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Slide 1Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Threshold Unit-Root-Modelle.

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1 Slide 1Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Threshold Unit-Root-Modelle und Kointegration

2 Slide 2Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Gliederung 5. Unit Root Tests 5.1 Standard Unit-Root Tests Dickey-Fuller Test Augmented Dickey-Fuller Test KPSS 5.3 Test auf Robustheit des ADF Tests 5.4. Unit-Root Tests in TAR-Modellen Enders-Granger Kapetanios Weitere 6. Threshold Cointegration 6.2 Tests auf Kointegration Engle-Granger Ansatz Johansen-Ansatz 1.Ökonomische Motivation 2. Aufbau von TAR-Modellen 2.1 Einfaches TAR-Modell 2.2 Allgemeines TAR-Modell 2.3 Illustration 3. Stationaritäts-Konzept 4. Kointegrations-Konzept

3 Slide 3Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Ökonomische Motivation Motivation zur Untersuchung von Unit-Root-Prozessen und Kointegration: Viele makroökonomische Daten weisen im Level langfristig Trendverhalten auf und scheinen in Beziehung zu einander zu stehen Mit Hilfe von Unit-Root-Prozessen bzw. Kointegration Modellierung an sich instationärer Variablen möglich z.B. Verhalten von Güterpreisen auf verschiedenen Märkten: Grundlegendes Konzept in der VWL: Law of one Price Gleiche Güter kosten auf unterschiedlichen Märkten gleich viel zusätzlich: Berücksichtigung von Transaktionskosten sofern Preisdifferenz zwischen Märkten > Transaktionskosten, so ist Arbitrage möglich

4 Slide 4Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Illustration Datenbeispiel: US-Dieselpreise (Spot)

5 Slide 5Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Illustration Datenbeispiel: Spotpreis-Spread Diesel: NY vs. Gulf Coast Hurricane Katrina

6 Slide 6Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Aufbau von TAR-Modellen EQ-TAR ztzt Wenn 1 < z t-1 Wenn 2 > z t-1 Wenn 2 > z t-1 > 1 Prozess kehrt zum Gleichgewichtswert zurück, wenn Thresholds überschritten werden

7 Slide 7Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Aufbau von TAR-Modellen Band-TAR Wenn z t-1 > 1 Wenn 2 > z t-1 > 1 Wenn z t-1 < 2 Mit 2 < 1 Prozess kehrt zum inneren Bereich [ 1, 2 ]zurück, wenn Thresholds überschritten werden ztzt

8 Slide 8Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Aufbau von TAR-Modellen Allgemeines Modell Verallgemeinerung der Dynamik der Zeitreihe durch Achsenabschnitt ungleich Null und asymmetrische Thresholds: zt Mit (u) < z t-d Mit (l) z t-d (i)(L) := Lag-Polynome t (i) := Fehlerterme ~ (0, (i) ) mit i=l,m,u

9 Slide 9Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Aufbau von TAR-Modellen Bedingungen für Stationarität Notwendige und hinreichende Bedingungen an (i) und (i)(L), die Stationarität sicherstellen sind noch nicht abschliessend untersucht. Tjostheim: für symmetrische TAR ist hinreichende Bedingung für Stationarität, dass Wurzeln der AR-Regression in den Außen-Regimen betragsmäßig < 1 sind Chang und Tong: hinreichende Bedingung für allgemeines TAR-Modell (schwächere hinreichende Bedingungen möglich) Für Fall das gilt: (i)(L)= (i) und d=1 ist z t ein stationärer stochastischer Prozess, falls eine der Bedingungen erfüllt ist: (l)<1, (u)<1 und (l) (u)<1 (l)<1, (u)<1 und (l)<1 (l)<1, (u)<1 und (u)<1 (l) = (u)=1 und (u)<0< (l) (l) (u)=1, (l) 0

10 Slide 10Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Illustration Datenbeispiel: Simulation eines BAND-TAR mit Unit Root | i | = 8 ~ N(0,1) | i | = 0,7 Modellparameter:

11 Slide 11Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Wiederholung des Stationaritätskonzepts 1 Eine schwach stationäre Zeitreihe hat: konstanten Mittelwert E[x t ]=m mit m=const. konstante Varianz E[x t ²] < V t T zeit-unabhängige Kovarianz Cov(x s,x t )=Cov(x s+r,x t+r ) V t,r T Stationaritätsannahme grundlegend für Standard-Ökonometrietheorie Sonst keine konsistente Schätzung möglich

