Schwingungen und Wellen Angewandte Physik Schwingungen und Wellen Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

breiten sich räumlich aus Schwingungen: örtlich stationär Wellen: breiten sich räumlich aus Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Schwingungen und Wellen Energie-transport potentielle Energie in Feder kinetische Energie der Masse Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Bedeutung von Schwingungen und Wellen in Technik und Wissenschaft Energiespeicher (Bewegung auf begrenztem Raum, verwandt mit Rotation) (auch mikroskopisch; z.B. Energie in Gasteilchen) Zeitmaßstab: Keine Uhr ohne Oszillator Störeffekte: Materialermüdung durch Dauerbelastung Grundform der Existenz: Nullpunktsschwingungen Wellen (gekoppelte Schwingungen): Energietransport: Meereswellen, 50Hz-Netz, Mikrowellenherd, Laser Informationstransport: Schallwellen, Radio, Fernsehen, Funkkommunikation Materialtransport: Materiewellen, jede Materie Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Präsenzübung Eine Maschine der Masse m = 1,5t steht auf sechs gleichen Federn der Federkonstante 𝑘 = 3 · 104 𝑁/𝑚. Dämpfungselemente bewirken eine Dämpfung mit dem Dämpfungsgrad 𝜗 = 0,15. Wie groß ist die Federkonstante der Kombination der 6 Federn? Wie groß ist die Resonanzfrequenz der Maschinenschwingung? Wenn die Maschine mit der Drehzahl 𝑛1 = 500 𝑚𝑖𝑛 läuft, treten infolge einer Erregerkraft Schwingungen mit der Amplitude 𝑦 1 = 1𝑚𝑚 auf. wie groß ist die Anregungsfrequenz, die der Drehzahl entspricht im Vergleich zur Resonanzfrequenz? Wie groß muss die Drehzahl 𝑛2 gewählt werden, damit die Amplitude auf 𝑦 2 =0,1𝑚𝑚 abnimmt?

Angewandte Physik Schwingungen Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Verschiedene Arten von oszillierenden Systemen Kippschwinger Zeit Harmonischer Oszillator sinusförmige („harmonische“) Schwingung Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

1. "Harmonische" Schwingung ohne Reibung Beispiel Federpendel: 1) träge Masse (~ Verharrung) 2) rücktreibende Kraft: Feder (~ Elastizität) Auslenkung hängt sinusförmig von Zeit ab. Es gibt eine Eigenfrequenz f0 Zeit t Auslenkung x(t) Geschwindigkeit v(t) Schwingungs- periode T0 Eigenfrequenz f0=1/T0 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Ähnlichkeit von Harmonischer Schwingung und Kreisbewegung 𝑦 𝑦 𝑥 T 𝑦 𝑡 =𝑦0 sin 2π 𝑇 t =𝑦0sin⁡ ωt Kreisfrequenz ω =2π/T Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

2. gedämpfte harmonische Schwingung Federpendel: 1) Masse, 2) rücktreibende Federkraft 3) Reibung führt zu Dämpfung der Schwingung Zeit t Auslenkung x nimmt mit Zeit ab Schwingungs- periode und Frequenz ändern sich: fd < f0 Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

3. erzwungene harmonische Schwingung Aspekte zum Federpendel: 1) Masse 2) rücktreibende Federkraft  Eigenfrequenz 3) sinusförmig variierende Anregung mit beliebiger Frequenz 4) Auslenkung nach Anfangseffekten schließlich mit Anregungsfrequenz 5) Resonanz Eigenfrequenz  ~ Resonanzfrequenz Zeit t Auslenkung x Anregungsfrequenz Schwingungsfrequenz Antrieb 6) Achtung: die Variable die den Antrieb darstellt (z.B. Kraft) hat meist eine andere Dimension wie die Variable die die schwingende Größe darstellt (z.B. Weglänge) Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Übersicht über harmonische Schwinungen freie Schwingung erzwungene Schwingung 1) 4) ungedämpft 2) 3) gedämpft Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

wichtige Begriffe eines schwingenden Systems Resonator: Freiheitsgrad(e) (Auslenkung, Amplitude) Resonanz: Eigenfrequenz (freie, ungedämpfte Schwingung) Abwechselnd kinetische Energie / Potenzielle Energie (Energieerhaltung) Reibung: Umwandlung von potenzieller/kinetischer Energie in Wärme (auch Energie!) zeitliches Abklingen (Dämpfung) der Schwingung durch Reibung verschiedene mögliche Abhängigkeiten der Reibung von 'Geschwindigkeit' Erreger: periodische Auslenkung, unabhängige Erregerfrequenz sinusförmig (anderer Zeitverlauf möglich: siehe Basketball-Dribbeln) nach Einschwingvorgang: Resonator schwingt mit Erregerfrequenz Einschwingvorgang allgemein: Überlagerung aus Bewegungen mit Eigenfrequenz (abklingend) und mit Erregerfrequenz ( stationärer Zustand) Erreger + Resonator  "Oszillator" Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Beispiele für schwingende Systeme / Oszillatoren Unruh in Uhrwerk 1 Hz Stimmgabel 440 Hz Foucault-Pendel 0,2 Hz Stimmgabelquarz in Quarzuhr 32768 Hz Molekülschwingung x GHz –THz Schwingquarz 4 MHz YIG Oszillator 4 GHz

Freie, ungedämpfte Schwingung; mathematisch reibungsfreie Gleitbewegung y Beschleunigungskraft = Federkraft Differenzialgleichung 𝑦 in DGL eingesetzt : Lösungsansatz komplex: Steifigkeit Trägheit Resonanzfrequenz Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Verschiedene Resonatoren / Oszillatoren Steifigkeit Trägheit Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Energie und Energierhaltung bei Schwinungsvorgängen kinetische Energie in auf/ab-Geschwindigkeit der Masse potenzielle Energie in Dehnung/Kompession der Feder t oberer Umkehrpunkt unterer Umkehrpunkt Energie pulsiert mit doppelter Frequenz vmax abwärts vmax aufwärts t Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Analogie: Oszillator mechanisch / elektrisch kinetische / magnetische Energie potentielle / elektrostatische Energie http://de.wikipedia.org/wiki/Schwingkreis Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

gedämpfte harmonische Schwingungen Spezialfall: Dämpfung (Reibung) ist proportional zu Geschwindigkeit (Änderung der oszillierenden Größe) FTrägheit schon wieder eine Differenzial-gleichung! gewöhnliche lineare Differentialgleichung allgemeiner Lösungsansatz: gedämpfte harmonische Schwingung Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

gedämpfte harmonische Schwingungen Dämpfung (Reibung) proportional zur Änderung (Geschwindigkeit) der oszillierenden Größe FTrägheit Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung Abklingkoeffizient [1/s] Zeit t Abklingzeitkonstante [s] innerhalb von t fällt Amplitude auf 1/e vom Anfangswert Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Dämpfungsgrad  und Güte Q Beispiele: Stimmgabel, Quarzschwinger, elektr. Hohlraumresonator, akustischer Hallraum, ... reale Resonatoren haben immer Dämpfung (Verluste) Maß für Dämpfung im Verhältnis zu Schwinungsfrequenz: Dämpfungsgrad  Güte Q (dimensionslos) (dimensionslos) Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

verschiedene Bereiche des Dämpfungsgrades Schwingfall J < 1 w0 > d Kriechfall J > 1 w0 < d aperiodischer Grenzfall J = 1 w0 = d Auslenkung klingt schnellstmöglich ab Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Erzwungene Schwingung: Resonator mit Anregung Dämpfung Antrieb FErreger Elektrisches Analogon Eingangsspannung Ausgangsspannung Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Amplitudengang der Resonanz Resonanzfrequenz Resonator schwingt mit Erregerfrequenz W Amplitude hängt von Erregerfrequenz ab w0 Erregerfrequenz W Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Abhängigkeit der Resonanzkurve von Dämpfung Resonator schwingt mit Erregerfrequenz W Amplitude hängt von Erregerfrequenz ab zunehmende Phasenverschiebung g(W) zwischen Erreger und Auslenkung des Resonators Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Amplituden- und Phasengang der Resonanz wres ® w0 wichtige Eigenschaften der Resonanz: Resonanzfrequenz wres < w0 wres ® w0 für J ® 0 Phasenverschiebung g = 0 ® p Bandbreite bei -3dB = (1/√2) von Maximum der Resonanzkurve Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Resonanzfrequenz: Frequenz größter Schwingungsamplitude Resonanzfrequenz wird durch Dämpfung etwas kleiner Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Resonanzüberhöhung Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Resonanzbreite Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Einschwingvorgang bei abruptem Beginn der Anregung zur Zeit t=0 a) freie abklingende Schwingung mit d b) Anregung mit Frequenz  c) Einschwingvorgang: Überlagerung von a) und b) d) stationäre Schwingung mit Frequenz  a) b) c) d) Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Übergang von Schwingung zu Welle: gekoppelte Oszillatoren Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

2 gekoppelte Schwinger gleichphasig gegenphasig Linearkombination   ohne Kopplung: Kopplungsgrad k12= 0 2 identische Schwinger: gleiche Eigenfrequenz w0 mit Kopplung: Kopplungsgrad k12> 0 2 Eigenmoden: gleichphasig: w1 gegenphasig: w2 Allgemeine Bewegung: Linearkombination der beiden Eigenmoden gleichphasig gegenphasig Linearkombination Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

