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Stochastische Prozesse I 1.Zeitreihen 2.Modellierung 3.Analyse 4.Beispiel: Kalmanfilter Seminarvortrag von Elias Kellner 14.06.2007.

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1 Stochastische Prozesse I 1.Zeitreihen 2.Modellierung 3.Analyse 4.Beispiel: Kalmanfilter Seminarvortrag von Elias Kellner

2 1. Zeitreihen Zeitreihe: zeitabhängige Folge von Datenpunkten i.d.R. nicht stochastisch unabhängig

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4 Handschriftanalyse, Zeitreihe der vertikalen Geschwindigkeit

5 Zeitreihe (Daten) Modellbildung Trendkomponenten Saisonale Komponenten Vorhersage (Simulation)Tiefere Einsichten

6 Wir brauchen:Geeignete Werkzeuge zur Datenenanalyse Fitfunktionen zur Trendbereinigung Spektralanalyse Korrelationsanalyse mathematische Beschreibung zur Modellbildung

7 Stochastischer Prozess Rauschen Betrachte zeitdiskrete Prozesse, um Rauschen zu simulieren 2 Klassen dynamischer Systeme -nichtvergeßliche (klassische) -vergeßliche (stochastische) (chaotische)

8 Prozess ( Verteilungen bekannt) Realisation Stationarität Eine Zeitreihe heißt stark stationär, wenn die Verteilung von nicht vom Index abhängt. Eine Zeitreihe heißt schwach stationär, wenn Autokovarianz

9 Ergodizität Ergodisch in klass. Mechanik: System kommt erlaubten Systemzuständen beliebig nahe Für ergodische Systeme gilt: Scharmittel = Zeitmittel Jeder Prozess induziert eine Dichte im Phasenraum. Mittelwerte müssen bezüglich dieser Dichte gebildet werden

10 Simulation des Rauschens: Summe von vielen stochastischen Einflüssen Zentraler GWS Rauschen gaußverteilt Weißes Rauschen (WN): Folge von unabhängigen Realisationen einer gaußverteilten Zufallsvariablen

11 Nehme an, x t sei linear durch die N vorherigen Datenpunkte bestimmt (Autoregession) Addiere zu jeden x t eine kleine Störung (Zufallsvariable, z.B. weisses Rauschen) AR(N) – Prozess: Betrachte vergesslichen Prozess Modellierung durch AR-Prozesse

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13 lineare DGL nter Ordnung Rückführung von DGL nter Ordnung auf System von DGL 1ter Ordnung z.B harmonischer Oszillator: Differenzengleichungen. Differenzengleichung = diskretisierte Differentialgleichung Ansatz macht Sinn, da Natur i.a. durch Differentialgleichungen beschrieben wird.

14 Analog läßt sich jeder univariate AR(N)-Prozess auf einen n-variaten AR(1) Prozess reduzieren.

15 Eigenschaften eines AR(1) Prozesses zentriert stationär ergodisch Varianz: a<1

16 a=1 Random Walk (Brownian Motion)

17 MA(N) – Prozess: (gleitendes Mittel) AR(N) – Prozess: ARMA(p,q)

18 Spektralanaylse Gegeben sei eine Zeitreihe. Welche Frequenzen sind enthalten? Fouriertrafo (ohne Normierung) Unterscheide wie immer FT einer Realisation und eines Prozesses FT ist komplexe Größe

19 Aliasing Zeitreihe = gesampelter, kontinuierlicher Prozess! Sample z.B. einen Sinus mit Samplingfrequenz f Vor dem sampeln muss gefiltert werden!!

20 Spektrum Faltung im Ortsraum enspricht Multiplikation im Frequenzraum. Multiplikation mit sich selbst ist | | 2 Definiere Spektrum ACF einer Zeitreihe entspricht einer Faltung der Reihe mit sich selbst Definition über ACF mathematisch korrekt, aber über FT leichter zu schätzen!

21 1. Spektrum als Erwartungswert definiert. Meist aber nur eine Zeitreihe vorhanden! Problem: Periodogramm zappelt mit Chi 2 - Verteilung Suche Schätzer für Spektrum z.B Periodogramm: Var(Per) ist unabhängig von N nicht konsistent Schätzung des Spektrums: 2 Probleme

22 2. Problem: Endliche Zeitreihe = unendliche Reihe mit Fenster multipliziert Im Frequenzraum zusätzlich Faltung mit dem Sinc des Fensters! leaking Power von Peaks in Täler Periodogramm ist sogar verzerrter Schätzer Lösung: Tapering: kein eckiges Rechteckfenster, sondern Dreick- oder Gaussfenster optimalstes Fenster : Hamming

23 Schätzung des Spektrums durch Zerschneiden der Zeitreihe, Tapern Und Mittelwertbildung der einzelnen Periodogramme Methode nach Welch Zeitreihe Zerschneiden Tapern |FFT| 2 Frequenzweise mitteln

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31 Filter allgemein: X(t) Filter y(t) Wichtige Filterklasse: linear und zeitinvariant (LTI-Filter) Filtersystem ist durch seine Impulsantwort bestimmt (FIR, IIR ) MA – Prozess ohne Rauschen = FIR Filter ARMA – Prozess ohne Rauschen = IIR Filter X-Pass-Filter, Bildbearbeitung…

32 Das Kálmán-Filter Gegeben Sei dynamisches System, z.B. ein multivariater AR(1) Prozess Systemgleichung Beobachtungsgleichung Wir haben nur Zugriff auf y t ! y(t) Filter x(t) Gesucht: Filter, das uns die wahren Werte x t schätzt

33 Systemgleichung Beobachtungsgleichung Einfache Schätzung: Rückrechnen auf x t durch B -1 Große Fehler wegen Beobachtungsrauschen Man kann ausnutzen, dass man die Dynamik A des Systems kennt 1. Prädiktionsschritt: 2. Korrektur Beobachte y(t), berechne daraus Fehler y(t|t-1) - y(t)

34 Bsp: Kalman Filter, AR-1 Prozess a=0.89, Beobachtug stark verrauscht

35 Zusammenfassung AR-Prozesse Spektrum Spektrum schätzen: Schneiden - Tapern – Periodogramme mitteln


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