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Physikalische Messgrößen. s = 26,673945.. mm Messen = Zählen von Einheiten Einheit = 1 mm s = 26,673... x 1 mm physikalische Größe = Maßzahl x Maßeinheit.

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Präsentation zum Thema: "Physikalische Messgrößen. s = 26,673945.. mm Messen = Zählen von Einheiten Einheit = 1 mm s = 26,673... x 1 mm physikalische Größe = Maßzahl x Maßeinheit."—  Präsentation transkript:

1 Physikalische Messgrößen

2 s = 26, mm Messen = Zählen von Einheiten Einheit = 1 mm s = 26, x 1 mm physikalische Größe = Maßzahl x Maßeinheit (Produkt gem. DIN 1313)

3 Länge 9,1 cm 9,2 cm 8,9 cm 9,0 cm : cm

4 Länge 9,1 cm 9,2 cm 8,9 cm 9,0 cm Länge / cm 9,1 9,2 8,9 9,0 : cm

5 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s Zeit 80m 60m 40m 20m 0m

6

7 s = 26, mm Messwert = Schätzwert 26 mm < s < 27 mm Angabe der Fehlergrenzen (Messabweichung, …) s = 26,5 mm ± 0,5 mm

8 s = 26, mm s = 27,5 mm ± 2,5 mm Genauigkeit hängt vom Messgerät ab: hier ist

9 s = 26, mm s = 27,5 mm ± 2,5 mm (absoluter Fehler) Schreibweisen für Messwerte (Beispiele) : s = (27,5 ± 2,5) mm (kompakter) s = 27,5 mm ± 10 % (gängig aber illegal) s = 27,5 (1 ± 0,1) mm (relativer Fehler) s = x ± x x = phys. Größe (allgemein) Die Angabe eines Messwertes ohne Fehlergrenzen ist verboten !

10 t = 68, s ± 0,5 s Numerische Angabe von Messwerten : t = 89, s ± 0, s

11 Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes systematische Fehler –bei jeder Wiederholungsmessung (bei identischem Aufbau und Messverfahren) gleich in Vorzeichen und Betrag zufällige Fehler –statistischer Fehler, von Messung zu Messung unterschiedlich

12 Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Beispiel: Messung der Schallgeschwindigkeit aus Weg und Laufzeit Weg: Abstand s zwischen 2 Begrenzungspfosten: 50 m Zeit: Laufzeit t eines Knalls, t = 0,154 s Ergebnis: v = s / t = 50 m / 0,154 s = 324,7 m/s

13 Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Fehler des Messgerätes –Nullpunktfehler –Maßstabs- und Linearitätsfehler Fehler des Messverfahrens –z.B. Rückwirkung des Messgerätes verborgene Parameter –Temperatur, Druck,... –elektrische und magnetische Störfelder –Verunreinigung von Substanzen Ursachen für systematische Fehler

14 Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Systematische Fehler im Beispiel: Weg: Abstand zwischen Begrenzungspfosten Zeit: falsch kalibrierte Uhr elektrische Signallaufzeit sonstige Fehlermöglichkeiten: Luftdruck, Lufttemperatur, Feuchtigkeit

15 Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes systematische Fehler sind schwer zu erkennen, hier hilft nur: vermeiden –anderes Messgerät –anderes Messverfahren –Kalibration des Messaufbaus abschätzen –Eigenschaften der Messgeräte –Analyse möglicher Einflüsse Umgang mit systematischen Fehlern

16 Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes individuelle Fehler –Interpolationsfehler –Reaktionszeiten –Parallaxenfehler statistische äußere Einflüsse –elektronisches Rauschen –Erschütterungen –Probleme beim Messgerät (Reibung, toter Gang, Hysterese,...) –usw. usw. Ursachen für zufällige Fehler

17 Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Zufällige Fehler im Beispiel: Weg: –Erdbeben Zeit: –Ungenauigkeit bei der Feststellung des Zeitpunktes –Windböen

18 Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes bei Wiederholungsmessungen an Streuung der Messwerte zu erkennen i.A. nach Gauss-Funktion verteilt –Abweichung symmetrisch nach beiden Seiten –größere Abweichungen mit geringerer Wahrscheinlichkeit Fehlergrenzen aus Messwerten mit statistischen Methoden zu ermitteln Eigenschaften zufälliger Fehler

19 Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes systematische Fehler bestimmen zufällige Fehler bestimmen Gesamtfehler = Summe der Fehlerbeiträge Bestimmung des Gesamtfehlers

20 Fehlerfortpflanzung

21 Vorgehen bei naturwissenschaftlichen Messungen In der Regel ist das gesuchte Ergebnis m einer Messung eine Funktion einer oder mehrerer (Mess-) Größen x 1, x 2, x 3,... m = f (x 1, x 2, x 3,...) Die jeweiligen Fehlergrenzen bzw. Vertrauensbereiche der beteiligten Größen x 1, x 2, x 3,... seien bekannt. Dabei gilt generell die Annahme, dass die Fehler relativ klein sind : Fehlerfortpflanzung - Grundlagen

22 Vorgehen bei naturwissenschaftlichen Messungen Im allgemeinen Fall kann man (bei kleinen Fehlern) den Fehler der Funktion m = f (x 1, x 2,..) aus dem totalen Differential gewinnen. Man erhält damit für den maximalen Fehler Fehlerfortpflanzung - allgemeiner Fall

23 Vorgehen bei naturwissenschaftlichen Messungen Häufig sind die verschiedenen beteiligten Größen mit ihren Fehlern voneinander unabhängig, so dass sich verschiedene Fehlerbeiträge mit verschiedenen Vorzeichen gegenseitig teilweise kompensieren. In diesem Fall ersetzt man die Betragssumme durch eine geometrische Summe der Beiträge und erhält den wahrscheinlichen Fehler: Fehlerfortpflanzung - wahrscheinlicher Fehler

24 Vorgehen bei naturwissenschaftlichen Messungen Ist die Funktion m = f (x 1, x 2,..) eine einfache (gewichtete) Summe m = k 1 x 1 + k 2 x 2 + k 3 x so erhält man den Größtfehler einfach als Betragssumme der einzelnen Beiträge: m = |k 1 x 1 | + |k 2 x 2 | + |k 3 x 3 | +... und den wahrscheinlichen Fehler als entsprechende geometrische Summe Fehlerfortpflanzung - Sonderfälle - Summe

25 Vorgehen bei naturwissenschaftlichen Messungen Ist die Funktion m = f (x 1, x 2,..) als Produkt darstellbar so erhält man (durch logarithmisches Differenzieren) für den relativen Fehler des Ergebnisses die gewichtete Summe der einzelnen Relativfehler : Fehlerfortpflanzung - Sonderfälle - Produkt

26 Vorgehen bei naturwissenschaftlichen Messungen Beispiel: Die Masse m, der Weg s und die Zeit t für einen gleichförmig bewegten Körper wurden gemessen und die jeweiligen Fehlergrenzen bzw. Vertrauensbereiche m, s, t ermittelt. Für die kinetische Energie des Körpers gilt: Dann ist der relative Fehler des Ergebnisses: Fehlerfortpflanzung - Sonderfälle - Produkt

27 Statistik

28 Der wahre Wert wird von zufälligen Fehlern überlagert Die Abweichungen sind in der Regel Gauss-verteilt Berücksichtigung zufälliger Fehler

29 Eigenschaften zufälliger Fehler Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Das Maximum der Verteilung (die Stelle x = ) ist der wahre Wert der Messgröße (Erwartungswert) ist die mittlere Abweichung der Messwerte vom wahren Wert (Standardabweichung) ca. 68% der Messwerte liegen im Bereich x = ± ca. 95% der Messwerte liegen im Bereich x = ± 2 ca. 99,7% der Messwerte liegen im Bereich x = ± 3 aber: eine absolute Fehlergrenze gibt es nicht !

30 Eigenschaften zufälliger Fehler Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Statt der Fehlergrenzen des einzelnen Messwertes gibt es Angaben der Form: Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 68% liegt der wahre Wert im Bereich = x ± usw. als Fehlergrenze für einen einzelnen Wert wird i.A. also in Abhängigkeit von der gewünschten Wahrscheinlichkeit p (=Aussagesicherheit) der Bereich x = k(p) angegeben Dabei ist für p = 68% : k = 1 95% : k = 2 usw.

