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Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für.

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1 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Ein Blick ----- Einblick Wie wir in Mathematik für alle die Welt der Mathematik sehen Folie 1

2 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Ein Weg ist gangbar vorbereitet Wie wir in Mathematik für alle die Welt der Mathematik sehen Folie 2

3 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Exponentialfunktion Basis k >1 Basis k mit 0 { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://images.slideplayer.org/1/210334/slides/slide_3.jpg", "name": "Prof.Dr.", "description": "Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Exponentialfunktion Basis k >1 Basis k mit 0

4 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Exponentialfunktion Basis k >1 Basis k mit 0 { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://images.slideplayer.org/1/210334/slides/slide_4.jpg", "name": "Prof.Dr.", "description": "Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Exponentialfunktion Basis k >1 Basis k mit 0

5 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus e-Funktion, das halbe Geheimnis Folie 5 hin

6 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus e-Funktion, das halbe Geheimnis e-Funktion ist diejenige Exponentialfunktion, die in (0/1) die Steigung 1 hat. Folie 6

7 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Die Welt der Umkehrfunktionen Folie 7

8 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Umkehr-Fragen Umkehr-Funktionen Umkehr-Relationen Folie 8

9 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Umkehr-Fragen, Umkehr-Funktionen, Umkehr-Relationen Frage: Welchen Wert hat f an der Stelle 2? Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4 Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4? Antwort: +2 und -2 sind Lösungen, f(+2)=4 und f(-2)=4 Visualisierung der Umkehrfrage: Folie 9

10 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Umkehr-Fragen, Umkehr-Funktionen, Umkehr-Relationen Frage: Welchen Wert hat f an der Stelle 2? Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4 Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4? Antwort: +2 und -2 sind Lösungen, f(+2)=4 und f(-2)=4 Visualisierung der Umkehrfrage: Gehe von der y-Achse zur Kurve und dann zur x-Achse Folie 10 Umkehrfkt

11 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Umkehr-Fragen, Umkehr-Funktionen, Umkehr-Relationen Frage: Welchen Wert hat f an der Stelle 2? Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4 Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4? Antwort: +2 und -2 sind Lösungen, f(+2)=4 und f(-2)=4 Visualisierung der Umkehrfrage: Gehe von der y-Achse zur Kurve und dann zur x-Achse Gehe von der x-Achse zum Graphen der an der Winkel halbierenden gespiegelten Kurve und dann zur y-Achse. Es ist die Umkehrrelation. Dies ist hier keine Funktion. Der Wert ist nicht eindeutig bestimmt. Folie 11 Umkehrfkt

12 Umkehr-Fragen, Umkehr-Funktionen, Umkehr-Relationen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Frage: Welchen Wert hat f an der Stelle 2? Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4 Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4? Antwort: +2 und -2 sind Lösungen, f(+2)=4 und f(-2)=4 Formalisierung der Umkehrfrage: Bilde (hier stückweise) die Umkehrfunktion Folie 12 Umkehrfkt

13 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Exponentialfunktion Eulersche e-Funktion der natürliche Logarithmus die ln-Funktion der ln Folie 13 Umkehrfkt

14 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Exponentialfunktion Eulersche e-Funktion der natürliche Logarithmus die ln-Funktion der ln Folie 14 Umkehrfkt

15 Wie langsam wächst der Logarithmus? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Folie 15

16 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Funktion frisst Umkehrfunktionen für Hauptwerte Folie 16 Umkehrfkt

17 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Die Welt der Umkehrfunktionen für Hauptwerte Folie 17

18 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Übung mit Funktionsgraphen Folie 18 leer

19 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Übung mit Funktionsgraphen Folie 19 leer

20 Vierer-Übung Erklären Sie sich hier die Gleichungen Die, die nebeneinander sitzen, skizzieren 3 Exponential- funktionen. Die beiden anderen müssen die Funktionsgleichung herausbekommen 6 Minuten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Folie 20

21 Vierer-Übung Erklären Sie sich hier die Gleichungen Die, die nebeneinander sitzen, skizzieren 3 Exponential- funktionen. Die beiden anderen müssen die Funktionsgleichung herausbekommen 6 Minuten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Folie 21

22 Funktionsgleichung y = f(x) Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Grundtypen GeoGebra Potenzfunktion Wurzelfunktion Exponentialfunktion Logarithmus Trigonometrische Funktion Arcus-Funktion Folie 22

23 Differentiale Folie 23 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus

24 Differentiale Parabel Sekanten Folie 24 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Nur zur Vertiefung

25 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Wenn man B an A heran- rücken lässt, wird das Steigungsdreieck der Sekante immer kleiner und man erhält die Tangente in A. Das Differential Also untersuchen wir für jeden Punkt einer Funktion: welche Steigung hat die Funktion in dem Punkt? Folie 25

26 Das Differential Also untersuchen wir für jeden Punkt einer Funktion: welche Steigung hat die Funktion in dem Punkt? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Fahrrad hier Fahrrad pur Fahrrad, Bspl 2 Folie 26

27 Das Differential Also untersuchen wir für jeden Punkt einer Funktion: welche Steigung hat die Funktion in dem Punkt? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Folie 27 Fahrrad hier Fahrrad pur Fahrrad, Bspl 2

28 Die Ableitung f ist die Funktion, die für jedes x die Steigung der Funktion f angibt. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Die rote Funktion ist also die Ableitung von der blauen. Folie 28 diff Fahrrad hier Fahrrad pur Fahrrad, Bspl 2

29 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Übung 2 mit Funktionsgraphen Folie 29 Fahrrad, Bspl 2

30 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Übung 2 mit Funktionsgraphen Folie 30

31 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Übung 3 mit Funktionsgraphen und Ableitungen Folie 31 diff3

32 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus Übung 3 mit Funktionsgraphen Folie 32

33 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus e-Funktion, das ganze Geheimnis e-Funktion ist diejenige Exponentialfunktion, die in (0/1) die Steigung 1 hat. Folie 33 Teil 2 AbleitenTeil 1

34 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus e-Funktion, das ganze Geheimnis e-Funktion ist diejenige Exponentialfunktion, die in (0/1) die Steigung 1 hat. Die e-Funktion ist diejenige Funktion, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Folie 34 Teil 2 AbleitenTeil 1


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