12 Slide 12Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Integrierte Prozesse und Differenzenbildung Bsp: Random Walk mit Drift Iteratives Ersetzen ergibt: d.h. asymptotisch ist y t ist die Summe einer unendlichen Anzahl von Zufallsvariablen mit Mittelwert=0. Sofern die Fehlerterme durch eine (0, )- Verteilung generiert werden, ist die Varianz von y t unendlich. Random Walk ist ein nicht-stationärer Prozess ( auch wenn =0) Berechnung der ersten Differenzen: Ergibt einen stationären Prozess

13 Slide 13Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Wiederholung des Stationaritätskonzepts 2 Trendstationärer Prozess: Wird stationär durch Eliminierung des Trends Differenzenstationärer Prozess: Ist Random Walk ohne Drift; als solcher nicht stationär; hat stochastischen Trend Stationarität durch Differenzenbildung; integriert vom Grade 1 [I(1)] AR-Prozess gegeben durch: Stationär mit | |<1 Ein autoregressiver Prozess der Ordung p (AR(p), hat eine Einheitswurzel, wenn das Polynom in L, (1- 1 L-...- p L p ) eine Wurzel =1 hat. Einfachstes Beispiel: Random Walk

14 Slide 14Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Spurious Regression Regression, in der eine starke Korrelationsbeziehung zwischen nicht kausal korrelierten Variablen suggeriert Tritt auf wenn z.B. wenn 2 oder mehr nicht-stationäre (d.h. I(1)) Variablen auf einander regressiert werden Wenn zu erklärende und erklärende Variablen I(1) sind, scheint die Anpassung sehr gut zu sein (hoher Wert der t-Statistik und großer R2 Wert), auch wenn die Variablen völlig unabhängig sind. Verteilungen der Statistiken (,t, R²,..) anders als bei der klassischen Regression T-Wert i.d.R. sehr groß, daher auch R² hoch Residuen nicht stationär Scheinbare Signifikanz, da falsche Verteilungsannahme

15 Slide 15Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Kointegration Integrierte Prozesse Instationäre Prozesse sind integriert, sofern sie durch Differenzenbildung in stationäre Prozesse überführt werden können I(0) Prozesse haben endliche Varianz und Fehlerterme aber nur kurzfristig Auswirkung auf die Zeitreihe I(1) Prozesse weisen für t unendliche Varianz auf, Innovationen haben persistenten Einfluss auf Zeitreihe Beziehungen zwischen I(1) und I(0)-Prozessen: Wenn x 1t I(0), dann ist jede Linearkombination x 1t I(0) Analog für I(1) Sind x 1t, x 2t I(0), dann ist 1 x 1t + 2 x 2t I(0) Wenn x 1t I(1), x 2t I(0), dann ist 1 x 1t + 2 x 2t I(1), d.h. Integration dominiert Stationarität

16 Slide 16Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Kointegration Eine Zeitreihe x t heisst kointegriert mit Kointegrationsvektor, wenn eine Linearkombination x t stationär ist. Dadurch wird bei instationären Prozessen Prognose möglich Liegt Kointegration vor, können 2 Effekte unterschieden werden: -langfristige Beziehung zwischen beiden Variablen, d.h. Art wie sich beide Zeitreihen langfristig zueinander entwickeln -Kurzfristige Abweichungen der I(1)-Variablen von ihrem langfristigen Trend Gemeinsamer Trend: Wird durch Kointegrationsvektor beseitigt, so dass LKB I(0) ist Zeitreihen können nur kointegriert sein, wenn sie einen gemeinsamen Trend besitzen

17 Slide 17Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Kointegration Interpretation -Kointegration liegt vor, wenn zwei Variablen langfristig eine gemeinsame Entwicklung aufweisen und sich nicht persistent von einander entfernen -Unterschiedliche Entwicklungen sind nur kurzfristig möglich Ökonomisch: Kointegrationsbeziehung als langfristiges Gleichgewicht Abweichungen möglich, aber nicht dauerhaft ( Arbitrage)

18 Slide 18Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Kointegration Beispiel für kointegrierten bivariaten Prozess Mit u t1, u t2 ~ unkorreliert WN (1) (2) Kointegrationsbeziehung liegt vor da: 1.(1), (2) sind I(1), da erste Differenzen I(0) 2.Linearkombination von (1), (2) mit Kointegrationsvektor [1, - ] ist I(0)

