Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Ausgleichungsrechnung Einleitung Stochastisches Modell a priori Ausgleichungsverfahren Stochastisches Modell.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Ausgleichungsrechnung Einleitung Stochastisches Modell a priori Ausgleichungsverfahren Stochastisches Modell."—  Präsentation transkript:

1 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Ausgleichungsrechnung Einleitung Stochastisches Modell a priori Ausgleichungsverfahren Stochastisches Modell a posteriori

2 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Ziele Kontrolle: Aufdecken von (groben) Fehlern Plausibilität: Wahrscheinlichste Schätzwerte für die wahren Werte der Unbekannten bzw. Messwerte Qualität: Angabe von Standardabweichungen für die Unbekannten und Messwerte

3 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Verteilung zufälliger Messabweichungen (1) Lambert: Theorie der Zuverlässigkeit der Beobachtungen und Versuche –zufällige Abweichungen gleicher Größe nach beiden Seiten möglich –geringe Abweichungen häufiger als große –Kurve mit Wahrscheinlichkeit der Abweichungen ist symmetrisch Abweichung Null hat höchste Wahrscheinlichkeit Wendepunkt auf beiden Seiten beidseitig asymptotische Annäherung an Null Weitere Untersuchung durch Gauß Normalverteilung

4 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Verteilung zufälliger Messabweichungen (2) Bedingung: oder in Matrizenschreibweise Gewichte p i umgekehrt proportional zu den Varianzen

5 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Stochastisches Modell a priori Die Gewichtsmatrix Beschreibung der stochastischen Zusammenhänge in einem Zufallsvektor: Kovarianzmatrix Für einen Beobachtungsvektor: –Hauptdiagonale: Varianz der Beobachtung –Außerhalb der Hauptdiagonale: Kovarianz oder Null wenn stochastisch unabhängig Bezeichnet mit LL

6 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Festlegung von Gewichten (1) Gewichtung der Verbesserungen umgekehrt proportional zu den Varianzen Oft nur relative Genauigkeiten vorhanden Wir wählen Bezugsvarianz: Varianz der Gewichtseinheit a priori oder Varianzfaktor Kofaktormatrix

7 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Festlegung von Gewichten (2) Elemente der Kofaktormatrix: Kofaktoren oder Gewichtsreziproke Gewichtung ist umgekehrt proportional zu den Varianzen bzw. Kofaktoren, also Inversion der Matrix Festlegung geschieht vor der Messung a priori Varianzen Varianz der Gewichtseinheit a priori stochastisches Modell a priori

8 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Funktionales Modell (1) n Beobachtungen L um u Unbekannte X (Parametervektor) zu bestimmen Realisierungen L 1, … L n sind Näherungen des wahren Wertes Wir geben Schätzwert für den wahren Wert an: Ausgeglichene Beobachtungen Auch Parametervektor hat wahren Wert

9 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Funktionales Modell (2) Oft Parameter näherungsweise bekannt: Genäherter Parametervektor X 0 Differenz ausgeglichener – genäherter Parametervektor: gekürzter Parameter- vektor x Funktionaler Zusammenhang: r Funktionen 1, … r mit den Parametern L und X

10 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Beziehungen (ursprüngliches) funktionales Modell Widerspruchsvektor genäherter Beobachtungsvektor gekürzter Beobachtungsvektor gemessen minus gerechnet

11 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Linearisiertes funktionales Modell Funktionen 1, … r von beliebigem Typ Annahme: x und v klein gegenüber X 0 und L Linearisierung über Taylor-Entwicklung

12 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Jacobi-Matrix Modellmatrix (Designmatrix) A Matrix B

13 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Funktionales Modell

14 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Allgemeine Auflösung (1) Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen Lösung mit Lagrangeschen Vektoren Partielle Ableitungen bilden und gleich Null setzen

15 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Allgemeine Auflösung (2) Ableitung nach v : Gleich Null setzen:

16 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Allgemeine Auflösung (3) Ableitung nach x analog und es ergibt sich:

17 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Allgemeine Auflösung (4) Gemeinsames Gleichungssystem: Auflösung durch Inversion: Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung Ausgleichung bedingter Beobachtungen mit Unbekannten

18 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Hauptprobe Annahme war, dass x und v klein gegen- über X 0 und L sind Annahme muss überprüft werden! Einsetzen in ursprüngliches (nicht linearisiertes) Gleichungssystem Wenn nicht genügend genau erfüllt? –Näherungswerte nicht gut genug –Funktionales Modell fehlerhaft –Rechenfehler Iteration Neu aufstellen Geprüfte Programme verwenden