31 Statistische Datenanalyse Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Der wahre Wert der Messgröße könnte nur exakt ermittelt werden, wenn unendlich viele Messungen gemacht würden. Im realen Fall verwendet man den arithmetischen Mittelwert m der N Einzelmessungen als optimalen Schätzwert für den wahren Wert Die einzelnen Messwerte x i müssen dabei unter identischen Bedingungen unabhängig voneinander gewonnen sein

32 Statistische Datenanalyse Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Bei einer endlichen Anzahl von Messungen kann natürlich auch die Standardabweichung nur geschätzt werden. Als Schätzwert verwendet man die Streuung S (empirische Standardabweichung):

33 Statistische Datenanalyse Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Der Mittelwert m und die Streuung S sind ebenfalls nur statistische Größen, sie unterliegen daher selbst einer Unsicherheit (Streuung). Ein Maß für die möglichen Abweichungen des Mittelwertes erhält man aus der Standardabweichung der einzelnen Messwerte. Wäre diese Größe bekannt, so erhielte man für die Streuung der (ebenfalls gaussverteilten) Mittelwerte aus N Einzelmessungen den Wert:

34 Statistische Datenanalyse Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Ersetzt man nun die (nicht messbare) Standardabweichung durch den Schätzwert S, so erhält man für die Streuung des Mittelwertes aus N Einzelmessungen den Schätzwert: Als Fehlergrenze müsste dann in Abhängigkeit von der gewünschten Aussagesicherheit p das k-fache dieses Wertes angegeben werden.

35 Statistische Datenanalyse Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Berücksichtigt man noch die Unsicherheit von S, so erhält man für den Vertrauensbereich (Fehlergrenze) einer Messgröße x Der Wert des Vorfaktors t hängt von der Zahl der Messwerte N und dem gewünschten Signifikanzniveau p (=Aussagesicherheit, z.B. 68% oder 95%) ab. Er wird aus einer Student-t-Tabelle entnommen.

36 Statistische Datenanalyse Bestimmung der Fehlergrenzen eines Messwertes Die Angabe eines Messergebnisses bei Vorliegen von zufälligen Fehlern hat damit immer die Form: mit einer Wahrscheinlichkeit von p%

37 Regressionsanalyse

38 Statistische Datenanalyse Beispiel für lineare Regression Zur Bestimmung des Wertes eines ohmschen Widerstandes wird die Spannung (exakt) variiert und der jeweilige Strom (mit Fehler) gemessen. Ergebnis:

39 Statistische Datenanalyse – lineare Regression An diese (von einem zufälligen Fehler überlagerten) Werte soll eine Gerade der Form angepasst werden. Dazu wird die Summe der quadratischen Abweichungen der Messwerte von dieser allgemeinen Geraden gebildet. Diese Summe muss (nach Gauss) minimiert werden:

40 Statistische Datenanalyse – lineare Regression Das Minimum findet man durch die Bedingung Als Lösung dieses Gleichungssystems erhält man: mit den Abkürzungen und a = ([x²][y] – [x][xy] / D b = (N [xy] – [x][y] / D

41 Statistische Datenanalyse – lineare Regression Damit erhält man in unserem Beispiel die Ausgleichsgerade mit den Parametern: a = 5,63 mA und b = 0,861 mA/V

42 Statistische Datenanalyse – lineare Regression Um die Streuungen S a und S b dieser Parameter abzuschätzen, verwendet man den Zusammenhang Dazu muss natürlich zuerst die Summe der Fehlerquadrate berechnet werden:

43 Statistische Datenanalyse – lineare Regression Für die Streuung S b der Steigung erhält man also z.B.: Um den Vertrauensbereich zu erhalten, muss bei wenigen (<30) Werten noch der Student-t-Faktor (für die gewünschte Aussagesicherheit p und N-2 Freiheitsgrade berücksichtigt werden:

44 Statistische Datenanalyse – lineare Regression In unserem Beispiel erhält man S b = 0,052 Der Student-t-Faktor für p = 95% und N = 12 ist t (0,95;10) = 2,228 Damit ist die Steigung b = (0,86 ± 0,16) mA/V Nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung erhält man für den Vertrauensbereich des gesuchten Widerstands R (= 1/b) : und daraus das Versuchsergebnis: R = (1160 ± 220) für p = 95%

45 Statistische Datenanalyse – lineare Regression Voraussetzung für diese Form der linearen Regression ist streng genommen die Bedingung, dass nur Fehler in der Variablen y auftreten. Sind die Verhältnisse umgekehrt, so wählt man eine Auftragung mit vertauschten Koordinaten. Praktisch muss erfüllt sein:


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