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Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen M. Kallache, B. Thies, H. Lange Das BMBF-Vorhaben Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer.

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Präsentation zum Thema: "Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen M. Kallache, B. Thies, H. Lange Das BMBF-Vorhaben Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer."—  Präsentation transkript:

1 Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen M. Kallache, B. Thies, H. Lange Das BMBF-Vorhaben Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen Norwegisches Waldforschungsinstitut

2 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Gliederung 1.Einordnung 2.Daten 3.Trend Test unter Berücksichtigung von Autokorrelationen 4.Analyse von Verteilungsinstationaritäten mit dem fensterbasierten, integrierten Kolmogorov- Smirnov Test 5.Ausblick: offeneFragen/Ursachensuche

3 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Einordnung sie relevant für die Analyse von Hochwasserursachen und Abschätzung von Hochwasserrisiken ist sie Indikatioren für die Unterscheidung menschlicher und natürlicher Einflüssen bieten kann viele Zeitreihen-Methoden Stationarität voraussetzen Die Bewertung von Instationaritäten hydrologischer Zeitreihen ist wichtig, da Betrachtete Verteilungs-Instationaritäten

4 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Daten: Donau - D13 Abflußdaten des Einzugsgebietes D13 Normierung: Trendanalyse: - Entfernung des periodischen Jahreszyklus - Mittelwert (0) und Varianz (1) [alle] Kolmogorov-Smirnov Statistik: - Mittelwert (0) und Varianz (1) [fensterweise] monatliche Werte (Trendanalyse) und tägliche Werte (KS-Statistik) gesamte Länge Burghausen Altenmarkt o. d. T. Stein Brodhausen Siegsdorf Wernleiten Staudach Unterjettenberg Ilsank

5 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Trendanalyse unter Berücksichtigung von Autokorrelationen Modellannahmen: Die Zeitreihe Y t sei gegeben durch Y t = T t + X t T t : deterministische Trendkomponente X t : wird durch stochastisches Modell repräsentiert Langzeitkorrelation verursacht ggf. lange Abweichungen vom Mittelwert und lokale Trends (siehe auch Beran (1994)) AR(1) Prozeß mit Parametern =0.3, 2 =1FD( ) Prozeß mit Parametern =0.45, 2 =1

6 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Trendanalyse: Stochastische Modelle Ein Goodness-of-Fit Test (entwickelt durch Milhoj(1981)) testet, ob die empirischen Daten als Realisierung des Modells gelten können finde das einfachste Modell, das am besten zu den Daten paßt Der AIC ( Akaike Information Criterion) vergleicht die Performance von Modellen verschiedener Komplexitätsstufen FARIMA(( 1,.., p ),,( 1,.., q )) (fractional autoregressive integrated moving average) Modelle, die sowohl Lang- als auch Kurzzeitkorrelationen abbilden können Modelle mit wenigen Parametern sind evtl. zu einfach, um die Systemynamik zu reproduzieren viele Parameter erhöhen die Unsicherheit bezüglich der Parameterschätzung

7 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Mit der Diskreten Wavelet Transformierten (DWT) wird die Zeitreihe gesplittet: Y X* + T* X* : Variationen zu kleinen Skalen T* : Variationen zu großen Skalen T* enthält die deterministische Trendkomponente, sowie Variationen von X* zu großen Skalen Trendanalyse: Trendschätzung mit Wavelets

8 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Trendanalyse: Parameterschätzung eine adäquate Schätzung der Parameter ist wichtig für die Wahl des stochastischen Modells und den Trendtest ein starker Trend verzerrt die Parameterschätzung bei Daten mit starker Trendkomponente werden die Parameter exakter auf gefilterten Daten geschätzt – wo Fluktuationen auf großen Skalen mit Wavelet Filtern entfernt wurden durch interatives Vorgehen kann man sich einer exakten Parameterschätzung annähern Whittle Näherung an die Maximum-Likelihood Schätzung zum Bestimmen der Modellparameter

9 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Trendanalyse: Trend Test die Verteilung der Teststatistik wird via Monte Carlo Simulation der Zeitreihe ohne Trend generiert falls der Teststatistikwert von Y t p c(emp) ein Quantil dieser Verteilung zu einem Level überschreitet, wird die Hypothese von keinem Trend zu diesem Level abgelehnt Die Teststatistik erhält man durch Vergleich der Varianz der Zeitreihe selbst mit den stochastischen Variationen auf kleinen Skalen:

10 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen die Varianz des Trend- schätzers hängt ab von der Wahl des stochastischen Modells der Größe der geschätzten Modellparameter Trendanalyse: Varianz des Trendes für stationäre Prozesse kann die Autokovarianzfunktion von X* benutzt werden, um die Varianz des Trend- schätzers zu bestimmen je weiter das Sigmaintervall des Trendschätzers ist, desto seltener wird ein signifikanter Trend gefunden

11 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Trendanalyse: Vor- und Nachteile der Metode Vorteile: Semi-Parametrischer Ansatz Korrelationen werden berücksichtigt lokal polynomer Trenschätzer gibt Hinweis auf die Form des Trendes Test robust auch bei späterem Einsetzen eines Trendes Test robust bei Änderung der Varianz der Zeitreihe Nachteile: Semi-Parametrischer Ansatz Annahmen über die Korrelationsstruktur der Daten mittels eines stochastisches Modells werden getroffen rechenaufwändig durch Monte-Carlo Simulation zur Generierung der Verteilung der Teststatistik

