ● Definition und Interpretation ●
−1, 0, 0, 1, 3, 5, 6 −1, 0, 1, 3, 5, 6 𝑥 0.5 =1 𝑥 0.5 =2 ● Berechnung bei Urlisten ● 𝑥 1 =0, 𝑥 2 =1, 𝑥 3 =5, 𝑥 4 =6, 𝑥 5 =3, 𝑥 6 =0, 𝑥 7 =−1 Geordnete Werte: 𝑥 1 =−1, 𝑥 2 =0, 𝑥 3 =0, 𝑥 4 =1, 𝑥 5 =3, 𝑥 6 =5, 𝑥 7 =6 𝑛= 7 ungerade: 𝑥 0.5 = 𝑥 𝑛 = 𝑥 = 𝑥 4 =1 𝑥 0.5 =0.5 𝑥 𝑛/2 + 𝑥 𝑛/ falls n gerade wäre

4.2 Lagekennwerte ● Berechnung bei klassierten Daten ●
Einfallsklasse des Medians ist hier 𝑗=3 𝑐 𝑗−1 = 𝑐 2 =20, 𝐹 𝑛 𝑐 2 =0.333, 𝑓 3 / 𝑑 3 =0.0333

4.2 Lagekennwerte 𝑥 0.5 ≈ − ≈25.02

4.2 Lagekennwerte

4.2 Lagekennwerte 4.2.3 Modalwert

4.2 Lagekennwerte 4.2.4 Fechner‘sche Lageregeln

4.2 Lagekennwerte Beispiel 4.2.1: Durchschnittseinkommen, Bundesmedian und Armutsgefährdung

4.3 Spezielle Lagekennwerte
4.3.1 Arithmetisches Mittel bei gruppierten Daten ● Hintergrund ● 𝑘 = 3 Gruppen 𝑛= =1117 𝑥 3 =1.6 𝑛 3 =250 ● Berechnung ● 𝑥 = 1 𝑛 𝑗=1 𝑘 𝑥 𝑗 𝑛 𝑗 = × × ×250 ≈1.99

● Klassierung als Spezialfall ● > Gruppen sind gegeben als Größenklassen > Problem: Klassenmittelwerte häufig unbekannt > Klassenmitten ersetzen approximativ die Klassenmittel 𝑚 𝑗 ≈ 𝑥 𝑗

4.3.2 Quantile ● Definition und Interpretation ● > Ein x%-Quantil wird (grob) gesagt von x% der Werte unterschritten und von (100x)% überschritten > Speziell: 50%-Quantil oder 0.5-Quantil = Median ● Berechnung bei Urlisten ● Werte geordnet! z. B und 0.9-Quantil: 0.25×30=7.5∉ℕ 0.9×30=27∈ℕ 𝑥 = 𝑥 = 𝑥 8 =18 320 𝑥 0.9 =0.5 𝑥 𝑥 = =

● Berechnung bei klassierten Daten ● Einfallsklasse des 0.25-Quantils ist hier 𝑗=2 𝑐 𝑗−1 = 𝑐 1 =10, 𝐹 𝑛 𝑐 1 =0.067, 𝑓 2 / 𝑑 2 =0.0267

𝑥 ≈ − ≈16.85 𝑥 0.9 ≈ − ≈43.3

Beispiel 4.3.1: Dezile und Quintilsverhältnis der Einkommensverteilung

4.3.3 Geometrisches Mittel ● Hintergrund ● Umsätze eines Unternehmens +10% −10% +30% (Wachstumsraten) − =0.1 Problem: aber 1000×1.1×1.1×1.1=1331≠1287 Angabe des durchschnittlichen Wachstums mit 10% nicht sinnvoll

● Wachstumsfaktoren und Wachstumsraten ● > Wachstumsfaktoren im Beispiel: 1.1, 0.9, 1.3 z.B = („späterer Zeitpunkt/früherer Zeitpunkt“) > Wachstumsraten im Beispiel: +10%, 10%, +30% Wachstumrate =(Wachstumsfaktor  1) ×100% ● Definition und Berechnung ● 𝑥 𝑔𝑒𝑜𝑚 = 1.1×0.9×1.3 1/3 ≈1.0877 Alternativ: 𝑥 𝑔𝑒𝑜𝑚 = 1287/ /3 ≈1.0877 Damit gilt tatsächlich: 1000× 𝑥 𝑔𝑒𝑜𝑚 × 𝑥 𝑔𝑒𝑜𝑚 × 𝑥 𝑔𝑒𝑜𝑚 = 1000× =1287

Beispiel 4.3.2: Wirtschaftswachstum in Deutschland

> Durchschnittliches Wachstum des realen BIP von 1994 bis 2007 𝑥 𝑔𝑒𝑜𝑚 = ×1.008×1.017×…× /13 ≈1.016 > Durchschnittliches Wachstum des realen BIP von 2008 bis 2012 𝑥 𝑔𝑒𝑜𝑚 = ×0.949×1.040×1.033× /5 ≈0.007 > Durchschnittliches Wachstum des nominalen BIP von 1994 bis 2012 𝑥 𝑔𝑒𝑜𝑚 = / /18 ≈1.023

4.4 Streuungskennwerte 4.4.1 Spannweite
−1, 0, 0, 1, 3, 5, 6 (geordnet!) R= 𝑥 7 − 𝑥 1 =6− −1 =7

4.4 Streuungskennwerte 4.4.2 Mittlere absolute Abweichungen
● Definition und Berechnung ● −1, 0, 0, 1, 3, 5, 6 ⟹ 𝑥 =2: 𝑑 ∗ = −1−2 + 0−2 + 0−2 + 1−2 + 3−2 + 5−2 + 6−2 = ≈2.29 ⟹ 𝑥 0.5 =1: 𝑑= −1−1 + 0−1 + 0−1 + 1−1 + 3−1 + 5−1 + 6−1 = ≈2.14

4.4 Streuungskennwerte ● Interpretation ●
> 𝑑 ∗ ... Durchschnittsabstand aller Werte zum arithmetischen Mittel (Mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel) > 𝑑 ... Durchschnittsabstand aller Werte zum Median (Mittlere absolute Abweichung vom Median)

4.4 Streuungskennwerte ● Berechnung bei klassierten Daten ● ⟹ 𝑥 =26
⟹ 𝑥 =26 (Folie 72) ⟹ 𝑥 0.5 =25.02 (Folie 76) 𝑑 ∗ ≈ × 5−26 +8× 15−26 +…+1× 55−26 ≈9.33 𝑑≈ × 5− × 15− …+1× 55− ≈9.00

4.4 Streuungskennwerte ● Median als präferierter Bezugswert ●
> ... 𝑑 theoretisch fundiert über Minimumeigenschaft des Medians > ... 𝑑 ∗ eher unüblich Summen laufen jeweils bis k, j statt i

4.4 Streuungskennwerte 4.4.3 Median absoluter Abweichungen
● Hintergrund ● > Problem: Mittelwerte sind nicht robust, so auch nicht mittlere absolute Abweichungen (auch nicht wenn Bezugspunkt Median ist) > Situation ohne Ausreißer Beobachtungswerte: , 2, 3, 4, 5 ⟹ 𝑥 =3 𝑥 0.5 =3 Absolute Abweichungen: , 1, 0, 1, 2 ⟹ 𝑑 ∗ =1.2 𝑑=1.2 ... vom arithmetischen Mittel bzw. Median > Situation mit Ausreißer: 1, 2, 3, 4, 500 ⟹ 𝑥 =102 𝑥 0.5 =3 Absolute Abweichungen: 101, 100, 99,98,398 ⟹ 𝑑 ∗ =159.2 ... vom arithmetischen Mittel 2, 1, 0, 1, 497 ⟹ 𝑑=100.2 ... vom Median

4.4 Streuungskennwerte ● Definition und Berechnung ● ⟹ 𝑥 0.5 =3
Situation mit Ausreißer: , 2, 3, 4, 500 ⟹ 𝑥 0.5 =3 Absolute Abweichungen vom Median: 2, 1, 0, 1, 497 Geordnet: 0, 1, 1, 2, 497 Davon der Median: MAD = 1

4.4 Streuungskennwerte Beispiel 4.4.1: Streuung des weltweiten Pro-Kopf-BIP (vgl. Abb ) 𝑥 =14 936 𝑥 0.5 =5 476 𝑑=12 744 𝑀𝐴𝐷=4 722 (alle Einheiten in US-Dollar)

4.4 Streuungskennwerte 4.4.4 Varianz, Standardabweichung und Schwankungsintervalle ● Definition und Berechnung ● > Empirische Varianz in „originärer Formel“ 𝑠 2 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 > Empirische Standardabweichung 𝑠 = 𝑠 2 > Rechenbeispiel: −1, 0, 0, 1, 3, 5, 6 ⟹ 𝑥 =2 ⟹ 𝑠 2 = −1− − −2 2 +… 6−2 2 ≈6.2857 ⟹ 𝑠 = ≈2.51

4.4 Streuungskennwerte ● Verschiebungsformel für die empirische Varianz ● > Allgemeine Verschiebungsformel 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 −𝑐 2 − 𝑥 −𝑐 2 > Für c = 0 folgt daraus die Verschiebungsformel für die emirische Varianz 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 2 − 𝑥 2 > Rechenbeispiel −1, 0, 0, 1, 3, 5, 6 ⟹ 𝑥 =2 ⟹ 𝑠 2 = − − 2 2 ≈6.2857

4.4 Streuungskennwerte ● Standardabweichung und Interpretation ●
Es liegen in den empirischen Schwankungsintervallen 𝑥 − 𝑠 , 𝑥 + 𝑠 , 𝑥 −2 𝑠 , 𝑥 +2 𝑠 und 𝑥 −3 𝑠 , 𝑥 +3 𝑠 ca % % bzw % aller Beobachtungswerte.

4.4 Streuungskennwerte ● Hintergründe ●
Bedeutendstes Streuungsmaß in der Statistik aus verschiedenen Gründen...

4.5 Spezielle Streuungskennwerte
4.5.1 Varianz bei gruppierten Daten ● Berechnung ●

● Beispiel ● 𝑥 1 = 𝑥 2 = 𝑥 3 =1.46 𝑠 1 2 = 𝑠 2 2 = 𝑠 3 2 =0.0464 𝑛 1 = 𝑛 2 = 𝑛 3 =5 ⟹ 𝑥 = 𝑗=1 3 𝑓 𝑗 𝑥 𝑗 = 3 12 × × ×1.46=1.525

⟹ 𝑗=1 3 𝑓 𝑗 𝑠 𝑗 2 = 3 12 × × ×0.0464=0.051 ⟹ 𝑗=1 3 𝑓 𝑗 𝑥 𝑗 − 𝑥 2 = 3 12 × 1− × 2− × 1.46− = ⟹ 𝑠 2 = = Intern Extern Gesamt Tatsächlich erhält man diesen Wert auch auf „konventionellem Wege“: 𝑠 2 = 𝑖=1 12 𝑥 𝑖 2 − 𝑥 2 = … − = ● Interpretation ● ● Hintergründe ●

4.5.2 Quantilsabstände 2α

Beispiel 4.5.2: Quantilsabstände der Einkommensverteilung 16168 𝑄 0.1 = 𝑥 0.9 − 𝑥 0.1 =35731−9913=25818 𝑄 0.2 = 𝑥 0.8 − 𝑥 0.2 =29039−12871=16168

4.5.3 Variationskoeffizient ● Hintergrund ● > Verschiebungsinvarianz der Varianz ist manchmal störend: 1, 2, 3, 4, 5 ← identische Varianz → 15, 16, 17, 18, 19 > Beispiel: Angenommen, im Rahmen einer Marktstudie wird die Streuung von Preisen für bestimmte Produkte bei 3 verschiedenen Lebensmitteldiscountern vergli- chen. Dabei ergeben sich folgende Preise für 100g Speisezalz: , , Euro 1kg Waschmittel: , 19.89, Euro Somit erhalten wir: 𝑥 𝑆𝑎𝑙𝑧 = 𝑠 𝑆𝑎𝑙𝑧 =0.0816 Identisch! 𝑥 𝑊𝑎𝑠𝑐ℎ𝑒𝑛 = 𝑠 𝑊𝑎𝑠𝑐ℎ𝑒𝑛 =0.0816 Bezogen auf das Preisniveau variiert der Preis des Waschmittels relativ betrachtet weniger als der Preis des Salzes

● Definition und Berechnung ● > Variationskoeffizient als Maß der relativen Streuung: 𝑣= 𝑠 𝑥 nichtnegative Werte mit 𝑥 >0 vorausgesetzt > Beispiel von zuvor: 𝑣 𝑆𝑎𝑙𝑧 = 𝑠 𝑆𝑎𝑙𝑧 𝑥 𝑆𝑎𝑙𝑧 = ≈0.209 𝑣 𝑊𝑎𝑠𝑐ℎ𝑒𝑛 = 𝑠 𝑊𝑎𝑠𝑐ℎ𝑒𝑛 𝑥 𝑊𝑎𝑠𝑐ℎ𝑒𝑛 = ≈0.004 ● Interpretation ● > Variationskoeffizient entspricht der Standardabweichung der prozentualen Abweichungen vom arithmetischen Mittel

> Im Beispiel des Salzes mit 𝑥 𝑆𝑎𝑙𝑧 =0.39 Preise: Abweichung in %: −25.64% % % z. B − ×100%=25.64% Standardabweichung : 𝑠 = 𝑠 2 = −25.64− − − ≈0.209

Beispiel 4.5.3: Variationsvergleich von Wechselkursen 𝑥 𝑌𝑢𝑎𝑛 = 𝑠 𝑌𝑢𝑎𝑛 = 𝑣 𝑌𝑢𝑎𝑛 =0.10 𝑥 𝐷𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟 = 𝑠 𝐷𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟 = 𝑣 𝐷𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟 =0.07

4.6 Standardisierung mittels Lage und Streuung
● Hintergrund ● > Beobachtungswerte aus unterschiedlichen Grundgesamtheiten lassen sich nicht immer sinnvoll vergleichen > Beispiel: Einkommensvergleich in zwei unterschiedlichen Ländern Deutscher: 2800 Euro bei einem Durchschnitt von 2500 Euro und einer Standardabweichung von 150 Euro Schweizer: 5500 Franken bei einem Durchschnitt von 5000 Franken und einer Standardabweichung von 400 Franken ● Berechnung und Interpretation ● > Allgemeine Form: > Spezialfall Z-Standardisierung: 𝑧 𝑖 = 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑠 𝑋

> Im Beispiel von zuvor Deutscher: 2800− =2 Schweizer: 5500− =1.25 Fazit: Deutscher (Schweizer) liegt 2 (1.25) Standardabweichungen über dem Durchschnitt ● Eigenschaften z-standardisierter Werte ● > Mittelwert z-standardisierter Werte ist stets 0: 𝑧 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑧 𝑖 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑠 𝑋 = 1 𝑛 𝑠 𝑋 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 =0 (vgl. Folie 70)

> Varianz (Standardabweichung) z-standardisierter Werte ist stets 1: 𝑠 𝑍 2 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑧 𝑖 − 𝑧 2 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑧 𝑖 2 − 𝑧 2 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑧 𝑖 2 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑠 𝑋 2 = 1 𝑠 𝑋 2 × 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 = 1 𝑠 𝑋 2 × 𝑠 𝑋 2 =1

Beispiel 4.6.1: Standardisierte Zeitreihen

4.7 Messung von Schiefe ● Konzept und Definition ●
> Feststellung: Bei schiefen Verteilungen liegen obere und untere Quantile gewöhnlich unterschiedlich weit vom Median entfernt > Erster Vorschritt: Zerlegung des Quantilsabstands im Sinne von 𝑥 1−𝛼 − 𝑥 𝛼 = 𝑥 0.5 − 𝑥 𝛼 + 𝑥 1−𝛼 − 𝑥 0.5 𝑄 𝛼

4.7 Messung von Schiefe > Quantilskoeffizient der Schiefe setzt die Differenz der beiden Abstände ins Verhältnis zum Quantilsabstand (siehe Kasten) ● Interpretation ● ... siehe Kasten QS

4.7 Messung von Schiefe Beispiel 4.7.1: Schiefe der Einkommensverteilung 𝑄𝑆 0.1 =0.25 𝑄𝑆 0.2 =0.17 𝑄𝑆 0.3 =0.10 𝑄𝑆 0.1 = 𝑥 0.9 − 𝑥 − 𝑥 0.5 − 𝑥 𝑥 0.9 − 𝑥 = −19595 − 19595− −9913 ≈0.25

4.8 Darstellung und Messung von Konzentration
4.8.1 Lorenz-Kurve ● Was versteht man unter Konzentration? ● Man vergleiche die folgenden beiden Datensätze Merkmalssumme jeweils = 20 Wie verteilt sich diese auf die einzelnen Merkmalsträger? Wie stark ist die Ungleichverteilung (Konzentration) ausgeprägt? ● Beispiel ● Man stelle sich 3 Branchen mit jeweils 5 Firmen vor: Feststellung: Phänomen der Konzentration wird durch her- kömmliche Maße nicht adäquat gemessen

● Konstruktion einer Lorenzkurve ●

● Interpretation ● > Die Fläche zwischen Lorenzkurve und Winkelhalbierender wird immer dann groß, wenn wenige Merkmalsträger (relativ) viel von der Merkmalssumme auf sich vereinigen. > Keine Konzentration liegt vor, wenn die Lorenzkurve mit der Winkel- halbierenden zusammenfällt. Dann sind alle Werte gleich. Damit verteilt sich die Merkmalssumme gleichmäßig auf die Merkmalsträger. > Beispiel: Koordinatenpunkte der Lorenzkurve, falls Branche mit 5 Unter- nehmen keinerlei Konzentration aufweist: (0, 0), (0.2, 0.2), (0.4, 0.4), (0.6, 0.6), (0.8, 0.8), (1, 1)

4.8.2 Gini-Koeffizient ● Definition und Interpretation ● > (Nichtnormierter) Gini-Koeffizient: Zweifaches der Fläche zwischen Lorenzkurve und Winkelhalbierender > Gini-Koeffizient = 0, falls alle Werte gleich sind > Gini-Koeffizient ≈ 1 bei maximaler Konzentration, d. h. wenn ein ein- zelner Merkmalsträger die gesamte Merkmalssumme auf sich vereint

● Berechnung ● G= 2 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑛+1 𝑛 Formel: Beispielrechnung für Branche 3: 20, 40, 60, 80, (geordnet!) ⇒ 𝐺 3 = 2 1×20+2×40+3×60+4×80+5×100 5×300 − 6 5 ≈0.2667 Analog: 𝐺 1 =0.76, 𝐺 2 =0.1975

● Wertebereich und Normierung ● 𝐺 ist maximal 𝑛−1 𝑛 ; soll der Maximalwert = 1 sein: 𝐺 ∗ = 𝑛 𝑛−1 𝐺 Normierter Gini-Koeffizient

● Vorsicht bei der Interpretation ● 𝐺 𝐴 =0.4 𝐺 𝐵 =0.4 Fazit: Gini-Koeffizient allein verrät nicht alles! vgl. Fahrmeir et al. (2010)

Beispiel 4.8.2: Konzentration von Einkommen in Deutschland

4.9 Spezifische Eigenschaften empirischer Kennwerte
4.9.1 Minimumeigenschaft des arithmetischen Mittels ● Hintergrund ● > Bekannt: 𝑠 2 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 verwendet 𝑥 als Referenzpunkt in der Frage „Wie stark streuen die Werte um ...?“ > Frage: Welcher Referenzpunkt c minimiert den Ausdruck 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 −𝑐 2 ? > Antwort: Die Lösung lautet tatsächlich 𝑐= 𝑥 ● Analytischer Nachweis ● > Minimierungsproblem: min 𝑐 𝑓 𝑐 mit 𝑓 𝑐 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 −𝑐 2 𝑑𝑓 𝑐 𝑑𝑐 =− 2 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 −𝑐 =− 2 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 + 2 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑐

=−2 𝑥 +2𝑐=2 𝑐− 𝑥 ⇒ 𝑓 minimal für 𝑐= 𝑥 > Alternativ: Betrachte allgemeine Verschiebungsformel (Folie 102) 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 −𝑐 2 − 𝑥 −𝑐 2 𝑠 2 ⇔ 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 −𝑐 2 = 𝑠 𝑥 −𝑐 2 Ist minimal, falls 𝑐= 𝑥

● Beispiel ● Fall 1 : 1, 0, 0, 1, 3, 5, 6 Fall 2 : 1, 0, 0, 1, 3, 4, 5, 6 ⇒ 𝑥 =2, 𝑠 2 = ⇒ 𝑥 =2.25, 𝑠 2 =5.9375 ⇒ 𝑓 1 𝑐 = 2−𝑐 ⇒ 𝑓 2 𝑐 = 2.25−𝑐

4.9.2 Minimumeigenschaft des Medians ● Hintergrund ● > Bekannt: 𝑑= 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 verwendet 𝑥 als Referenzpunkt in der Frage „Wie stark streuen die Werte um ...?“ > Frage: Welcher Referenzpunkt c minimiert den Ausdruck 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 −𝑐 ? > Antwort: Die Lösung lautet tatsächlich 𝑐= 𝑥 0.5 ● Analytischer Nachweis ● > Minimierungsproblem: min 𝑐 𝑓 𝑐 mit 𝑓 𝑐 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 −𝑐 > Jedoch: 𝑓 analytisch nicht gut handhabbar (teils nicht differenzierbar) auch keine Streuungzerlegungsformel > Minimumeigenschaft jedoch einsichtig („informaler Beweis“)

