Wärmeleitungs- gleichung

Präsentation zum Thema: "Wärmeleitungs- gleichung"—  Präsentation transkript:

1 Wärmeleitungs- gleichung
Winkler Hannes Jerabek Hansjörg Vogler Christoph

2 Inhaltsübersicht Theorie FreeFem Lösung Crank-Nicolson Verfahren
Tridiagonalmatrix FreeFem Implementierung des Problems Lösung Verschiedene Orts- und Zeitdiskretisierungen

3 Theorie Wärmeleitungsgleichung Taylor-Reihe

4 Theorie Orts- und Zeitdiskretisierung Differenzengleichung
Ort: x = i * ∆x , i =1,2,…., L/∆x Zeit: t = n * ∆t , n =1,2,…., T/∆t Differenzengleichung explizites Eulerverfahren

5 Theorie Crank Nicolson Verfahren (implizit) Differenzengleichung

6 Theorie Crank Nicolson Verfahren

7 Theorie Crank Nicolson Verfahren Lineares Gleichungssystem

8 Theorie Crank Nicolson Verfahren Tridiagonalmatrix

9 Theorie Lösung des Gleichungssystems

10 Theorie Lösung des Gleichungssystems
Rekursionsvorschrift Lösungsvektor Rekursionsvorschrift Koeffizienten aus Betrachtung der letzten Zeile: αI=0, βI=0

11 Theorie Lösung des Gleichungssystems Berechnung der αi und βi
Berechnung von u1 Berechnung der restlichen ui

12 Wärmeleitungsgleichung
Randbedingungen

13 Finite-Element-Methode

14 FreeFem-Umsetzung Definition eines Basisfunktionengitters
Mesh Th Deklaration eines Finite-Element-Raumes fespace Vh(Th,P1) Definition der Problemstellung problem Waermeleitungsgleichung(u,w)

15 FreeFem-Umsetzung Definition der Integrale
Definition Dirichlet-Randbedingung border Dirichlet(t=0,1){ x=L; y=t; } on(Dirchlet,u=uRand ) Definition Neumann-Randbedingung border Neumann(t=0,1){ x=0; y=t; } int1d(Th,Neumann) (gu*w)

16 Lösungen Zeitvariationen dt = 0.01 dt = 0.1

17 Lösungen Zeitvariationen dt = 1 dt = 5

18 Lösungen Ortsauflösungsvariationen mesh = 3 mesh = 5

19 Lösungen Ortsauflösungsvariationen mesh = 10 mesh = 20

20 Lösungen Ortsauflösungsvariationen mesh = 20 mesh = 30