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Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Datumsproblematik Mathematisches Problem Standardverfahren S-Transformation Bemerkungen.

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Präsentation zum Thema: "Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Datumsproblematik Mathematisches Problem Standardverfahren S-Transformation Bemerkungen."—  Präsentation transkript:

1 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Datumsproblematik Mathematisches Problem Standardverfahren S-Transformation Bemerkungen

2 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Datumsproblematik Bedingung bisher immer: Normalgleichungsmatrix ist regulär Problem: Bei Relativbeobachtungen ist das nicht immer der Fall

3 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Problem der Relativmessungen Strecken, Richtungen, Winkel, Höhen- differenzen definieren nur die innere Geometrie 3 Winkel gemessen: Maßstab, Ort und Ori- entierung unbestimmt Lösung bisher: Festhalten von Koordinaten

4 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Was ist die Datumsfestlegung? Eindeutiger Bezug zwischen –der Geometrie des Netzverbundes (innerer Geometrie) und –dem Koordinatenrahmen ohne die innere Geometrie zu zerstören (Niemeier 2002, S. 230)

5 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Ursachen für Singularität Unbestimmtheit des geodätischen Datums Konfigurationsdefekt – das Beispiel ist nicht lösbar, wenn die Pfeile Streckenbeobachtungen darstellen Konfigurationsdefekte werden hier nicht behandelt

6 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Mathematisches Problem Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen: v=Ax-l (n,u) -Matrix A mit n>u regulär, also rkA=u Daher N=A T A regulär weil rkN=u Somit eindeutige Q xx =N -1 Was passiert bei Rangdefizit?

7 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Beispiel Gemessen 3 Höhenunterschiede Alle Höhen Unbekannte dh 12 =H 2 -H 1 dh 23 =H 3 -H 2 dh 31 =H 1 -H 3 Summe der Zeilen gibt Nullvektor linear abhängig Rangdefizit d = 1 Lösung: generalisierte Inverse

8 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Direkte Lösung singulärer Gleichungssysteme Über generalisierte Inverse möglich Beispiel Bjerhammarsche Inverse Ausgangspunkt Cy = x mit rechteckiger Matrix m C n mit m n und r m Lösung gegeben durch y = C T (CC T ) -1 x Lösungsvektor hat minimale Länge y T y =min Bedingte Ausgleichung: r = m

9 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Bjerhammarsche Normalinverse (1) Definiert als C T (CC T ) -1 Angewendet auf singuläres System Nx = n mit C = C T = N erhalten wir x = N(NN) -1 n mit x T x =min Als Funktion von l können wir schreiben x = N(NN) -1 A T l = Dl Für die Kofaktormatrix folgt Q = DD T = N(NN) -1 A T A(NN) -1 N, also Q = N(NN) -1 N(NN) -1 N

10 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Bjerhammarsche Normalinverse (2) Q heißt stochastische Ringinverse von N Eigenschaften: –Quadratisch –Symmetrisch –Singulär –x=Qn –tr Q = min –tr Q = tr [N(NN) -1 ]

11 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Pragmatische Lösung Höhennetz Problem: Datumsdefekt 1, Netz kann beliebig entlang der z-Achse verschoben werden Lösung: Festhalten eines Punktes Frage: Welchen Punkt festhalten? Unterschiedliche Resultate! Weitere Lösungen: zusätzliche Bedingung –Für die Punkthöhen z.B. Mittlere Höhe gleich Null –Für die Zuschläge zu den Näherungswerten z.B. Summe der Zuschläge Null (aus x T x = min)

12 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Allgemeine Lösung Singuläre Matrix um den Eigenvektor zum Eigenwert =0 ergänzen n-facher Eigenwert – n Vektoren Berechnung: Spektralzerlegung Funktioniert auch, wenn Datumsdefekt nicht bekannt Nicht anwendbar bei singulärer Kofaktor- matrix

13 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Geometrische Interpretation 2D-Netz: Netz kann gedreht, skaliert und in 2 Richtungen verschoben werden – 4 Datumsparameter 3D-Netz: Netz kann um 3 Achsen gedreht, skliert und in 3 Richtungen verschoben werden – 7 Datumsparameter

14 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Datumsdefekte/freie Parameter Dim.Netztypmax. Anzahl d. Datumsdefekte freie Datumsparameter 1DHöhennetz Schwerenetz 1Translation z 2DLagenetz4Transl. x,y Rotation z Maßstab 3D3D-Netz7Translation x, y, z Rotation x, y, z Maßstab

15 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Datumsbestimmende Anteile von Beobachtungen Elimination von Datumsparametern durch geeignete Beobachtungen –Maßstab – Strecke –Rotation um z – Azimut –Rotationen um x und y bei 3D-Netzen – Zenitdistanzen –Translationen – GPS Problem: Willkürliche Festlegung!

16 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Datumsfreies Konzept Relative Beobachtungen: datumsfrei Beobachtungen mit absolutem Bezug: datumsbestimmende Informationen Problem: Wie weit kann der datums- bestimmende Anteil verwendet werden?

17 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Datumsbestimmende Anteile MessgrößeDatumsbestimmende Information StreckenMaßstab des Netzes AzimuteOrientierung um z-Achse Mind. 2 ZenitdistanzenRotation um x- und y-Achse HöhendifferenzenMaßstab der Höhen GPS-Koordinaten für mind. 2 Punkte 3 Translationen, 3 Rotationen, Maßstab GPS-Koordinatendifferenzen für mind. 2 Punkte 3 Rotationen, Maßstab

18 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Zusatzparameter Bisherige Behandlung: Verwendung des datumsbestimmenden Anteiles für die Datumsfestlegung Frage: Wie kann der datumsbestimmende Anteil eliminiert werden? Lösung: Einführen von Zusatzparametern Dadurch wird die ursprüngliche Bewegungsfreiheit wiederhergestellt Auch möglich: Nur einen Teil freigeben

19 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Typische Zusatzparameter Strecken: Maßstab als ( 1 + m ) Azimut: Gemeinsame Orientierung für alle Azimute (oder getrennt nach Geräten) GPS-Datensätze: 4-Parameter- Transformation für den gesamten Koordinatensatz

20 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil GPS-Beobachtungen XYZ-Koordinaten geozentrisch müssen umgewandelt werden –Transformation über bekannte Parameter –Lokale Transformationsparameter über Passpunkte Nichtlineare Verbesserungsgleichungen für 2D- Fall mit Parametern Translationen in x und y, Rotation und Maßstab (Niemeier 2002)

21 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Standardverfahren Zwangsfreie Lagerung Freie Ausgleichung Gezwängte Ausgleichung (auch: hierarchische Ausgleichung)

22 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Zwangsfreie Lagerung (1) Datumsdefekt d d geeignete Koordinaten festgehalten Entsprechende Spalten in A gestrichen Zeilen/Spalten in Q xx fallen weg Keine Varianzinformation für gestrichene Koordinaten, daher zero-variance computational base Nicht alle Kombinationen löst Rangdefizit

23 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Zwangsfreie Lagerung (2) Datum festgelegt durch Datumspunkte Varianz der berechneten Punkte hängt von der Wahl der Datumspunkte ab! Auswahl der Datumspunkte muss sorgfältig geschehen!

24 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Freie Ausgleichung Innere Geometrie soll durch die Lagerung nicht beeinflusst werden Datumspunkte sollen an der Ausgleichung teilnehmen Varianzen für Datumspunkte Ansatz: Bedingungen für Unbekannten- zuschläge einführen

25 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Lagenetz (1) Datumsdefekt 4 Bedingung x T x = min Ableiten und Null setzen: Einschwimmen auf Näherungskoordinaten

26 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Lagenetz (2) Bedingungen zwischen Unbekannten dargestellt als Bedingungsmatrix Parameter in Reihenfolge y, x Widerspruch Anfangs Null

27 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Lagenetz (3) Erweitertes Normalgleichungssystem Rechnung wie bei Ausgleichung vermit- telnder Beobachtungen mit Bedingungen Auflösung liefert

28 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Lagenetz (4) Anzahl der Freiheitsgrade: n – u + d Varianz der Gewichtseinheit a posteriori: Das Verfahren heißt auch: Ränderung mit Ränderungsmatrix G G : Eigenvektoren zum d-fachen Eigenwert =0 von N Spektralzerlegung

29 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil 3D-Netz

30 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Gesamtspurminimierung Erstellung einer Ränderungsmatrix G Koordinaten in Abhängigkeit von allen teilnehmenden Unbekannten berechnet G muss das Rangdefizit ausgleichen Varianzinformation für alle Unbekannten Resultierende Genauigkeit ist innere Genauigkeit

31 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Teilspurminimierung Bedingungen wie bei Gesamtspurminimierung Nicht alle Punkte in den Bedingungen berücksichtigt Anwendungsfälle: –Verdichtung, auf übergeordneten Punkten gelagert –Unterschiedliche Qualität von Näherungskoordinaten Grundmodell: G i = E i G mit Auswahlmatrix E i

