5 Beschreibung und Analyse

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1 5 Beschreibung und Analyse
empirischer Zusammenhänge

2 5 Beschreibung und Analyse empirischer Zusammenhänge
5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen 137 5.1.1 Kontingenztabellen 137 Verteilungen in Kontingenztabellen 137 Empirische Abhängigkeit und Unabhängigkeit 142 Konzeptionelle Vorüberlegungen für ein Zusammenhangsmaß 149 5.1.2 Zusammenhangsmaße für Kontingenztabellen 152 Chi-Quadrat-Koeffizient 152 Mittlere quadratische Kontingenz 156 Kontingenzkoeffizient nach Pearson 158 Transformationseigenschaften der Zusammenhangsmaße 161 5.1.3 Grafische Analysemöglichkeiten 164 Gestapelte und gruppierte Säulendiagramme 164 Segmentierte Säulen- und Balkendiagramme 166 2

3 5 Beschreibung und Analyse empirischer Zusammenhänge
Assoziationsplots 167 Mosaikplots 168 Spineplots 169 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen 170 5.2.1 Grafische Analysemöglichkeiten 170 Streudiagramme 170 Streudiagramm-Matrizen 172 Hexagonalplots 173 5.2.2 Zusammenhangsmaße für metrische Merkmale 174 Empirische Kovarianz 174 Empirischer Korrelationskoeffizient nach Pearson 180 Empirische Kovarianz- und Korrelationsmatrizen 191 Korrelationskoeffizient nach Spearman 192 3

4 5 Beschreibung und Analyse empirischer Zusammenhänge
5.2.3 Einfache lineare Regression 196 Zweck und allgemeine Vorgehensweise 196 KQ-Methode (L2-Regression) 200 LAD-Methode (L1-Regression) 206 Kritische Punkte und Alternativen 211 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen 213 5.3.1 Zusammenhänge in anderen Skalierungsfällen 213 Grafische Analysemöglichkeiten 213 Zusammenhangsmaße 216 Spezielle Regressionsmodelle 218 4

5 5 Beschreibung und Analyse empirischer Zusammenhänge
5.3.2 Grafische Darstellung höherdimensionaler Daten 220 Höherdimensionale Mosaikplots 220 3D-Punktwolken 222 Biplots 223 5.3.3 Wichtige Aspekte bei der Analyse empirischer Zusammenhänge 228 Empirische Zusammenhänge und Kausalität 228 Spezielle Formen von Kausalität 230 Systematische Verzerrungen 231 Zufällige Schwankungen 237 5

6 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
5.1.1 Kontingenztabellen Verteilungen in Kontingenztabellen ● Beispiel ● ● Allgemeines zur Notation ● ● Absolute Verteilungen ● ● Relative Verteilungen ●

7 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen

8 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen

9 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
● Bedingte Verteilungen ● ● Notation für bedingte Verteilungen ●

10 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen

11 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
Empirische Abhängigkeit und Unabhängigkeit ● Empirische Abhängigkeit ● ● Frage der Richtung der Abhängigkeit ●

12 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
● Empirische Unabhängigkeit ●

13 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
● Verhältnis zur Kausalität ●

14 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
● Formale Unabhängigkeitskriterien ● Zwei Merkmale sind genau dann empirisch unabhängig, falls die bedingten Verteilungen mit den jeweiligen Randverteilungen übereinstimmen. Formal ausgedrückt gilt dann:

15 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
● Tatsächliche und zu erwartende Häufigkeiten ●

16 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
● Multiplikationskriterium ● ● Stochastische Unabhängigkeit ●

17 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen

18 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
Konzeptionelle Vorüberlegungen für ein Zusammenhangsmaß ● Abweichungen von der Unabhängigkeit ●

19 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
● Assoziationsplot ●

20 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
● Summe aller absoluten Abweichungen ●

21 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
5.1.2 Zusammenhangsmaße für Kontingenztabellen Chiquadrat-Koeffizient ● Definition und Rechenbeispiel ● ● Interpretation ●

22 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
● Wertebereich ● ● Maximale Abhängigkeit in nichtquadratischen Tabellen ●

23 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
● Maximale Abhängigkeit in quadratischen Tabellen ● ● Berechnungsformel für (2  2)Tabellen ●

24 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
● Zwischenschritt zum Kontingenzkoeffizienten ●

25 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
Mittlere quadratische Kontingenz ● Definition und Rechenbeispiel ● Es gilt:

26 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
● Wertebereich und Interpretation ●

27 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
Kontingenzkoeffizient nach Pearson ● Definition und Wertebereich ● ● Korrigierter Kontingenzkoeffizient ●

28 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
● Beispiel ● ● Interpretation ● ● Anmerkung zur Einordnung der Stärke von Zusammenhängen ●

29 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen

30 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
Transformationseigenschaften der Zusammenhangsmaße ● Invarianz gegenüber Zeilen- und Spaltenvertauschungen ● ● Äquivarianz des Chiquadrat-Koeffizienten gegenüber Multiplikationen ●

31 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
● Invarianz aller anderen Maße gegenüber Multiplikationen ● ● Invarianz und statistisches Problem ●

32 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen

33 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
5.1.3 Grafische Analysemöglichkeiten Gestapelte und gruppierte Säulendiagramme ● Konzept und Beispiel ●

34 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
● Stapelung vs. Gruppierung ●

35 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
Segmentierte Säulen- und Balkendiagramme

36 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
Assoziationsplots ● Konzept ● ● Beispiel ●

37 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
Mosaikplots ● Konzept ● ● Beispiel ● ● Höherdimensionale Mosaikplots ●

38 5.1 Zusammenhänge zwischen kategorialen Merkmalen
Spineplots ● Konzept ● ● Beispiel ●

39 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
5.2.1 Grafische Analysemöglichkeiten Streudiagramme ● Konzept ● ● Beispiel ●

40 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Richtung von Zusammenhängen ● ● Zweidimensionale Ausreißer ●

41 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
Streudiagramm-Matrizen ● Konzept ● ● Beispiel ● ● Hilfsmittel für „Datenscreening“ und Modellbildung ●

42 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
Hexagonalplots ● Konzept ● ● Beispiel ●

43 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
5.2.2 Zusammenhangsmaße für metrische Merkmale Empirische Kovarianz ● Definition und Interpretation ●

44 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Beispiel ●

45 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Verschiebungsformel für die empirische Kovarianz ●

46 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Transformationseigenschaften ● ● Verschiebungen ● ● Umskalierungen ●

47 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen

48 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Zwischenschritt zum Korrelationskoeffizienten ●

49 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
Empirischer Korrelationskoeffizient nach Pearson ● Kovarianz standardisierter Werte ●

50 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen

51 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Definition −äquivalente Varianten ●

52 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Verschiebungs- und skaleninvariant ● ● Wertebereich ●

53 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Interpretation ●

54 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen

55 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Korrelation misst nur lineare Abhängigkeit ● ● Reine Optik kann täuschen ● ● Beispiel ●

56 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen

57 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Verhältnis zur Kausalität ● ● Zur Historie und Namensgebung des Korrelationskoeffizienten ●

58 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
Beispiel 5.2.6: Korrelation ökonomischer Indikatoren

59 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen

60 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
Empirische Kovarianz- und Korrelationsmatrizen ● Kovarianzmatrix ● ● Korrelationsmatrix ●

61 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
Korrelationskoeffizient nach Spearman ● Hintergrund ●

62 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Rangzahlen ● ● Definition und Interpretation ●

63 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Sinnvolle Ergänzung zur gewöhnlichen Korrelation ● ● Transformationseigenschaften ● ● Auch für Ordinalskala geeignet ● ● Beispiel ●

64 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
Beispiel 5.2.8: Korrelation von Wirtschaftsleistung und Lebenserwartung

65 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
5.2.3 Einfache lineare Regression Zweck und allgemeine Vorgehensweise ● Hintergrund ●

66 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Lineares Regressionsproblem ● ● Mathematisch formaler Rahmen ● Gegeben: Es gilt: ausführlich

67 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Interpretation von Koeffizienten und Prognosen ●

68 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Berechnungsmethoden ● Minimiere oder ● Frage der Auswahl ●

69 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
KQ−Methode (L2−Regression) ● Minimierungsproblem ● Minimiere Definiere Minimierungsproblem: Beispiel:

70 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Lösung und Berechnung ● Allgemein: Im Beispiel:

71 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Bezeichnungen ●

72 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Eigenschaften der KQ-Gerade ●

73 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Beispiel ●

74 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Interpretation der KQ-Gerade ● ● Bezug zum Korrelationskoeffizienten ● ● Vor- und Nachteile der KQ-Regression ● ● Anmerkungen zur Historie ●

