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1 Polynome und mehrfache Nullstellen Polynome sind Gefangene ihrer leicht durchschaubaren Eigenschaften. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität.

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1 1 Polynome und mehrfache Nullstellen Polynome sind Gefangene ihrer leicht durchschaubaren Eigenschaften. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Stichwort: Polynome im Affenkasten

2 2 Polynome und mehrfache Nullstellen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, gerade schräg

3 3 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, doppelte Nullstelle x= -1 einfache Nullstelle x= 2 Nullstellen Linearfaktoren

4 4 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, doppelte Nullstelle x= -1 einfache Nullstelle x= 2

5 5 Welche Gleichung kann dieses Polynom haben? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015

6 6 Welche Gleichung kann dieses Polynom haben? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Diese Funktion Vieta Vieta, mehr Folie 11

7 7 Was ist eigentlich ein Polynom? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Ein Polynom ist eine Summe von Potenzfunktionen. Der höchste Exponent, der vorkommt, heißt Grad des Polynoms. Polynome 1. Grades sind die Geraden Polynome 2. Grades sind die Parabeln Polynome 3. Grades haben immer eine symmetrische s-Form. Polynome 4. Grades haben höchstens 3 Extrema. Je höher der Grad, desto vielfältigere Formen sind möglich.

8 8 Polynome und ihre Linearfaktoren Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Jede reelle Nullstelle erzeugt einen Linearfaktor. Wenn das Restpolynom auch noch die Nullstelle enthält, kann man den Linearfaktor mehrfach „herausziehen“. Geht das maximal k-mal, dann heißt k-fache Nullstelle, oder „Nullstelle der Vielfachheit k“

9 9 Polynome und ihre Linearfaktoren Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, In der Nähe eine k-fachen Nullstelle verhält sich das Polynom wie sich die k-Potenzfunktion im Ursprung verhält. Ein Polynom n-ten Grades hat höchsten n Nullstellen, mit ihrer Vielfachheit gezählt. Fundamentalsatz der Algebra (reell) Grad 10Gesamtverlauf

10 10 Polynome und ihre Linearfaktoren Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Qualitativer Graph eines durch Linearfaktoren gegeben Polynoms Vorzei- chen GradGes. Verlauf gerade ungerade

11 11 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Übung 2 mit Polynomen Polynome aus Linearfaktoren Zeichnen

12 12 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Übung 2 mit Polynomen Polynome aus Linearfaktoren Zeichnen

13 13 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Übung 3 mit Polynomen Polynome aus Linearfaktoren Zeichnen

14 14 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Übung 3 mit Polynomen Polynome aus Linearfaktoren Zeichnen

15 15 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Übung 4 mit Polynomen Polynome aus Linearfaktoren Zeichnen

16 16 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Übung 4 mit Polynomen Polynome aus Linearfaktoren zeichnen

17 17 Funktionen als zentrales Werkzeug Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Potenzfunktionen Polynome Trigonometrische Funktionen Exponentialfunktionen Davon so manche Umkehrfunktionen Wurzelfunktionen Arkusfunktionen Logarithmusfunktionen Und das noch koppeln mit und Verkettung. Das war‘s dann aber auch

18 18 Funktionen als zentrales Werkzeug Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Sinusfunktion

19 19 Die Winkel-Funktionen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, x wird Argument einer Funktion Einheitskreis Der Punkt Q läuft im Einheitskreis vom Start (1/0). (mathematisch positiv = gegen die Uhr) Den von Q zurückgelegten Weg x nennt man auch „das Bogenmaß des Winkels“, um den sich Q gedreht hat. Kurz: x ist der Winkel im Bogenmaß

20 20 Die Sinus-Funktion Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Sinusfunktion Einheitskreis x = Winkel im Bogenmaß = Länge des Bogens im Einheitskreis Dem Winkel x wird nun die Ordinate von Q zugeordnet. Die Funktion, die das leistet, heißt Sinus-Funktion.

21 21 Die Sinus-Funktion Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Sinusfunktion Einheitskreis x = Winkel im Bogenmaß = Länge des Bogens im Einheitskreis

22 22 Eigenschaften der Sinus-Funktion Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Sinus-Funktion ist periodisch. Die Periode ist. Die Sinuswerte liegen zwischen -1 und + 1. Die Sinusbögen sind symmetrisch. Die Sinuskurve ist punktsymmetrisch zum Ursprung

23 23 Die Sinus-Funktion Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Sinusfunktion Einheitskreis x = Winkel im Bogenmaß = Länge des Bogens im Einheitskreis Dem Winkel x wird nun die Ordinate von Q zugeordnet. Die Funktion, die das leistet, heißt Sinus-Funktion.

24 24 Die Kosinus-Funktion Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Sinusfunktion Einheitskreis x = Winkel im Bogenmaß = Länge des Bogens im Einheitskreis Dem Winkel x wird nun die Ordinate von Q zugeordnet. Die Funktion, die das leistet, heißt Sinus-Funktion. Tangens Kosinus

25 25 Eigenschaften der Kosinus-Funktion Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Die Kosinus-Funktion ist periodisch. Die Periode ist. Die Kosinuswerte liegen zwischen -1 und + 1. Die Kosinusbögen sind symmetrisch. Die Kosinuskurve ist symmetrisch zur y-Achse

26 26 Funktionen strecken und stauchen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Ein Faktor direkt beim x sorgt für waagerechtes Strecken und Stauchen.

27 27 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Funktionen strecken und stauchen Posaune

28 28 Sinus von hand Zeichnen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015

29 29 Sinus von hand Zeichnen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015

30 30 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Übung mit Funktionsgraphen Sin-Ueb Hand

31 31 Die Klangfarbe zeigt sich durch ein anderes „Obertonspektrum“ Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, sinus-obertoene

32 32 Schwebungen, sie entstehen, wenn dicht benachbarte Töne gemeinsam erklingen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, schwebungen_ggb

33 33 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Funktionen variieren Fkt-Vari-Sin Sin-Ueb

34 34 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Funktionen variieren Fkt-Vari-Sin Sin-Ueb

35 35 Sinus strecken und stauchen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015

36 36 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Welle

37 37 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, Übung mit Funktionsgraphen


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