Prof. Dr.-Ing. A. Bührig-Polaczek Seminarvortrag Analyse, Implementierung und Optimierung verschiedener Löser für das Mikroseigerungsmodell MicroPhase F. Münchhalfen Ext. Betreuer: B. Pustal (RWTH) Int. Betreuer: Prof. Dr. M. Reißel (FH Jülich)

Seminarvortrag Felix Münchhalfen Inhaltsüberblick 1.Einleitung und Motivation 2.Erstarrung und Mikroseigerung 3.Mikroseigerungsmodell und Problemstellung 4.Lösungsansätze 5.Zusammenfassung und Ausblick

Seminarvortrag Felix Münchhalfen Einleitung und Motivation Klemmring aus austenitischem Gusseisen

Seminarvortrag Felix Münchhalfen Einleitung und Motivation MicroPhase –Simulation von Erstarrungsvorgängen auf mikroskopischer Ebene –numerische Lösung mit Hilfe diskreter Volumenelementen –Ziel: Phasenanteile und Erstarrungskinetik bestimmen Diffusionsgleichungssystem –Diffusionsflüsse der Legierungselemente zwischen den Volumenelementen, –daher zeitlich diskrete Berechnung der Konzentrationen der Legierungselemente

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Seminarvortrag Felix Münchhalfen Erstarrung und Mikroseigerung

Seminarvortrag Felix Münchhalfen Erstarrung und Mikroseigerung Werkstoffeigenschaften werden durch Zusammensetzung der Mikrostruktur beeinflusst Erstarrung: –Festkörperphasen scheiden sich aus der –flüssigen Phase aus. Inhomogene Konzentrationsverteilung der Legierungselemente (Mikroseigerungen) innerhalb der Festphasen Löslichkeit der Elemente an der Phasengrenzfläche bestimmen Konzentrationsunterschiede

Seminarvortrag Felix Münchhalfen Erstarrung und Mikroseigerung Mikroseigerung –Umverteilungen der Elemente an der Phasengrenzfläche –Örtlich ungleichmäßige Verteilung der Legierungselemente innerhalb der festen Phase –Anteil der festen Phase ändert sich durch Diffusion

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Seminarvortrag Felix Münchhalfen Mikroseigerungsmodell und Problemstellung Repräsentatives Volumenelement –Größe: halber Dendritenarmabstand Diffusion beeinflusst den Phasenanteil und damit die Position der Phasengrenzfläche  Änderung der Grenzflächengeschwindigkeit Diffusion wird in jedem Zeitschritt berechnet, –wodurch Konzentrationsunterschiede i.d.R. ausgeglichen werden, da als treibende Kraft Konzentrationsunterschiede angesehen werden können (Fick‘sches Gesetz)

Seminarvortrag Felix Münchhalfen Mikroseigerungsmodell und Problemstellung Fick‘sches Gesetz –Diffusionsstrom entgegen dem Konzentrationsgradienten –Berechnung des chemischen Diffusionsstroms jeder Legierungskomponente i in der festen Phase j

Seminarvortrag Felix Münchhalfen Mikroseigerungsmodell und Problemstellung Austenitisches Gusseisen ist jedoch ein komplexerer Werkstoff: –Diffusionsfluss wird auch durch die Konzentrations- gradienten der anderen Legierungselemente beeinflusst, –daher: Ersetzten des Diffusionskoeffizienten durch Diffusionsmatrix und –Summenbildung über die Gradienten aller Legierungs- elemente

Seminarvortrag Felix Münchhalfen Mikroseigerungsmodell und Problemstellung Bisherige Problemlösung –Durch eine diskretisierte Erhaltungsgleichung wird ein Gleichungssystem besetzt –Für jedes Legierungselement ein Gleichungssystem –Berücksichtigt die Wechselwirkungen der anderen Elemente explizit auf der rechten Seite

Seminarvortrag Felix Münchhalfen Mikroseigerungsmodell und Problemstellung Lösungsalgorithmus –Thomas-Algorithmus Direkter Löser Lässt sich nur auf Tridiagonalmatrizen anwenden Berechnung der neuen Koeffizienten c‘ und Lösungsvektorelemente y‘ (Vorwärtseliminierung) Berechnung der Lösungen x durch Rücksubstitution

Seminarvortrag Felix Münchhalfen Mikroseigerungsmodell und Problemstellung Problematik –Explizite Berücksichtigung der Wechselwirkungen Wechselwirkungen werden aus vorherigem Zeitschritt berechnet Genaue Ergebnisse werden manchmal nur durch sehr kleine Zeitschrittweiten erreicht –Wechselwirkungen sollen nun implizit berücksichtigt werden Gleichungssystem berücksichtigt nun alle Elemente Das Gleichungssystem ist nun nicht mehr von tridiagonaler Gestalt  Erfordert einen anderen Lösungsalgorithmus

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Seminarvortrag Felix Münchhalfen Lösungsansätze Direkte Löser –Gauss-Jordan-Verfahren Elimination der Matrixelemente unterhalb der Diagonalen Lösung durch Rückwärtssubstitution –Erweiterte Verfahren Givens-Verfahren –Eliminiert Elemente unter der Diagonalen durch Rotationsmatrizen –Ermöglicht eine Zerlegung der Systemmatrix in QR Form Householder-Verfahren –Spiegelt die Spaltenvektoren auf den jeweiligen Einheitsvektor –Ermöglicht eine Zerlegung der Systemmatrix in QR Form –Liefern in exakter Arithmetik exakte Lösung nach n Rechenschritten In Floating Point Arithmetik treten Rundungsfehler auf

Seminarvortrag Felix Münchhalfen Lösungsansätze Iterative Verfahren –Berechnet von einem Startwert x_0 schrittweise Näherungen von der Lösung x –Ausgleich von Rundungsfehlern –Gewünschte Eigenschaften Stabilität Konvergenz Konsistenz –Einfache Beispiele Splitting Verfahren –Richardson-Verfahren –Jacobi-Verfahren –Gauss-Seidel-Verfahren Relaxierte Splitting Verfahren Steepest-Descent

Seminarvortrag Felix Münchhalfen Lösungsansätze Kompliziertere iterative Löser –Krylow-Unterraum-Verfahren K_m, L_m m-dimensionale Unterräume des R^n X_m wird durch genähert Galerkin Bedingung:

Seminarvortrag Felix Münchhalfen Lösungsansätze Vertreter dieser Klasse (Saad und Schultz, 1986) –GMRES-Verfahren Speicherlastiges Verfahren, Basisvektoren müssen gespeichert werden Wird bei angegebener maximaler Dimension von L_m abgebrochen und neugestartet –BiCGStab(van der Voorst) Wenig speicherlastiges Verfahren Trotz Versuchen die Stabilität zu erhöhen noch immer relativ instabil Bricht unter Umständen ab, ohne die richtige Lösung gefunden zu haben

Seminarvortrag Felix Münchhalfen Inhaltsüberblick 1.Einleitung und Motivation 2.Erstarrung und Mikroseigerung 3.Mikroseigerungsmodell und Problemstellung 4.Lösungsansätze 5.Zusammenfassung und Ausblick

Seminarvortrag Felix Münchhalfen Zusammenfassung und Ausblick Vorteile und Nachteile direkter und iterativer Verfahren –Direkte Verfahren Geeignet für kleine Gleichungssysteme Aufsummierung von Rundungsfehlern Lösung ist bei sehr großen Gleichungssystemen eventuell nur approximativ –Iterative Verfahren Geeignet für große, dünn besetzte Gleichungssysteme Müssen nicht die gesamte Systemmatrix speichern Krylow-Verfahren: nur Matrix-Vektor-Multiplikationen und Skalarprodukte

Seminarvortrag Felix Münchhalfen Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit Fragen?