75 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
LAD−Methode (L1−Regression) ● Minimierungsproblem ● Minimiere Definiere Minimierungsproblem: Beispiel:

76 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Lösung und Berechnung ● ● Eindeutigkeitsprobleme ●

77 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen

78 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Bezeichnungen ● ● Eigenschaften der LAD-Gerade ● ● Beispiel ●

79 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
● Interpretation der LAD-Gerade ● ● Bezug zum Median ● ● Vor- und Nachteile der LAD-Regression ● ● Anmerkungen zur Historie ●

80 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen
Kritische Punkte und Alternativen ● Frage der Richtung der Abhängigkeit ● ● Multiple lineare Regression ● ● Nichtlineare Regressionsansätze ● Beispiel : Entwicklung von Wohnungspreisen in Deutschland

81 5.2 Zusammenhänge zwischen metrischen Merkmalen

82 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
5.3.1 Zusammenhänge in anderen Skalierungsfällen Grafische Analysemöglichkeiten ● Metrisches vs. kategoriales Merkmal ●

83 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
● Kategoriales vs. metrisches Merkmal ●

84 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
● Kategorisierte und dichotomisierte Merkmale ●

85 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
Zusammenhangsmaße ● Zusammenhangsmaße für ordinale Merkmale ●

86 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
● Zusammenhangsmaße in gemischten Skalierungsfällen ●

87 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
Spezielle Regressionsmodelle ● Hintergrund ● ● Anpassungs- und Prognosemaße ● ● Metrisches vs. kategoriales Merkmal: Varianzanalysemodelle ●

88 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
● Kategoriales vs. metrisches Merkmal: Logistische Regressionsmodelle ● ● Multiple Regression ● ● Generalisierte lineare Modelle ●

89 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
5.3.2 Grafische Darstellung höherdimensionaler Daten Höherdimensionale Mosaikplots ● Konzept ● ● Beispiel 5.3.1: 3-dimensionale Mosaikplots ●

90 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
● Beispiel 5.3.2: 4-dimensionale Mosaikplots ● ● Weitere Möglichkeiten ●

91 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
3D-Punktwolken ● Konzept ● ● Beispiel ●

92 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
Biplots ● Konzept ● ● Hauptkomponentenanalyse-Biplots ●

93 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen

94 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
● Korrespondenzanalyse-Biplots ●

95 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen

96 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen

97 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
5.3.3 Wichtige Aspekte bei der Analyse empirischer Zusammenhänge Empirischer Zusammenhänge und Kausalität ● Zum Kausalitätsbegriff ● ● Kausalität in der Statistik ● „Force as a cause of motion is exactly on the same footing as a tree-god as cause of growth“ (Karl Pearson [1900b]) ein „kognitives Konstrukt “ (Kälble [1997]) Zu Causal Inference und Structural Causal Models vgl. etwa Cox und Wermuth [2004] oder Pearl [2009] ● Korrelation impliziert keine Kausalität ● Empirische Zusammenhangsmaße können stets verzerrt sein durch (i) systematische Verzerrungen (ii) zufällige Schwankungen

98 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
● Nachweis und Messung kausaler Effekte ● ● Experimentalstudien vs. Erhebungsstudien ● ● Einflussschema bei Kausalanalysen ●

99 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
Spezielle Formen von Kausalität ● Direkte und indirekte kausale Effekte ● ● Dynamische und simultane Abhängigkeit ●

100 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
Systematische Verzerrungen ● Hintergrund ● ● Beispiele systematischer Verzerrungen ●

101 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
● Merkregeln für den 3-Variablen-Fall ●

102 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
● Weitere Bemerkungen ● ● Scheinabhängigkeiten ● ● Methodischer Umgang mit systematischen Verzerrungen ● ● Versuchsplanung ● ● Randomisierung ●

103 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
● Untersuchung in homogeneren Untergruppen ●

104 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen

105 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
● Multiple lineare Regression ● ● Multiple Regression in anderen Modellen ●

106 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
Zufällige Schwankungen ● Hintergrund ● ● Beispiele rein zufälliger Abhängigkeiten ●

107 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
● System oder Zufall? ● ● Methodischer Umgang mit zufälligen Schwankungen ● ● Höhere Aussagekraft durch mehr Beobachtungen ●

108 5.3 Ergänzende und vertiefende Themen
● Induktive Methoden ●