12 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Trendanalyse: Ergebnisse das kurzzeitkorrelierte AR(1) Modell wird vom AIC zumeist als bester Fit gewählt der Langzeitparameter war bei der Betrachtung monatlicher Maxima (im Gegensatz zu monatlichen Durchschnittswerten) eher nötig die Form des Trendschätzers T* enthält oft Segmente des An- und Abstiegs. Es ist davon auszugehen, daß die analysierte Zeitspanne bei Trenduntersuchungen wichtig ist signifikante Trends wurden gefunden für monatliche Maxima: Brodhausen/Sur, Stein/Traun, Wernleiten/RoteTraun, Altenmarkt/Alz (Tendenz: fallend) monatliche Durchschnittswerte: Altenmarkt/Alz (Tendenz: leicht steigend)

13 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Trendanalyse: Konsequenzen für die Praxis die Berücksichtigung der Korrelationsstruktur bedeutet eine Spezialisierung, da sich diese für jeden Datensatz ändern kann der Trendtest wird durch Berücksichtigung der Korrelationsstruktur der Daten verbe.ssert, da diese das Testergebnis beeinflußt durch Einbeziehung der Korrelationsstruktur der Daten wird weniger häufig ein signifikanter deterministischer Trend festgestellt. Dies betrifft insbesondere langzeitkorreliere Abflußdaten (welche zum Beispiel von Lawrence et al. (1977) oder Montanari (1997) gefunden wurden).

14 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Verteilungsinstationaritäten: der fensterbasierte, integrierte Kolmogorov-Smirnov Test Mittelwert 7.75 m³/sMittelwert 8.31 m³/s Siegsdorf / WeißeTraun Fenster AFenster B

15 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Verteilungsinstationaritäten: KS-Test Zeitskalen: 2, 5, 10, 20 und 30 Jahre Verschiebung: um je 1 Jahr Wie stationär ist die Verteilung der Abflusswerte? Gibt es Trends (große Zeitskalen)? Gibt es zyklische Phänomene (kleinere Zeitskalen)?

16 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Verteilungsinstationaritäten: Fensterbasierter integrierter KS-Test Fenster AFenster BKumulative Verteilungen Differenz der kumul. Vert. Maximale Differenz: normale KS-Statistik Mittlerer Unterschied:integrierte KS-Statistik

17 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Verteilungsinstationaritäten: Fensterbasierter integrierter KS-Test Fenster AFenster BKumulative Verteilungen Differenz der kumul. Vert. Maximale Differenz: normale KS-Statistik Mittlerer Unterschied:integrierte KS-Statistik

18 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Verteilungsinstationaritäten: z-Transformation von Verteilungen Fenster AFenster BKumulative Verteilungen Differenz der kumul. Vert. Mittelwert = 0 Std. = 1 Mittelwert = 0 Std. = 1

19 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Verteilungsinstationaritäten: Vor- und Nachteile der Methode Vorteile: keine Datenvor- behandlung nötig hohe Datenmenge unkritisch Lücken bis 20% eines Fensters akzeptabel parameterfrei relativ unempfindlich gegen Ausreißer unabhängig von den getesteten Kumulativen Verteilungen Nachteile: Signifikanzniveaus des konventionellen KS-Tests nicht verwendbar (Voraussetzung: unkorrelierte Daten) MC Simulation nur relative Vergleiche ist sensitiver beim Zentrum als bei den Enden der Verteilung

20 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Verteilungsinstationaritäten: Ergebnisse Siegsdorf/ Weiße Traun 10a Zeitskala: 10 Jahre

21 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Verteilungsinstationaritäten: Ergebnisse Siegsdorf/ Weiße Traun 20a Zeitskala: 20 Jahre

22 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Verteilungsinstationaritäten: Ergebnisse Datenkollektiv D13 20a Zeitskala: 20 Jahre

23 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Verteilungsinstationaritäten: Ergebnisse Datenkollektiv D13 5a Zeitskala: 5 Jahre

24 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Verteilungsinstationaritäten: Ergebnisse Datenkollektiv D13 MW 5a Zeitskala: 5 Jahre

25 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Verteilungsinstationaritäten: Konsequenzen für die Praxis Fakt ist: Stationarität der Werteverteilungen ist oft nicht gegeben Daher: Zusatz-/Ersatzinstrument zu Trendanalysen sinnvoll Ziel: Aufspüren von Instationaritäten Berücksichtigung bei Methoden-Voraussetzungen Charakterisierung von Einzelpegeln/ Einzugsgebieten

26 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Ausblick: offene Fragen /Ursachensuche finden sich Wechsel der Messtechnik in den Werteverteilungen wieder? gibt es räumliche Muster für die Trends und Instationaritäten in den Verteilungen? lassen sich die Trends und synchronen, zyklischen Phänomene mit anthropogenen Einflüssen oder klimatischen Variablen erklären und für eine genauere Risikoabschätzung nutzbar machen? Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

27 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Weitere Blickwinkel /Zusatzfolien Ergebnis für normierte Fenster PCA Verteilungs-Fits & KSSUM Sherman-Statistik

28 München Trendverhalten und Instationarität von Verteilungen Trendanalyse: Power des Trendtests hängt von der Modellwahl und der Größe der Modellparameter ab ist wenig schwächer als die eines Standardtests für Lineare Regression (für lineare Trends) wird nicht signifikant schwächer, wenn der Trend erst in einem späteren Teil der Zeitreihe beginnt ist sensitiv gegenüber Sprüngen in den Daten, also sollten Sprünge vor der Analyse ausgeschlossen werden wird von einer Änderung der Varianz der Zeitreihe nicht betroffen Mittels einer Monte Carlo Studie wurde die Power des Trendtests evaluiert. Sie


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