32 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Gezwängte Ausgleichung Übergeordnete Punkte mit festen Koordinaten z.B. EP-Netz in KT-Feld Auch: Ausgleichung unter Anschlusszwang Formal wie zwangsfreie Ausgleichung Innere Geometrie wird verzerrt, Spannungen werden übertragen Keine Genauigkeit für Anschlusspunkte Genauigkeitsmaße von der Wahl der Festpunkte abhängig

33 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil S-Transformation (1) Similarity Transformation = differentielle Helmert-Transformation für Parameter und Kovarianzmatrizen (Baarda, 1973) Bisher: Festlegung von Datum i durch Einführung von d Gleichungen Erweitertes Normalgleichungssystem:

34 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil S-Transformation (2) Lösungsvektor: mit Dabei stammt Q i aus der Gesamtinversion des erweiterten Systems Index i weil spezielle Lösung abhängig von gewähltem Datum Lösungsvektor und Kofaktormatrix sind datumsabhängig

35 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil S-Transformation (3) Multiplikation der Normalgleichungsmatrix mit ihrer Inversen ergibt die Einheitsmatrix Einzelprodukte ergeben

36 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil S-Transformation (4) Eigenvektoren von Nx=n in orthonormaler ( u, d )-Eigenvektormatrix E Es gilt AE=0, E T A T =0 Nun von links mit E T multipliziert: Also:

37 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil S-Transformation (5) Bedingungsmatrix G i besteht aus d linear unabhängigen Zeilen Zusätzlich linear unabhängig von Design- matrix A (beheben Datumsdefekt!) Somit G i und E im selben Vektorraum und E T G i ist regulär, also

38 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil S-Transformation (6) Eingesetzt in ursprüngliche Gleichung gibt Einfache Umformungen liefern Transponierte Form dieser Matrix wird als S i - Matrix bezeichnet

39 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil S-Transformation (7) Andere Datumsfestlegung k: Q k, G k Q k mit S -Matrix von links und rechts multipliziert liefert Q k ist eine beliebige verallgemeinerte Inverse von N, daher gilt NQ k N=N Somit ist jederzeit ein Datumswechsel möglich

40 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil S-Transformation (8) Transformation des Lösungsvektors: von links mit Q i multipliziert liefert Dabei ist x ein beliebiger Lösungsvektor – auch der vom Datum k ist möglich, daher

41 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil S-Transformation (9) Transformation der Lösung ( x k,Q k ) im Datum k auf Datum i erfolgt über Somit kann a priori festgelegtes Datum geändert werden ohne neu auszugleichen

42 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Abschließende Bemerkungen Weiche Lagerung Netze in der Landesvermessung

43 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Weiche Lagerung (1) Verwendung stochastischer Vor- information über Anschlusspunkte Gruppierung in Neu- und Anschlusspunkte Zusätzlich soll gelten Zusammen ergibt sich

44 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Weiche Lagerung (2) Beobachtungsvektor l A enthält die Koordinaten der Anschlusspunkte als Beobachtungen Reguläres Problem, wenn Anzahl der ein- geführten Koordinaten größer als Rang- defizit und Koordinaten lösen Rangdefizit Kovarianzinformation AA for l A Stochastisches Modell:

45 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Weiche Lagerung (3) Minimumsforderung v T Pv angewendet auf gesamten Verbesserungsvektor gibt Hybride Minimumsforderung Änderung der Netzgeometrie! Über unterschiedliche Varianzen der Gewichtseinheit für AA und ll Steuerungsinstrument für Einpassung von GPS-Beobachtungen

46 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Netze der Landesvermessung (1) Früher: Triangulationen mit wenigen Strecken (Invardraht-Basen) Weiträumiges Netz, dann verfeinert (Kataster-Triangulierung I. – V. Ordnung) Nicht komplett streng ausgeglichen, daher Klaffungen (auch wegen Punktver- schiebungen und Genauigkeitssteigerung bei Messgeräten) Art der Ausgleichung: Bedingt!

47 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Netze der Landesvermessung (2) Problem: Erde ist nicht stabil Untersuchung des BEV in Vorarlberg : 7% der untersuchten Festpunkte bewegen sich Was bedeutet das für die abgeleiteten Daten? Wie geht man sinnvoller Weise bei der Homogenisierung vor? Noch keine Antworten – Themen für weitere Arbeiten


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