2 gekoppelte Schwinger Schwebung Allgemeine Bewegung: Linearkombination der Eigenmoden Schwebung Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

mehrere gekoppelte Schwinger n Freiheitsgrade n Eigenmoden ("Fundamentalschwingungen") n Eigenfrequenzen Beispiel: 3-atomiges Molekül 9 Freiheitsgrade, davon 6 für Translation und Rotation des Moleküls, 3 interne Freiheitsgrade  3 Schwingungsmoden in der Ebene des Moleküls 3 Schwingungsmoden (hier nur schematisch angedeutet) Es können auch mehrere Schwingungsmoden aus Symmetriegründen gleiche Frequenz haben: "entartete" Moden Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Ausblick: Anzahl der Freiheitsgrade sehr groß Energiebändermodelle: kontinuierlicher Bereich von möglichen Eigenfrequenzen Energie ~ Eigenfrequenzen Festkörper mit 1023 Atomen Einzelatom Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Angewandte Physik Wellen Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

gekoppelte Schwingungen  Welle einzelner Schwinger Transversalwelle Longitudinalwelle kein Materietransport aber Energietransport Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Transversalwelle und Longitudinalwelle Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

harmonische Wellen Auslenkung ist Funktion von Ort und Zeit: Frequenz f = w/2p Wellenlänge l = 2p/k Wellenzahl k = 2p/l Phasengeschwindigkeit c = l f Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz allgemein lineare Superposition: Wellenfunktionen können addiert werden ebene stehende Welle in x-Richtung Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

stehende Wellen eindimensional sich ausbreitende Wellen gegenläufige Wellen: gleiche Amplitude  stehende Wellen: Wellenknoten und Wellenbäuche Eine stehende Welle ist die Überlagerung von zwei gegenläufigen Wellen mit gleicher Amplitude und gleicher Wellenlänge http://www.mta.ca/faculty/science/physics/suren/Twave/Twave02.html Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Wann gibt es eine stehende Welle? Welle wird an einer Stelle vollständig reflektiert Amplitude und Wellenlänge (und Frequenz) beider Wellen sind gleich (Welle kommt aus dem Unendlichen und geht auch wieder ins Unendliche) Welle wird an zwei Stellen vollständig reflektiert: Das geht nur gut, wenn nach zweimaliger Reflexion die Welle wieder mit sich selbst in Phase ist. Resultat, wenn der Spiegelabstand passt: eine stehende Welle mit einer ganzen Anzahl von Wellenlängen auf zweifachem Spiegelabstand (oder einer ganzen Anzahl von halben Wellenlängen zwischen Spiegeln) Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Verschiedene Ausformungen der Stehwelle je nach Reflexionsphase an den Spiegeln Reflexion mit Phasenumkehr um 180° Wellenknoten an Spiegeln Reflexion ohne Phasenumkehr um 180° Wellenbäuche an Spiegeln Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Stehende Wellen und Eigenschwingungsmoden Welle mit Reflexion an den Enden Moden: Stehende Wellen verschiedener Wellenlängen allgemein: Überlagerung der verschiedenen Moden Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Schwingungsmoden einer Brücke Reflexion an den Enden Moden: Stehende Wellen verschiedener Wellenlängen allgemein: Überlagerung der verschiedenen Moden Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz allgemein lineare Superposition: Wellenfunktionen können addiert werden Wenn Wellen nicht exakt in gleicher Richtung dann keine stehende Welle aber „Interferenz“ (kompliziertere Wellenmuster): Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Ph ysik

eindimensionale Welle: Seilwelle Auslenkung des Seiles aus gerader Linie z(x,t) Wellenzahl z x Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

Wellen im Raum, Wellenvektor Wellen in Ebene (2D), z.B. auf Wasseroberfläche Wellen im Raum (3D), z.B. Schallwelle Auslenkung der Oberfläche z(x,y,t) Wellenvektor Wellenvektor Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik

akustische Hohlraumresonanzen geschlossener Pfad einer räumlichen ebenen Welle, wo Weglänge eine ganzen Zahl von Wellenlängen gleich ist ergibt eine stehendes Wellenmuster das zeitlich mit einer bestimmten Eigenfrequenz schwingt +

Oberflächenwellen auf Wasser Form der Oberfläche nicht sinusförmig Teilchenbewegung nicht nur auf und ab sondern auch vor und zurück komplizierter Zusammenhang zwischen Wellenform Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wassertiefe Prof. Dr. H. Graßl, Angewandte Physik