Quadratische Funktion 1. Normalparabel 2. Streckung und Stauchung 3. Scheitelform 4. Allgemeine Funktionsgleichung 5. Graphische Darstellung 6. Quadratische Gleichungungen 7. Anwendungsbeispiele

Gleichung der Normalparabel: 1. Vom springenden Ball zur Normalparabel Parabelspiegelung am Ursprung: Wertetabelle: x -2 -1 1 2 y 4 x -2 -1 1 2 y -4 Gleichung der Normalparabel: y = x2 Parabelgleichung: y = -x2

2. Streckung und Stauchung der Normalparabel y = x2 Streckung (k=2) Streckung (k=-2) Parabelgleichung: y = ½ x2 Parabelgleichung: y = -½ x2 Stauchung (k=½) Stauchung (k=-½) Parabelgleichung: y = 2 x2 Parabelgleichung: y = -2 x2 Allgemein: Normalparabel: x → x2 Streckung k: kx → kx2 = 1/k (kx)2 Parabelgleichung: x → 1/k·x2 Eine Streckung (bzw. Stauchung) der Normalparabel bezüglich Koordinatenursprung mit dem Faktor k führt zur Parabel mit der Zuordnungsgleichung y = 1/k · x2

( ) 3. Scheitelform der Parabelgleichung Verschiebung in x-Richtung Normalparabel y = x2 y = (x –u)2 Verschiebung in y-Richtung Allgemein: Verschiebung um den Verschiebungsvektor u v ( ) y = x2 + v y = (x –u)2 + v Allgemeine Scheitelform: y = a·(x – u)2 + v mit Scheitelpunkt S = (u/v) a: reziprokes Streckungs-, bzw. Stauchungsmass

4. Allgemeine Funktionsgleichung 4.1 Von der Scheitelform zur allgemeinen Form Scheitelform: y = a(x – u)2 + v = a·x2 – 2au·x + a·u2 + v Allgemeine Form: y = a·x2 + b·x + c ; mit b = -2au und c = a·u2 + v Da es sich um eine quadratische Zuordnung handelt, definiert die Gleichung y = f(x) = a·x2 + b·x + c die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion f mit einer Parabel als Graphen dieser Funktion. 4.2 Quadratische Ergänzung Algebraisches Verfahren zur Umformung quadratischer Terme auf der Basis der binomischen Grundformeln (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2. Ziel: Umformung der allgemeinen Parabelform y = ax2 + bx + c in die Scheitelform y = a(x – u)2 + v. Bsp. 1: x2 + 4x = x2 + 4x + ? = x2 + 4x + 22 – 22 = (x + 2)2 – 4 Bsp. 2: 2x2 - 6x = 2(x2 – 3x + ? ) = 2(x – 3x + 1.52 – 1.52) = 2(x – 1.5)2 – 4.5 allgemein: ax2 + bx = a(x2 + b/a·x + ? ) = a(x2 + b/a·x +(b/2a)2 – (b/2a)2) a(x + b/2a)2 – a·(b/2a)2) = a(x + b/2a)2 – b2/4a 4.3 Von der allgemeine Form zur Scheitelform mittels quadratischer Ergänzung y = a·x2 + b·x + c = a(x2 + b/a·x + ?) + c = a(x2 + b/a·x +(b/2a)2 – (b/2a)2) + c = a(x + b/2a)2 – a·(b/2a)2 + c) = a(x + b/2a)2 – b2/4a + c = a(x – u)2 + v ; mit u = -b/2a und v = (-b2 + 4ac)/4a ; mit Scheitelpunkt S = (u/v).

5. Graphische Darstellung 5.1 Von der allgemeinen Funktionsgleichung zum Graphen Bsp: y = ½x2 – 2x + 1 (1) Umformen in Scheitelform: y = ½(x2 – 4x + 22 – 22) + 1 = ½(x – 2)2 – 1 P P‘ (2) Scheitelpunkt S = (2 / -1) einzeichnen (3) Formzahl a = ½ von S aus eintragen, ergibt Parabelpunkte P1 = (3 / -½) und P2 = (1 / -½) P2 P1 (4) Schnittpunkt P = (0 / 1) mit y-Achse (x = 0) eintragen (P‘ symmetrisch bezüglich Scheitelgerade x = 2) S 5.2 Vom Graphen zur allgemeinen Funktionsgleichung S +1 -2 (1) Scheitelform bestimmen: S = (-1 / 3) → y = a·(x + 1)2 + 3 Formzahl a aus P = (0/1): a = -2 P (2) Umformen in allgemeine Form: y = -2(x + 1)2 + 3 = -2x2 – 4x + 1

6. Quadratische Gleichungen 6.1 Nullstellen einer quadratischen Funktion Bsp: y = f(x) = 1/2x2 – x – 3/2 Die beiden Lösungen x1 und x2 der quadratischen Gleichung 0 = 1/2x2 – x – 3/2 werden durch die beiden Schnittstellen des Graphen mit der x-Achse (y = 0) veranschaulicht (sog. Nullstellen der quadr. Funktion). x1 x2 Lösungsformel: Lösungen: x1 = -1 ; x2 = 3 Mittels der beiden Lösungen lässt sich die Funktionsgleichung in eine lineare Produktform zerlegen: y = f(x) = 1/2x2 – x – 3/2 = ½(x2 – 2x – 3) = ½(x + 1)(x - 3) 6.2 Anzahl Lösungen einer quadratischen Gleichung Massgebend für die Anzahl Lösungen einer quadratischen Gleichung ist die Diskriminante D (Wurzelausdruck) der Lösungsformel: D = b2 – 4ac D > 0: 2 Lösungen D = 0: 1 Lösung (2 identische Lösungen) D < 0: keine Lösung

7. Anwendungsbeispiele 7.1 Wurfparabel 7.2 Extremalwertbeispiel x x Die folgende Extremalwertaufgabe führt auf eine quadratische Funktionen, deren Graph eine Parabel ist. Da die Funktionswerte jeweils im Scheitelpunkt ihren grössten oder kleinsten Wert (Maximum oder Minimum) annehmen, geht es also darum, den Scheitelpunkt dieser quadratischen Funktion zu finden. Bsp: Längs einer Lärmschutzwand soll ein möglichst grosses, rechteckiges Spielfeld abgesteckt werden. Zur Verfügung stehe Zaunmaterial von 30 m Länge.   Wie müssen Länge und Breite des Spielfeldes gewählt werden, damit der Flächeninhalt maximal wird ? x x 30 - 2x Lösung: Rechteckseiten: Breite: x ; Länge: 30 – 2x Flächeninhalt: A(x) = x·(30 – 2x) = -2x2 + 30x Scheitelform: A(x) = -2(x2 – 15x + 7.52 – 7.52) = -2(x – 7.5)2 + 112.5 Scheitelpunkt: S = (7.5 / 112.5) mit Maximum bei x = 7.5 Lösung: Länge: 15 m ; Breite: 7.5 m ; Flächeninhalt: 112.5 m2