19 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

20 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Fehler im funktionalen Modell Hauptprobe zeigt Fehler im funktionalen Modell an Kandidat für Fehler ist die Funktion, bei der die Hauptprobe nicht aufgeht z.B. 3. Gleichung geht nicht auf – möglicherweise 3. Zeile der A -Matrix oder 3. Element des w -Vektors fehlerhaft

21 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Iterative Ausgleichung Ergebnis der Ausgleichung als Näherung für eine neuerliche Ausgleichung verwendet L, LL und B bleiben erhalten A und w werden neu berechnet (hier kommen die Näherungswerte der Unbekannten vor) Iteration so lange, bis Hauptprobe aufgeht Iteration muss nicht konvergieren!

22 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Sonderfälle 1.In jeder Gleichung i kommt jeweils nur eine Beobachtung vor: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen 2.Es treten keine unbekannten Parameter auf, die Gleichungen i beschreiben nur den funktionalen Zusammenhang der Beobachtungen: Ausgleichung bedingter Beobachtungen 3.In n Gleichungen tritt jeweils nur eine Beobachtung auf und in den übrigen r-n Gleichungen treten nur Unbekannte auf: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen

23 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen Pro Gleichung nur eine Beobachtung Gleichungen explizit nach L i auflösbar n Messgrößen, r=n Gleichungen, u Unbekannte Überschüssige Beobachtungen: n fv =n-u Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz)

24 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Art des Problems Unterscheidung über die Redundanz: Redundanz < 0: unterbestimmt, nicht eindeutig lösbar Redundanz = 0: Problem eindeutig lösbar Redundanz > 0: Ausgleichungsaufgabe

25 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Funktionales Modell Taylorentwicklung: B = – I Modellmatrix A wie bisher weiters: bzw. Verbesserungsgleichung

26 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Gewichtsmatrix Anwendung des Varianzfortpflanzungs- gesetzes auf gibt für die Kovarianzmatrix des gekürzten Beobachtungsvektors: Die Kofaktormatrix ergibt sich somit zu Somit erhalten wir dieselbe Gewichts- matrix P wie bisher.

27 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Lösung Das Gleichungssystem vereinfacht sich zu Die Auflösung ergibt Normalgleichungsmatrix Verbesserungen: Ausgeglichene Beobachtungen: Normalgleichung

28 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Hauptprobe Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen und ausgeglichenen Parameter das ursprüngliche funktionale Modell? Einsetzen in

29 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Sonderfall: Lineare Verbesserungsgleichungen z.B. Koordinatendifferenzen (Nivellement) Verbesserungsgleichungen sind linear Keine Linearisierung notwendig Keine Näherungswerte für die Parameter notwendig (oft trotzdem aus numerischen Gründen verwendet – kleine Werte in x und l ) Hauptprobe: Nur aufgestelltes Modell und Rechnung können falsch sein

30 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Sonderfall: Ausgleichung direkter Beobachtungen z.B. Ausgleichung direkt und mehrfach gemes- sener Größen (Strecke) A -Matrix ist ein 1-Vektor Auflösung: Gewichtsmatrix Einheitsmatrix: einfaches arithmetisches Mittel Gewichtsmatrix Diagonalmatrix: gewogenes arithmetisches Mittel Sonst: allgemeines arithmetisches Mittel

31 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Ausgleichung bedingter Beobachtungen Keine unbekannten Parameter n Beobachtungen sollen so verbessert werden, dass sie r Bedingungen (sind aufzustellen) erfüllen r = n – n 0 mit n 0 = Anzahl der notwendigen Beobachtungen für eine eindeutige Lösung n fb =r Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz) Das Problem vereinfacht sich zu

32 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Funktionales Modell Widerspruchsvektor: Ableitungen nach X alle Null, somit A - Matrix eine Nullmatrix, also Korrelaten: Verbesserungen: Normalgleichungsmatrix der bedingten Ausgleichung:

33 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Hauptprobe Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen das ursprüngliche funktionale Modell? Einsetzen in

34 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Ausgleichung vermittelnder Beobacht- ungen mit Bedingungsgleichungen Pro Gleichung nur eine Beobachtung Zusätzlich Bedingungen zwischen den Unbekannten n Beobachtungen, u Unbekannte, r Bedingungen n fvb = n – u + n b Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz)

35 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Lösungsansätze Elimination von Unbekannten: r Unbe- kannte werden mit Hilfe der Bedingungen eliminiert Strenge Lösung: Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen Fiktive Beobachtungen: Bedingungen werden als (fiktive) Beobachtungen mit großem Gewicht eingeführt

36 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Wann Ausgleichungsproblem? n fvb = n – u + n b Ausgleichungsproblem, wenn n fvb > 0 Somit: n + n b > u Die Summe aus Beobachtungen und Bedingungen muss größer als die Anzahl der Unbekannten sein

37 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Funktionales Modell Funktionales Modell der vermittelnden Ausgleichung und die Bedingungen Getrennte Betrachtung der beiden Teile: Beobachtungen Bedingungen Keine Bedingungen zwischen den Beobachtungen B ist eine Nullmatrix

38 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Lösung (1) Methode von Langrange: Differenziert und gleich Null gesetzt: Einsetzen von gibt

39 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Lösung (2) 1. Gleichung: Kombiniert mit 2. Gleichung:

40 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Hauptprobe Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen und ausgeglichenen Parameter das ursprüngliche funktionale Modell? Erfüllen die ausgeglichenen Parameter die Bedingungen? Einsetzen in

41 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Ausgleichung bedingter Beobacht- ungen mit Unbekannten Entspricht dem Allgemeinfall der Aus- gleichungsrechnung n Beobachtungen, n 0 Beobachtungen zur eindeutigen Lösung notwendig, u Unbekannte Anzahl der aufzustellenden Bedingungen: r = (n – n 0 ) + u = n fa + u Lösung: siehe Allgemeinfall

42 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Stochastisches Modell a posteriori a posteriori: nach der Ausgleichung Beim stochastischen Modell a priori Ausgangspunkt Kovarianzmatrix, aber schließlich verwendet die Kofaktormatrix Kovarianzfortpflanzungsgesetz ange- wendet auf Gleichungssystem f = Fx gibt Kofaktorfortpflanzungsgesetz

43 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (1) gekürzter Beobachtungsvektor: Ausgeglichene Beobachtungen aus Somit gilt: Nun können wir l, x, l und v als Funktion von l ausdrücken.

44 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (2) Das Kofaktorfortpflanzungsgesetz liefert: Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale

45 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (3) Und weiters: Grund: Unterscheiden sich nur durch konstante Faktoren

46 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Probe Gewichtsreziprokenprobe nach Ansermet Die Summe der Hauptdiagonalglieder der Produktmatrix muss gleich der Anzahl der Unbekannten sein

47 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der bedingten Ausgleichung Das Kovarianzfortpflanzungsgesetz liefert: Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale

48 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnde Ausgleichung mit Bed. Interessante Kofaktormatrizen direkt aus der invertierten Normalgleichungsmatrix: Und weiters:

49 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der bed. Ausgleichung mit Unbekannten Interessante Kofaktormatrizen direkt aus der invertierten Normalgleichungsmatrix: Und weiters:

50 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Varianz der Gewichtseinheit a posteriori (1) Im stochastischen Modell 0 2 herausge- hoben und die Kofaktormatrix Q erhalten Somit Übergang auf relative Genauigkeits- angaben (ausreichend für Gewichtung) Ausgleichung liefert Kofaktormatrizen für ausgeglichene Parameter etc. Gesucht: Kovarianzmatrizen Multiplikation mit Varianz der Gewichts- einheit a posteriori

51 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Varianz der Gewichtseinheit a posteriori (2) Parameter aus den empirischen Beobachtungen bestimmt auch Varianz der Gewichtseinheit a posteriori empirisch bestimmt Definition der Varianz: Quadratsumme der Verbesserungen durch Anzahl der Freiheitsgrade

52 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Varianzen, Kovarianzen und Standardabweichungen Aus Kofaktormatrizen durch Multiplikation mit der Varianz der Gewichtseinheit a posteriori z.B. Varianz einer Funktion

53 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Zusammenfassung Lösung überbestimmter Probleme durch Einführen einer Bedingung: v T v min Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung Sonderfälle bedingte/vermittelnde Ausgleichung –vermittelnd: einfach zu automatisieren, oft aufwändige Rechnung –bedingt: schwer aufzustellen, einfach zu rechnen


Herunterladen ppt "Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Ausgleichungsrechnung Einleitung Stochastisches Modell a priori Ausgleichungsverfahren Stochastisches Modell."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen