Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik? Brenning & van den Boogaart A.Brenning, Humboldt-Universität zu Berlin

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1 Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik? Brenning & van den Boogaart A.Brenning, Humboldt-Universität zu Berlin alexander.brenning@rz.hu-berlin.de & K. G. van den Boogaart, TU Freiberg

2 Einführung Räumliche Statistik: Geostatistik, Räumliche Punktprozesse, Statistik für zufällige Mengen,... Geostatistik: Statistik für skalare räumliche Daten (2D, 3D, n D) Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik? Brenning & van den Boogaart Anwendungen in Umweltwissenschaften, Bergbau, Materialwissenschaften,...

3 Geostatistik Statistik für skalare räumliche Daten Messwert = Realisierung einer Zufallsvariable Räumliche Abhängigkeiten: Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik? Brenning & van den Boogaart Z(s i )(ω) = z i C(s,t) := Cov(Z(s), Z(t)) (Kovariogramm) (Z(s)) s є D

4 Motivation Messwerte hängen von anderen Umweltvariablen ab. D.h.: Die Umwelt ist nicht stationär. Wie kann ich flächenhaft bekannte Umweltvariablen für die Interpolation (Kriging) der punktuellen Messwerte nutzen? GIS-Kopplung ist nötig, um diese Umweltvariablen zu nutzen! Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik? Brenning & van den Boogaart

5 Stationarität 2. Ordnung Der Erwartungswert E ist konstant auf D. Das Kovariogramm C hängt nur von t -s ab (und nicht von t oder s selbst). Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik? Brenning & van den Boogaart E(Z(s)) = konstant C(s,t) = C(t-s)

6 Instationarität (I): Modell mit Trend Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik? Brenning & van den Boogaart E(Z(x 1 )) = E(Z(x 2 )) = E(Z(x 3 )) = konst. E(Z(x i )) = b T f(x i ) + e(x i ) Instationarität Stationarität des Erwartungswerts linearer Trend (deterministisch) zufällige Schwankung Vgl. Goovaerts (1997); van den Boogaart & Brenning (2001)

7 Instationarität (II) Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik? Brenning & van den Boogaart Instationarität Stationarität des Kovariogramms Diesen Fall betrachten wir hier. C(x 1, x 2 ) = C(x 1 +h, x 2 +h)

8 Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik? Brenning & van den Boogaart Gebirge: kleinräumige Variabilität Vorland: glatt (Übergangsbereich)

9 Instationarität (III): Lokale Anisotropien Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik? Brenning & van den Boogaart Anisotropie Isotropie des Kovariogramms Auch diesen Fall betrachten wir hier – und viele andere. C(x, x 1 ) = C(x, x 2 ) = C(x, x 3 )

10 Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik? Brenning & van den Boogaart

11 Generische Stationarität Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik? Brenning & van den Boogaart Idee: Der Einfluss der Umwelt auf das Kovariogramm ist invariant !

12 Eine Konstruktionsmethode ohne Stationaritätsannahmen Die Faltung einer geeigneten Gewichtsfunktion w ist ein Kovariogramm. (Es ist sogar generisch stationär.) Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik? Brenning & van den Boogaart Brenning & van den Boogaart (2001)

13 Implementierung R (open-source Datenanalyse- Sprache) C (für numerische Integration, nichtlineare Optimierung) AVENUE (für ArcView-Anbindung) Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik? Brenning & van den Boogaart

14 Ein simuliertes Beispiel (I) Annahme lokal anisotroper Umwelt- verhältnisse und Kovariogramme Stochastische Simulation von 259 Werten eines generisch stationären Zufallsfeldes Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik? Brenning & van den Boogaart

15 Ein simuliertes Beispiel (II): Kriging-Ergebnisse Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik? Brenning & van den Boogaart mit Stationaritätohne Stationarität

16 Hydrologisch motivierte Modelle Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik? Brenning & van den Boogaart + + + t1t1 s t2t2 C(s, t 1 ) > 0 C(s, t 2 ) = 0 Lokales Einzugsgebiet von s

17 Zusammenfassung Eine Methode zur GIS- basierten instationären geostatistischen Modellierung wurde vorgestellt. Sie führt zu qualitativ besseren Kriging- Ergebnissen als im stationären Fall. Prozesskenntnisse können berücksichtigt werden. Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik? Brenning & van den Boogaart