19 Slide 19Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Kointegration Fehlerkorrekturanalyse Darstellung des dynamischen Zusammenhangs zwischen kointegrierten Variablen Beispiel: bivariater Fall mit Kointegrationsbeziehung z Fehlerkorrekturterm z t erfasst langfristige Gleichgewichtsbeziehung erfasst Anpassungsprozess der gegenwärtigen Periode (z.B. durch Arbitrage) aufgrund einer Abweichung von der Vorperiode j x, j y, erfassen Änderung von y t in Periode t aufgrund von zeitlich verzögerten Veränderungen von y bzw x ( bilden transitorische Dynamik ab)

20 Slide 20Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Kointegration Fehlerkorrekturanalyse2 Sei Z t-1 >0, dann ist y t im Vergleich zu x t nach der Kointegrationsbeziehung zu hoch Wenn 1 <0, dann wird diese Abweichung vom langfristigen Gleichgewicht durch negative Veränderung von y 1 korrigiert Korrektur stärker, je größer| | Maß für Anpassungsgeschwindigkeit an langfristiges Gleichgewicht Falls Kointegration vorliegt, sind Im Fehlerkorrekturmodell nur stationäre Variablen enthalten OLS-Verfahren anwendbar, Problem der Scheinregression vermieden

21 Slide 21Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Dickey-Fuller Test Gegeben sei das folgende AR(1)-Modell: Mit y 0 =0, ist eine reelle Zahl und {et} ist iid (0, ²) Das Regressionsmodell kann umgeformt werden in: Da man auf Einheitswurzel testet, kann man auch ( -1)= =0 setzen. Test auf Einheitswurzel Es existieren drei Versionen des DF-Test: (1) (2) Test auf Einheitswurzel mit Drift (3) Test auf Einheitswurzel mit Drift um einen stochastischen Trend In allen Fällen ist H0: Einheitswurzel existiert ( =0) 1. Schritt des DF-Tests

22 Slide 22Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Dickey-Fuller Test Teststatistik : (1) (2) Kritische Werte: Normale t-Werte können nicht herangezogen werden Bestimmung kritischer Werte durch Dickey und Fuller mittels numerischer Methoden MacKinnon ermittelte kritische Wert umfangreicher und genauer, diese werden heute idR verwendet 2. Schritt des DF-Tests: Test des geschätzten Parameters auf H0: =0 vs. H1: <0

23 Slide 23Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Dickey-Fuller zeigten, dass wenn =1, dann: Wobei v eine Zufallszahl mit endlicher Varianz ist; In endlichen Stichproben gilt E[c]<1 Unit-Root Tests Dickey-Fuller Test Problem: herkömmliche Inferenzansätze basierend auf OLS und üblichen Teststatistiken nicht gültig! [...] Verzerrung des KQ-Schätzers wenn gegen 1 [...] Folgerungen: (1)Schätzer von ist nach unten verzerrt, wenn =1 (2)OLS-Schätzer von konvergiert schneller zum wahren Wert, als bei Standard-Schätzern üblich D.h. die Varianz von c unter H0 ist O(1/T²), nicht O(1/T) OLS-Schätzer ist super-konsistent

24 Slide 24Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Dickey-Fuller Test Schätzer ist super-konsistent statt T (1/2)

25 Slide 25Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Augmented Dickey-Fuller Test Der einfache Dickey-Fuller Test nimmt an, dass die Fehlerterme des Regressionsmodells White Noise sind. Der Augmented Dickey-Fuller Test korrigiert um Autokorrelation in den Residuen Regressionsgleichung wird um Lags erweitert: Der Fall des Random Walk wird erreicht, in dem man = =0 setzt Teststatistiken:

26 Slide 26Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Augmented Dickey-Fuller Test Ansätze zur Bestimmung der Lag-Länge: Sequentielles Testen der t-Statistik des letzten Koeffizienten (beginnend bei großem Modell) Anwendung von Informationskriterien (AIC, BIC) P als Funktion der Anzahl der Beobachtungen (nach Schwert (1989)) P=INT(12*(T/100) (1/4) )

27 Slide 27Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests KPSS-Test Prüft H 0 : Endliche Varianz in Zeitreihe Kann sowohl für Nullhypothese der Stationarität als auch der Trendstationarität benutzt werden Basiert auf Abweichungen vom arithmetischen Mittel bzw. von einer OLS- Trendregression H 0 : y t =c + a t + t Mit:

28 Slide 28Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Robustheit des ADF-Tests Pippenger und Goering untersuchen, wie die Existenz von Thresholds die Power von Standard-Unit-Root Tests beeinflusst Erkenntnis: Güte fällt deutlich Vorgehen: Betrachten EQ-Modell Relevante Parameter: c, 1, 2, u ztzt Gibt die Anpassungsgeschwindigkeit des Prozess zum langfristigen Gleichgewicht an, bei kleinem hohe Anpassungsgeschwindigkeit Werden alle anderen Parameter konstant gehalten, treten bei fallendem 2 Effekte auf: (a) Prozess verbringt weniger Zeit außerhalb der Grenzen (verringert Testqualität) (b) durch höhere Anpassungsgeschwindigkeit stärkeres Umkehrsignal zum Gleichgewicht C.p.: mit steigendem | i | nimmt verbrachte Zeit innerhalb der Grenzen zu Power sinkt Für gegebenes | i | : mit steigendem u steigt Häufigkeit der Umkehrungen im Prozess Wenn 1 < z t-1 Wenn 2 > z t-1

29 Slide 29Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Robustheit des ADF-Tests2 Test-Ansatz: Generieren Zeitreihe mit EQ-Modell Berechnung der DF-Statistik unter Variation der Parameter | i | und 500xWiederholung jeder Parameterkombination Ermittlung des Anteils abgelehnter Unit-Root-Hypothesen Ergebnis: Güte nimmt ab, wenn Anpassungsgeschwindigkeit hoch und/oder Grenzen weit auseinander liegen Nimmt Anpassungsgeschwindigkeit ab, steigt Güte des Tests, abgesehen für weite Grenzen (dort ist Güte für alle gering) D.h. Umkehrsignal-Effekt scheint zu dominieren

30 Slide 30Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Enders-Granger-Ansatz Modell : ItIt Führen Monte-Carlo Untersuchung durch Schätzung des Modells mit OLS, Berechnung t- und F-Statistiken F-Test für H 0 : Unit Root vs. H1: stationärer 3-Regime TAR-Prozess Wenn –2 < ( 1, 2 ) < 0, {y t } ist trendstationär Wenn y t-1 oberhalb des Trends ist, nimmt y t mit Rate 1 ab Wenn 1 =0, dann verhält sich {y t } wie Random Walk wenn y t >a 0 +a 1 t

31 Slide 31Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Kapetanios Mit 1 = 1 -1, 2= 2 -1, Heaviside-Indikatoren sind orthogonal zu einander H0: 1= 2 =0 H1: 1 <0, 2 <0, Modell in Matrixnotation :

32 Slide 32Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Kapetanios Gemeinsame H0: Lineare Unit-Root vs. H1: nicht-lineare Threshold Stationarität Anwendung des Wald-Tests: OLS Schätzer von OLS Residuen

33 Slide 33Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Kapetanios Zeigt, dass Wald-Statistik asymptotisch wie folgt verteilt ist: Wobei W(s) eine Standard-Brownsche Bewegung mit s [0,1] ist

34 Slide 34Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Kapetanios Für unbekannte Thresholds besteht beim Testen das Davies-Problem, d.h. Grenzen unter H0 nicht identifiziert Lösungsansatz: Berechnung der Teststatistik für eine Anzahl von Parametern: Übliche Teststatistiken: I:= i-tes Element des Parameterraums # := Anzahl der Elemente im Parameterraum

35 Slide 35Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Kapetanios Vergleich der vorgeschlagenen Test-Statistiken mit DF-Test in Monte-Carlo-Studie: Wenn Threshold-Band eng, sind symmetrische Wald-Tests und DF effizienter als asymmetrische Wald-Tests Güte des DF-Test sinkt mit steigenden Thresholds Güteabnahme für W(exp) mit steigenden Thresholds am geringsten W(.)-Tests dominieren DF generell bei großen Thresholds Güte symmetrischer und asymmetrischer W-Tests vergleichbar Bei asymmetrischem Prozess ( 1 2 ) nimmt Test-Güte generell ab, jedoch schwächer bei asymmetrischen Tests

36 Slide 36Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Berben, Dijk Test auf Unit Root mit unbekannten Thresholds F-Statistik: Fehlervarianz unter H0 Mit: Leiten asymptotische Verteilung von F n für unbekannte Thresholds her:

37 Slide 37Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Seo Threshold Parameter = ( 1, 2), 1<= 2 unbekannt Threshold Variable ist verzögerte Levelvariable ist nicht stationär unter H 0 Berechnung der Wald-Statistik basierend auf DF-Regression: Residualvarianz des geschätzten Modells Residualvarianz des geschätzten H 0 -Modells

38 Slide 38Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Unit-Root Tests Seo Leitet asymptotische Verteilung der Teststatistik her: nicht-standard und nicht-gewöhnlich Abhängig von Störtermen: langfristige Varianz w², Bias, r(0),..., r(p) Abhängigkeit von Datenstruktur sehr komplex, daher können keine kritischen Werte tabelliert werden Residual Block-Based Bootstrap-Verfahren zur Bestimmung kritischer Werte

39 Slide 39Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Kointegrationstests Allgemein Sind Koeffizienten der Kointegrationsbeziehung bekannt, genügt Einheitswurzeltest auf Linearkombination Wird H 0 : Nichtstationarität verworfen, so deuten Daten auf Kointegration hin Bei unbekanntem Kointegrationsvektor muss zunächst Kointegrationsbeziehung geschätzt werden

40 Slide 40Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Kointegrationstests Engle-Granger-Verfahren 1. Schritt: Schätzung der Kointegrationsbeziehung mit OLS Besondere Eigenschaften der OLS-Schätzung: Normalisierung, d.h. Wahl des Regressanden spielt asymptotisch keine Rolle Schätzwerte konvergieren nicht mit T (1/2) sondern mit T gegen wahren Wert (Superkonsistenz) Verwendung der Schätzwerte asymptotisch äquivalent zur Verwendung der wahren Werte Linearkombination der betrachteten M Zeitreihen 0.Schritt: Sind betrachtete Zeitreihen vom gleichen Integrationsgrad? Anwendung des Durbin-Watson-Tests bzw. DF bzw. ADF-Tests (zB für Level und Differenzen-Variablen Wird H0: Einheitswurzel für Differenzen abgelehnt, aber nicht für Level, so liegt I(1) vor

41 Slide 41Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Kointegrationstests Engle-Granger-Verfahren 2. Schritt: DF-Test auf Stationarität der OLS-Residuen H0: ut ~ I(1) vs. H1: ut ~ I(0) Zeitreihen nicht kointegriert, bzw. es liegt Scheinregression vor U t hat keine Einheitswurzel, d.h. Restgrößenprozess der LKB stationär, Zeitreihen sind kointegriert, d.h. Abweichungen von langfristigen Zusammenhang der betrachteten Variablen haben Stationaritätseigenschaften Da Residuen geschätzt werden, gelten nicht mehr die kritischen Werte des DF bzw. ADF-Tests. Korrekte kritische Werte wurden durch MacKinnon (1991) durch eine Response-Surface-Simulation ermittelt.

42 Slide 42Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Kointegrationstests Johansen-Verfahren Mit dem Engle-Granger Verfahren kann nur eine einzige Kointegrationsbeziehung ermittelt werden. Bei m betrachteten Zeitreihen sind jedoch bis zu m-1 Kointegrationsbeziehungen möglich. Testverfahren sollte aufzeigen, ob mehrere u. falls ja wieviele Kointegrationsbeziehungen vorliegen Johansen-Verfahren: basierend auf ML-Techniken, erlaubt mehrere Kointegrationsbeziehungen, ist ohne Koeffizientennormierung durchführbar und kann Anzahl der Kointegrationsbeziehungen nachweisen Aufbau: 1) OLS-Schätzung der Hilfsgleichungen 2) Kanonische Korrelationen (Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren) 3) ML-Schätzung der Modellparameter

43 Slide 43Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Kointegrationstests Johansen-Verfahren Ausgangspunkt ist VAR-Modell für M I(1) Level-Variablen: Mx1 MxM LHS ist I(0), RHS: Vektor mit Konstanten, I(0), daher muss ( -I) I(0) sein Sind Variablen nicht kointegriert, so muss =I gelten Existieren r kointegrierende Beziehungen (Z ist rx1 Vektor), so kann dieser Term als I(0) Variable geschrieben werden: Mit (rxM)-Matrix der Kointegrationskoeffizienten und (Mxr)-Matrix, Produkt ergibt (MxM)-Matrix -I und ist I(0) Als Matrix der Fehlerkorrekturkoeffizienten interpretierbar:

44 Slide 44Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Kointegrationstests Johansen-Verfahren Verallgemeinerung des ECM Hier VAR(1)-Modell, daher keine verzögerten Differenzen im ECM Bei VAR(p)-Modell treten (p-1) Differenzenterme auf; ( -I) ist dann die Summe aller p- Koeffizientenmatrizen Rang von ( -I) bestimmt durch Anzahl der kointegrierenden Beziehungen: Für r=0 reduziert sich Modell auf VAR-Modell in Differenzen Für r=M: stationäre Niveaudaten ML-Schätzung der Matrix ( -I) unter Annahme ~N(0,1) Überprüfung der Hypothesen r=0,1,...,M-1 anhand dieser Schätzung mittels Likelihood-Ratio- Tests Ermittlung der stationärsten Kointegrationsbeziehung Schätzproblem kann als kanonische Korrelationsanalyse des aktuellen y t und dem verzögerten y t dargestellt werden Berechnung der Teststatistiken anhand von quadrierten kanonischen Korrelationskoefizienten (als Eigenwerte ermittelt) Da Variablen I(1) sind, sind Testwerte der LR-Statistiken nicht ²-verteilt; Verteilung von Johansen tabelliert (abhängig ob Trend u./o. Konstante im System enthalten ist) Johansen-Test multivariate Version des ADF-Test

45 Slide 45Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Kointegrationstests Johansen-Verfahren Spurtest: Mit r:= Rang von ( -I) h:= maximale Anzahl an Kointegrationsbeziehungen Trace-Teststatistik: Mit T:=Stichprobengröße m:=Anzahl der Variablen := Eigenwerte Eigenwerte werden sequentiell in absteigender Reihenfolge geordnet Liegen h Kointegrationsbeziehungen vor, so ist h der letzte signifikante Test, der die H 0 von m-h Einheitswurzeln zurückweisen kann, denn h+1 enthält bereits eine Einheitswurzel Trace-Teststatistik wird für alle h=0,...,h=m-1 berechnet und sinkt mit steigendem h

46 Slide 46Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Kointegrationstests Test-Performance Balke und Fomby (1997) führen Monte-Carlo-Studie durch, um Güte von Kointegrationstests zu beurteilen Güte gegen H1 steigt mit abnehmendem Threshold Güte steigt mit Zahl der Beobachtungen ADF-Test ist schwächer als Philipps-Perron-Test Schätzung des Kointegrationsvektors verringert Testgüte Johansen-Ansatz liefert bessere Güte als Engle-Granger-Verfahren mit ADF, aber schlechter als Engle-Granger mit Philipps-Perron Lineare Standard-Methoden zur Untersuchung auf Kointegration sind im Allgemeinen auch auf für Threshold kointegrierte Prozesse geeignet In den Monte-Carlo-Experimenten verursachte die Threshold-Struktur des Fehlerkorrekturterms in der Regel einen leichten Güteverlust im Vergleich zu linearen Modellen

47 Slide 47Seminar: Nonparametric and Nonlinear time-series analysisSunday, 26 January 2014 Threshold Unit Root and Cointegration Literatur BALKE, Nathan S. AND T.B. FOMBY, Thresholds Cointegration, International Economic Review, 1997 CANER, Mehmet AND B.E. HANSEN, Threshold Autoregression with a Unit Root, Econometrica, 2001 DICKEY, A.D. AND W.A. FULLER, Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series With a Unit Root, Journal of the American Statistical Association, 1979 ENDERS, Walter AND C.W.J. GRANGER, Unit-Root Tests and Asymmetric Adjustment With an Example using the Term Structure of Interest Rates, Journal of Business and Economic Statistics, 1998 ENDERS, Walter AND P.L. SIKLOS, Cointegration and Threshold Adjustment, Journal of Business and Economic Statistics, 2001 ENGLE, Robert F. AND C.W.J. GRANGER, Co-Integration and Error-Correction: Representation Estimation, and Testing, Econometrica, 1987 JOHANSEN, Sören AND R. MOSCONI AND B. NIELSEN, Cointegration analysis in the presence of structural breaks in the deterministic trend, Econometrics Journal, 2000 KAPETANIOS, George AND Y. SHIN, Unit Root Tests in the Three Regime SETAR-Models, 2003 LO, Ming Chien AND E. ZIVOT, Threshold Cointegration and nonlinear Adjustment to the LAW of One Price, Macroeconomic Dynamics, 5, 2001 PIPPENGER, Michael K. AND G.E. GOERING, A Note on the Empirical Power of Unit Root Tests under Threshold Processes, Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 1993 SEO, Myunghwan, Unit Root Test in a Threshold Autoregression: Asymptotic Theory and Residual Based Block Bootstrap, Discussion Paper No. EM/05/484, 2005 TRENKLER, Carsten AND N. WOLF, Economic Integration Across Borders: The Polish Interwar Economy 1921 – 1937, European Review of Economic History, 2005


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