Vorbereitungsseminar zum fachdidaktischen Blockpraktikum WS 2009/10 Seminarleiterin: Frau StDin Homberg-Halter Seminarsitzung: Oberstufe Stochastik -Planung einer Unterrichtsstunde- Moderatorin: Andrea Schneider

Thema: Erwartungswert einer Zufallsgröße

Gliederung u Einordnung in den Lehrplan u Lernvoraussetzungen u Beispiel einer Einführung u Gruppenarbeit u Weiteres Beispiel eines Tafelbildes

Einordnung in den Lehrplan u Klasse 5: Baumdiagramme: als Zählhilfen z. B. Menüzusammenstellungen, Kleiderkombinationen

Einordnung in den Lehrplan u Klasse 7: Einführung in die Stochastik: – Zufallsexperimente  Klasse 5:Mengen und Elemente, Baumdiagramme, einfache Zählverfahren  Klasse 6: Mittelwerte – Wahrscheinlichkeitsverteilungen  Klasse 7:Prozentrechnung – Ereignisse – Laplace-Experiment

Einordnung in den Lehrplan u Klasse 9: (10 Stunden) -Mehrstufige Zufallsexperimente erste/zweite Pfadregel -Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Einordnung in den Lehrplan u Mathe G-Kurs: 1. Wahrscheinlichkeiten: (15 Stunden) Umgang mit der Symbolik, Modellieren von Zufallsexperimenten 2. Zufallsgrößen: (13 Stunden) diskrete Zufallsgröße, charakteristische Größen, Binomialverteilung

Einordnung in den Lehrplan u Mathe E-Kurs: 1. Wahrscheinlichkeiten: (15 Stunden) Umgang mit der Symbolik, kombinatorische Zählverfahren, Modellieren von Zufallsexperimenten 2. Zufallsgrößen: (15 Stunden) diskrete Zufallsgrößen, charakteristische Größen, Binomialverteilung

Lernvoraussetzungen zur Einführung des Erwartungswertes u Relative/absolute Häufigkeit u Baumdiagramm (Pfadregel) u Wahrscheinlichkeitsverteilung u Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten, Kombinatorik und die Einführung von Zufallsgrößen

Lernvoraussetzungen zur Einführung des Erwartungswertes 1. Eine Zuordnung X: Ω→R, die jedem Ergebnis eines Zufallsversuches eine reelle Zahl zuordnet, heißt Zufallsgröße oder Zufallsvariable. 2. Mit X=x i wird das Ereignis bezeichnet, zu dem alle Ergebnisse des Zufallsversuches gehören, deren Eintritt dazu führt, dass die Zufallsgröße den Wert x i annimmt. 3. Ordnet man jedem möglichen Wert x i, den die Zufallsgröße annehmen kann, die Wahrscheinlichkeit P(X=x i ) zu, mit der sie diesen Wert annimmt, so erhält man die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße.

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße Beispiel: Augensumme beim 2fachen Würfeln Augensumme k Zugehörige ErgebnisseWahrscheinlichkeit für Augensumme k , 21 13, 22, 31 14, 23, 32, 41 15, 24, 33, 42, 51 16, 25, 34, 43, 52, 61 26, 35, 44, 53, 62 36, 45, 54, 63 46, 55, 64 56, /36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Zufallsgröße X u Die Wahrscheinlichkeit P (X=5) gibt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses X=5 an. u Das Ereignis X=5 enthält alle Ergebnisse x i für die X= 5 gilt: ((1,4); (2,3); (3,2); (4,1)) u Mit einer Wahrscheinlichkeit von 4/36 würfelt man beim 2fachen Würfeln die Augensumme 5: P(X=5) = 4/36

Erwartungswert u X sei eine Zufallsgröße mit der Wertemenge x = x x n. Dann heißt die Zahl Erwartungswert der Zufallsgröße X.

Erwartungswert u Erwartungswert beim 2fachen Würfeln, d.h. welche Augensumme wird im Mittel erwartet: u Das heißt beim 2fachen Würfeln wird im Mittel die Augensumme 7 erwartet.

Gruppenarbeit u Auftrag: Jede Gruppe erarbeitet eine Einführungsunterrichtsstunde zum Thema „Erwartungswert einer Zufallsgröße“ inklusive Tafelbild. – Gruppe A: enaktiver Zugang über ein Glücksspiel – Gruppe B: mittels Beispiel aus Alltag/Physik – Gruppe C: mittels Beispiel aus Industrie/ Wirtschaft u Anschließende Präsentation der Unterrichtsstunden

Beispiel einer Unterrichtsstunde zur Einführung des Erwartungswertes Wie viele Personen wohnen im Schnitt in einer Wohnung/Haus der Schüler dieses Kurses? 20 Schüler: Pers./Whg: Anz.Schüler: Durchschnittliche Anzahl von Personen pro Wohnung: Erwartungswert einer Zufallsgröße Welche Augensumme erwartet man im Mittel beim 2fachen Würfeln? Verteilung der Zufallsgröße:  2·1/36+ 3·2/36 + 4·3/36 + 5·4/36 + 6·5/36 + 7·6/36 + 8·5/36 + 9·4/ ·3/ ·2/ ·1/36 = 7 Definition (Erwartungswert): Kann eine Zufallsgröße X die Werte x 1,x 2,…, x n annehmen, dann heißt die Summe von Produkten Erwartungswert einer Zufallsgröße und wird mit E(X) bzw. µ bezeichnet. Aufgabe: Eine Münze wird fünfmal geworfen. Die Zufallsgröße X ist die Anzahl der Kopfwürfe. a) Stelle die Wahr- scheinlichkeitsver- teilung von X auf. b) Bestimme den Erwartungswert von X.

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!

Quellenangaben u „Einführung in die beurteilende Stochastik“, Strick u „Mathematik“; Analytische Geometrie- Stochastik von Bigalke/ Köhler, Cornelson- Verlag