● Beispiel ●

Fall 1 : 1, 0, 0, 1, 3, 5, 6 Fall 2 : 1, 0, 0, 1, 3, 4, 5, 6 ⇒ 𝑥 0.5 =1 ⇒ 𝑥 0.5 =2 ⇒ 𝑓 1 𝑐 = −1−1 + 0−1 + …+ 6−1 ⇒ 𝑓 2 𝑐 = −1−2 + 0−2 + …+ 6−2

4.9.3 Transformationseigenschaften ● Arten von Transformationen ● > Ursprungswerte 𝑥 1 , 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛 sollen einheitlich transformiert werden > Verschiebung: 𝑢 𝑖 = 𝑥 𝑖 +𝑐 für 𝑖=1, …, 𝑛 > Umskalierung: 𝑢 𝑖 = 𝑐𝑥 𝑖 für 𝑖=1, …, 𝑛 und 𝑐>0 > Beispiel: Ursprungswerte: 1, 0, 0, 1, 3, 5, 6 Verschiebung um 𝑐=9: 8, 9, 9, 10, 12, 14, 15 Umskalierung mit 𝑐=2: 2, 0, 0, 2, 6, 10, 12

● Verschiebungsäquivarianz und Verschiebungsinvarianz ● > Äquivarianz ... „Gleichartige Veränderlichkeit“ bei Transformation > Invarianz ... „Unveränderlichkeit “ bei Transformation > Beispiel 1: Verschiebungsäquivarianz des arithmetischen Mittels: Transformation: 𝑢 𝑖 = 𝑥 𝑖 +𝑐 𝑢 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑢 𝑖 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 +𝑐 = = 𝑥 + 1 𝑛 ×𝑛𝑐= 𝑥 +𝑐 = 𝑥 +𝑐

> Beispiel 2: Verschiebungsinvarianz der (empirischen) Varianz 𝑠 𝑈 2 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑢 𝑖 − 𝑢 2 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 +𝑐− 𝑥 −𝑐 2 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 = 𝑠 𝑋 2 ● Skalenäquivarianz und Skaleninvarianz ● > Beispiel 3: Skalenäquivarianz des arithmetischen Mittels Transformation: 𝑢 𝑖 = 𝑐𝑥 𝑖 𝑢 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑢 𝑖 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑐 𝑥 𝑖 =𝑐× 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 =𝑐 𝑥

> Beispiel 4: Skalenäquivarianz der Standardabweichung Transformation: 𝑢 𝑖 = 𝑐𝑥 𝑖 mit 𝑐>0 𝑠 𝑈 2 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑢 𝑖 − 𝑢 2 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑐𝑥 𝑖 −𝑐 𝑥 2 = 𝑐 2 × 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 = 𝑐 2 𝑠 𝑋 2 => Fazit: Varianz ist weder äquivariant noch invariant, aber 𝑠 𝑈 = 𝑠 𝑈 2 = 𝑐 2 𝑠 𝑋 2 =𝑐 𝑠 𝑋 Beachte: 𝑐>0 => Fazit: Standardabweichung ist skalenäquivariant

● Eigenschaften weiterer Kennwerte ●

● Eigenschaften standardisierter Werte ● > Bei Verschiebung 𝑢 𝑖 = 𝑥 𝑖 +𝑐 gilt: 𝑢 = 𝑥 +𝑐 und 𝑠 𝑈 = 𝑠 𝑋 Daraus folgt bei einer Standardisierung verschobener Werte: 𝑧 𝑖 = 𝑢 𝑖 − 𝑢 𝑠 𝑈 = 𝑥 𝑖 +𝑐− 𝑥 −𝑐 𝑠 𝑋 = 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑠 𝑋 > Bei Umskalierung 𝑢 𝑖 = 𝑐𝑥 𝑖 gilt: 𝑢 =𝑐 𝑥 und 𝑠 𝑈 = 𝑐 𝑠 𝑋 Daraus folgt bei einer Standardisierung verschobener Werte: 𝑧 𝑖 = 𝑢 𝑖 − 𝑢 𝑠 𝑈 = 𝑐 𝑥 𝑖 −𝑐 𝑥 𝑐 𝑠 𝑋 = 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑠 𝑋 > Fazit: Verschiebungen und Umskalierungen wirken sich nicht auf standardisierte Werte aus

4.9.4 Robustheit ● Zum Begriff ● ● Robuste und nicht robuste Kennwerte ● ● Anmerkungen zur kritischen Verwendung ●

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