Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Kapitel 13 Zeitreihen und Zeitreihen-Modelle. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 2 Privater Konsum Privater Konsum, Ö, Mrd.EUR, in Preisen von.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Kapitel 13 Zeitreihen und Zeitreihen-Modelle. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 2 Privater Konsum Privater Konsum, Ö, Mrd.EUR, in Preisen von."—  Präsentation transkript:

1 Kapitel 13 Zeitreihen und Zeitreihen-Modelle

2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 2 Privater Konsum Privater Konsum, Ö, Mrd.EUR, in Preisen von 1995

3 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 3 Privater Konsum, Forts. Änderung des Privaten Konsums, Mrd.EUR, in Preisen von 1995

4 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 4 Persönlich verfügbares Einkommen Persönlich verfügbares Einkommen, Ö, Quartalsdaten

5 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 5 Zeitreihe Ist eine zeitlich geordnete Folge von Beobachtungen einer Zufallsvariablen Beispiele: Jährliche Werte des Privaten Konsums Änderungen der Ausgaben für Privaten Konsum Quartalswerte des persönlich verfügbaren Einkommens Monatliche Werte der Importe Notation: Zufallsvariable Y Folge von Beobachtungen: Y 1, Y 2,..., Y n Zeitreihe wird auch als Realisation eines stochastischen Prozesses aufgefasst

6 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 6 Komponenten einer Zeitreihe Komponeten oder Charakteristika einer Zeitreihe sind Trend Saisonalität Irreguläre Fluktuationen Modell einer Zeitreihe soll die Charakteristika möglichst gut repräsentieren Darstellung der Zeitreihe Prognose (Extrapolation) Beispiel: Y t = βt + Σ i γ i D it + u t mit D it = 1 wenn t das i-te Quartal zum Beschreiben der Entwicklung des persönlichen Einkommens

7 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 7 Stochastischer Prozess Ist eine Folge von Zufallsvariablen Y t : {Y t, t = 1,..., n} {Y t, t = -,..., } Gemeinsame Verteilung der Y 1,..., Y n : p(y 1, …., y n ) Für viele Fragestellungen: wesentliches Charakteristikum von p(.) ist der Verlauf des Erwartungswertes t = E{Y t } Beispiel: Extrapolieren einer Zeitreihe zum Zweck der Prognose

8 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 8 Stationarität Stationarität eines stochastischen Prozesses: Eigenschaft der gemeinsamen Verteilung, insbesondere der Varianzen Var{Y t } und der Kovarianzen Cov{Y t, Y t+k } Kovarianz-Funktion: t,k = Cov{Y t, Y t+k }, k = 0, ±1,… Eigenschaften: t,k = t,-k t,0 = 1 Schwach stationärer Prozess: E{Y t } = für alle t Cov{Y t, Y t+k } = k, k = 0, ±1, … für alle t und alle k auch kovarianz-stationärer Prozess

9 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 9 AC- und PAC-Funktion Autokorrelations-Funktion (AC-Funktion) ist von Skalierung von Y unabhängig; für stationären Prozess: k = k / 0, k = 0, ±1,… Eigenschaften: | k | 1 k = -k 0 = 1 Korrelogramm: graphische Darstellung der AC-Funktion Partielle Autokorrelations-Funktion (PAC-Funktion): kk = Corr(Y t, Y t-k |Y t-1,...,Y t-k+1 ), k = 0, ±1, … kk erg ibt sich aus Y t = k0 + k1 Y t kk Y t-k Partielles Korrelogramm: graphische Darstellung der PAC-Funktion

10 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 10 AC- und PAC-Funktion, Forts. Beispiel: Weißes Rauschen k = kk = 1, wenn k = 0, k = kk = 0, wenn k 0, Schätzen der AC- und PAC-Funktion: Schätzer für k : Schätzer für kk ergibt sich als Koeffizient von Y t-k aus Regression von Y t auf Y t-1, …, Y t-k

11 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 11 AR(1)-Prozess Y t = Y t-1 + t mit t : Weißes Rauschen, Var{ t } = 2 Alternative Darstellung: Y t = i i t-i Mit | | < 1 ergibt sich | | < 1 nennt man die Stationaritäts-Bedingung AC-Funktion: k = k, k = 0, ±1,… PAC-Funktion: 11 =, kk = 0 für k > 1

12 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 12 AR(p)-Prozess Y t = + 1 Y t-1 + … + p Y t-p + t mit t : Weißes Rauschen Lag-Operator L: verschiebt den Laufindex um eine Periode LY t = Y t-1 Es gilt: L s Y t = Y t-s ; L 0 Y t = Y t AR(p)-Prozess: Y t - 1 Y t-1 - … - p Y t-p = (I - 1 L - … - p L p )Y t = + t oder (L)Y t = + t mit dem Lag-Polynom (L) Stationaritäts-Bedingung: Für die p Wurzeln z i des Charakteristischen Polynoms (z) = z - … - p z p muss gelten: |z i | > 1, i = 1, …, p

13 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 13 AR(p)-Prozess, Forts. Y t = + 1 Y t-1 + … + p Y t-p + t mit t : Weißes Rauschen Sei Stationaritäts-Bedingung erfüllt (die p Wurzeln des Charakteristischen Polynoms (z) erfüllen |z i | > 1) AC-Funktion: gedämpft, unendlich PAC-Funktion: kk = 0 für k > p Kenntnis der Form der AC- und PAC-Funktionen hilft beim Identifizieren der Ordnung des Prozesses

14 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 14 MA(1)-Prozess Y t = + u t - u t-1 = + (L)u t mit u t : Weißes Rauschen AR()-Darstellung: Y t = ) + u t + i i Y t-i setzt voraus, dass | | < 1 (Invertierbarkeits-Bedingung) Eigenschaften des MA(1)-Prozesses: Der Prozess ist für alle und stationär E{ Y t } =, Var{ Y t } = 2 (1+ 2 ), 1 = 2 AC-Funktion: 1 /( 2 ), k = 0 für k > 1 PAC-Funktion: exponentiell abnehmend, wenn > 0, sonst alternierend, exponentiell abnehmend

15 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 15 MA(q)-Prozess Y t = + u t - 1 u t-1 - … - q u t-q = + (L)u t mit u t : Weißes Rauschen Eigenschaften des MA(q)-Prozesses: MA(q)-Prozess ist stets stationär AC-Funktion: k = 0 für k > q PAC-Funktion: exponentiell abnehmend bei reellen Wurzeln des Charakteristischen Polynoms (z) = 0 in Cosinus- oder Sinus-Schwingungen abnehmend bei komplexen Wurzeln des Charakteristischen Polynoms (z) = 0

16 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 16 ARMA(p,q)-Prozess Y t = + 1 Y t-1 + … + p uY t-p + t t = u t - 1 u t-1 - … - q u t-q = (L)u t mit u t : Weißes Rauschen; oder (L)Y t = + (L)u t MA()-Darstellung: Y t = i i u t-i ; die Koeffizienten i sind Funktionen der i und i AR()-Darstellung analog Stationärität des ARMA(p,q)-Prozesses: wenn für alle p Wurzeln z i des Charakteristischen Polynoms (z) = z - … - p z p gilt: | z i | > 1 (Stationäritäts-Bedingung)

17 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 17 ARMA(p,q)-Prozess: Übersicht Bedingung für AR(p)(L)Y t = u t MA(q) Y t =(L)u t ARMA(p,q)(L)Y t =(L)u t Stationarität Wurzeln z i von(z)=0: | z i | > 1 stets stationär Wurzeln z i von(z)=0: | z i | > 1 Invertibilitätstets invertierbar Wurzeln z i von(z)=0: | z i | > 1 AC-Funktion gedämpft, unendlich k = 0 für k>q gedämpft, unendlich PAC- Funktion kk = 0 für k>p gedämpft, unendlich

18 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 18 Identifizieren von ARMA-Modellen Vergleich der empirischen AC- und PAC-Funktion mit den theoretischen Gegenstücken Abbruch der PAC-Funktion: Hinweis auf Ordnung des AR-Prozesses AC-Funktion: Hinweis auf Ordnung des MA-Prozesses Empirisches Korrelogramm: r k Standardfehler aus Var{r k } (1+2 i 2 )/n für k>q, wenn i = 0 für alle i > q Analog empirische Partielles Korrelogramm


Herunterladen ppt "Kapitel 13 Zeitreihen und Zeitreihen-Modelle. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (13) 2 Privater Konsum Privater Konsum, Ö, Mrd.EUR, in Preisen von."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen