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Kapitel 14 Trends und Unit- root-Tests. Hackl, Einführung in die Ökonometrie 2 Trends Trend: Der Erwartungswert eines Prozesses Y t nimmt mit Fortschreiten.

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Präsentation zum Thema: "Kapitel 14 Trends und Unit- root-Tests. Hackl, Einführung in die Ökonometrie 2 Trends Trend: Der Erwartungswert eines Prozesses Y t nimmt mit Fortschreiten."—  Präsentation transkript:

1 Kapitel 14 Trends und Unit- root-Tests

2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 2 Trends Trend: Der Erwartungswert eines Prozesses Y t nimmt mit Fortschreiten der Zeit zu (oder ab) Deterministischer Trend: ist eine Funktion f(t) der Zeit, die den Erwartungswert von Y beschreibt: Y t = f(t) + u t mit Weißem Rauschen u t Beispiel: das Modell Y t = + t + u t für Y nennt man linearer Trend; ein steigender Trend entspricht > 0 Stochastischer Trend: Das Modell Y t = + Y t-1 + u t oder Y t = Y t Y t-1 = + u t mit Weißem Rauschen u t beschreibt ein irreguläres oder zufälliges Fluktuieren der Differenzen Y t um den Erwartungswert ; Y t folgt einem random walk mit Trend

3 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 3 Konsumfunktion Privater Konsum, AWM-Datenbasis; Niveauwerte (PCR) und erste Differenzen (PCR_D)

4 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 4 Trends: Random walk und AR- Prozess

5 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 5 Random walk mit Trend Das Modell Y t = + Y t-1 + u t kann geschrieben werden als Y t = Y 0 + t + it u i : Trendparameter Komponenten des Prozesses: Deterministischer Wachstumspfad Y 0 + t Kumulierte Störgrößen it u i Eigenschaften: Erwartungswert Y 0 + t ist kein fixer Wert! Var{Y t } = t wird beliebig groß! Corr{Y t,Y t-k } = (1-k/t) Nicht-stationär

6 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 6 Random walk mit Trend, Forts. Aus Corr{Y t,Y t-k } = (1-k/t) folgt: Für fixes k sind Y t und Y t-k umso stärker korreliert, je größer t Mit wachsendem k geht Korrelation gegen Null, aber umso langsamer, je größer t (long memory property) Vergleich von random walk mit AR(1)-Prozess Y t = + Y t-1 + u t Bei AR(1)-Prozess hat u t-i umso weniger Gewicht, je größer i Bei nahe bei Eins ist ähnlicher Verlauf des AR(1)-Prozesses zu erwarten wie bei random walk

7 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 7 Nicht-Stationarität: Konsequenzen AR(1)-Prozess Y t = Y t-1 + u t mit Weißem Rauschen u OLS-Schätzer für : Für | | < 1: konsistent Asymptotisch normalverteilt Für = 1: wird unterschätzt Schätzer nicht normalverteilt spurious regression Problem

8 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 8 Spurious Regression Y t sei ein random walk ohne Trend: Y t =Y t-1 + u t mit Weißem Rauschen u Y t ist ein nicht-stationärer Prozess; stochastischer Trend? Varianz von Y t ist Vielfaches von t Spezifiziertes Modell: Y t = + t + u t Deterministischer Trend Konstante Varianz Missspezifiziertes Modell! Was kann erwartet werden für OLS-Schätzer für ?

9 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 9 Spurious Regression, Forts. Spezifikation eines stochastischen Trends (Y t =Y t-1 + u t ) durch deterministischen Trend (Y t = + t + u t ) Verteilungen der t- und F-Statistiken sind nicht t- und F-Verteilung; kritische Schranken sind wesentlich größer! Nullhypothese wird im t-Test zu oft verworfen! Bestimmtheitsmaß liegt bei etwa 0.45, obwohl Y t ein random walk ohne Trend! Regression von Y t auf (unabhängigen) random walk X t : t-Test wird mit großer Wahrscheinlichkeit einen signifikanten Erklärungsbeitrag von X t anzeigen! Granger & Newbold (1974)

10 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 10 Modelle für Variable mit Trend Spezifikation eines deterministischen Trends, zB Y t = + t + u t : Risiko fehlerhafter Entscheidungen stochastischen Trends: Analyse der Differenzen, wenn Y t =Y t-1 + u t vermutet wird Konsequenzen von spurious regression sind dramatischer als das Modellieren von Differenzen eines trend-stationären Prozesses Ersetzen von Y t = + t + u t durch Y t = + v t hat autokorrelierte Störgrößen v t zur Folge; Schätzer sind unverzerrt, konsistent, HAC- Korrektur, asymptotisch normalverteilt Unit-root-Test hilft beim Entscheiden, welche Spezifikation korrekt ist

11 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 11 Eliminieren von Trends Eliminieren eines Trends kann Stationarität herbeiführen Trend-stationärer Prozess: der Prozess kann durch Subtrahieren eines deterministischen Trends in einen stationären Prozess übergeführt werden Differenz-stationärer Prozess oder integrierter Prozess: stationärer Prozess kann durch das Bilden von Differenzen abgeleitet werden Ein stochastischer Prozess Y heißt integriert von der Ordnung Eins, wenn die ersten Differenzen einen stationären Prozess ergeben: Y ~ I(1) integriert von der Ordnung d, wenn die d-fachen Differenzen einen stationären Prozess ergeben: Y ~ I(d)

12 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 12 Eliminieren von Trends, Beispiele Random walk Y t = + Y t-1 + u t mit Weißem Rauschen u: Y t = Y t Y t-1 = + u t ist ein stationärer Prozess; ein random walk ist ein differenz- stationärer oder integrierter Prozess der Ordnung Eins Linearer Trend Y t = + t + u t besteht aus einem linearer Trend und Weißem Rauschen; Subtrahieren der Trendkomponente ( + t) liefert einen stationären Prozess; Y t ist ein trend-stationärer Prozess

13 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 13 Integrierte stochastische Prozesse Random walk Y t = + Y t-1 + u t mit Weißem Rauschen u ist integriert von der Ordnung Eins Viele ökonomische Zeitreihen zeigen stochastische Trends; aus der AWM-Datendasis: ARIMA(p,d,q)-Prozess: d-te Differenzen folgen einem ARIMA(p,q)- Prozess Variabled YERBrutto-Inlandsprodukt, real1 PCRPrivater Konsum, real1-2 PYRVerf. Einkommen der HH, real1-2 PCDKonsumdeflator2

14 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 14 Unit-root-Test AR(1)-Prozess Y t = Y t-1 + u t mit Weißem Rauschen u OLS-Schätzer für : Verteilung von (sprich Tau) | | < 1: näherungsweise t(n-1) = 1: Perzentile nach Dickey & Fuller DF-Test zum Testen von H 0 : = 1 gegen H 1 : < 1 = 1: das charakteristische Polynom hat die Wurzel Eins

15 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 15 Dickey & Fuller Perzentile Monte Carlo geschätzt nach Fuller (1976) np = 0.01p = 0.05p = N(0,1)

16 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 16 DF-Test: Alternative Darstellung AR(1)-Prozess: Y t = Y t-1 + u t oder Y t = ( -1)Y t-1 + u t = Y t-1 + u t DF-Test testet H 0 : = 0 gegen H 1 : < 0 Teststatistik: = d/se(d) mit d = und se(d) = se( )

17 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 17 DF-Test: Das Verfahren Zwei Schritte: 1. Regression von Y t auf Y t-1 (vergleiche Y t = Y t-1 + u t ): OLS- Schätzer d für 2. Test von H 0 : = 0 gegen H 1 : < 0 mittels Teststatistik = d/se(d); kritische Schranken aus Tabelle G3

18 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 18 DF-Test: Erweiterungen DF-Test für Modell mit Interzept: Y t = + Y t-1 + u t DF-Test für Modell mit Interzept und Trend: Y t = + t + Y t-1 + u t DF-Test testet H 0 : = 0 gegen H 1 : < 0 Teststatistik: = d/se(d) (für Modell mit Interzept) = d/se(d) (für Modell mit Interzept und Trend) Zwei Schritte: 1. Regression von Y t auf Y t-1 mit Interzept bzw. mit Interzept und Trend: OLS-Schätzer d für 2. Test von H 0 : = 0 gegen H 1 : < 0 mittels Teststatistik = d/se(d) bzw. = d/se(d); kritische Schranken aus Tabelle G3

19 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 19 ADF-Test Erweitertes Modell entsprechend einem AP(p)-Prozess Y t = Y t Y t-1 … p Y t-p + u t Test von H 0 : = 0 gegen H 1 : < 0 (augmented DF-Test) Zwei Schritte: 1. Regression von Y t auf Y t-1 und Y t-1, …, Y t-p : OLS-Schätzer d für 2. Test von H 0 : = 0 gegen H 1 : < 0 mittels Teststatistik = d/se(d); kritische Schranken aus Tabelle G.2 Wahl von p, zB nach Schwert: int{12(n/100) 0.25 } Erweiterungen analog zum DF-Test

20 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 20 Weitere Verfahren Phillips-Perron-Test Alternatives Verfahren zum ADL-Test Teststatistik d/se(d) mit HAC-korrigiertem se(d) Verfahren von Perron Mehrstufiges Verfahren für Y t = + t + Y t-1 + u t Schränkt das Modell mehr und mehr ein Siehe Abschnitt


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