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Kapitel 13 Zeitreihen und Zeitreihen-Modelle. Hackl, Einführung in die Ökonometrie 2 Privater Konsum Privater Konsum, Ö, Mrd.EUR, in Preisen von 1995.

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1 Kapitel 13 Zeitreihen und Zeitreihen-Modelle

2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 2 Privater Konsum Privater Konsum, Ö, Mrd.EUR, in Preisen von 1995

3 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 3 Privater Konsum, Forts. Änderung des Privaten Konsums, Mrd.EUR, in Preisen von 1995

4 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 4 Persönlich verfügbares Einkommen Persönlich verfügbares Einkommen, Ö, Quartalsdaten

5 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 5 Zeitreihe Ist eine zeitlich geordnete Folge von Beobachtungen einer Zufallsvariablen Beispiele: Jährliche Werte des Privaten Konsums Änderungen der Ausgaben für Privaten Konsum Quartalswerte des persönlich verfügbaren Einkommens Monatliche Werte der Importe Notation: Zufallsvariable Y Folge von Beobachtungen: Y 1, Y 2,..., Y n Zeitreihe wird auch als Realisation eines stochastischen Prozesses aufgefasst

6 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 6 Komponenten einer Zeitreihe Komponeten oder Charakteristika einer Zeitreihe sind Trend Saisonalität Irreguläre Fluktuationen Modell einer Zeitreihe soll die Charakteristika möglichst gut repräsentieren Darstellung der Zeitreihe Prognose (Extrapolation) Beispiel: Y t = βt + Σ i γ i D it + u t mit D it = 1 wenn t das i-te Quartal zum Beschreiben der Entwicklung des persönlichen Einkommens

7 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 7 Stochastischer Prozess Ist eine Folge von Zufallsvariablen Y t : {Y t, t = 1,..., n} {Y t, t = -,..., } Gemeinsame Verteilung der Y 1,..., Y n : p(y 1, …., y n ) Für viele Fragestellungen: wesentliches Charakteristikum von p(.) ist der Verlauf des Erwartungswertes t = E{Y t } Beispiel: Extrapolieren einer Zeitreihe zum Zweck der Prognose

8 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 8 Stationarität Stationarität eines stochastischen Prozesses: Eigenschaft der gemeinsamen Verteilung, insbesondere der Varianzen Var{Y t } und der Kovarianzen Cov{Y t, Y t+k } Kovarianz-Funktion: t,k = Cov{Y t, Y t+k }, k = 0, ±1,… Eigenschaften: t,k = t,-k t,0 = 1 Schwach stationärer Prozess: E{Y t } = für alle t Cov{Y t, Y t+k } = k, k = 0, ±1, … für alle t und alle k auch kovarianz-stationärer Prozess

9 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 9 AC- und PAC-Funktion Autokorrelations-Funktion (AC-Funktion) ist von Skalierung von Y unabhängig; für stationären Prozess : k = k / 0, k =..., -1, 0, +1,… Eigenschaften: | k | 1 k = -k 0 = 1 Korrelogramm: graphische Darstellung der AC-Funktion Partielle Autokorrelations-Funktion (PAC-Funktion): kk = Corr(Y t, Y t-k |Y t-1,...,Y t-k+1 ), k =..., -1, 0, +1, … kk ergibt sich aus Y t = k0 + k1 Y t kk Y t-k Partielles Korrelogramm: graphische Darstellung der PACF

10 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 10 AC- und PAC-Funktion, Forts. Beispiel: Weißes Rauschen k = kk = 1, wenn k = 0, k = kk = 0, wenn k 0, Schätzen der AC- und PAC-Funktion: Schätzer für k : Schätzer für kk ergibt sich als Koeffizient von Y t-k aus Regression von Y t auf Y t-1, …, Y t-k

11 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 11 AR(1)-Prozess Y t = Y t-1 + t, t Weißes Rauschen Alternative Darstellung: Y t = i i t-i Ist | | < 1 ergibt sich | | < 1 nennt man die Stationaritäts-Bedingung. AC-Funktion: k = k, k = 0, 1, … PAC-Funktion: 11 =, kk = 0 für k > 1

12 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 12 AR(p)-Prozess Y t = + 1 Y t-1 + … + p Y t-p + t t Weißes Rauschen Lag-Operator L: verschiebt den Laufindex um eine Periode LY t = Y t-1 Es gilt: L s Y t = Y t-s und im Speziellen L 0 Y t = Y t AR(p)-Prozess: Y t - 1 Y t-1 - … - p Y t-p = (1 - 1 L - … - p L p )Y t = + t oder kurz (L)Y t = + t mit dem Lag-Polynom (L)

13 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 13 AR(p)-Prozess Stationaritäts-Bedingung: Für die p Wurzeln z i des Charakteristischen Polynoms (z) = z - … - p z p muss gelten: |z i | > 1, i = 1, …, p Man sagt die Wurzeln (Nullstellen) liegen außerhalb des Einheitskreises.

14 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 14 AR(p)-Prozess, Forts. Für stationäre AR(p) Prozesse gilt: AC-Funktion: fällt geometrisch ab PAC-Funktion : kk = 0 für k > p Sie bricht nach der Ordnung p ab. Die Kenntnis der Form der AC- und PAC-Funktionen hilft beim Identifizieren der Ordnung des Prozesses.

15 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 15 MA(1)-Prozess Y t = + u t - u t-1 = + (L)u t u t Weißes Rauschen AR()-Darstellung: Y t = ) + u t + i i Y t-i setzt voraus, dass | | < 1 (Invertierbarkeits-Bedingung) Eigenschaften des MA(1)-Prozesses : Der Prozess ist für alle und stationär E{ Y t } =, Var{ Y t } = 2 (1+ 2 ), 1 = 2 2 = 0 AC-Funktion: 1 /( 2 ), k = 0 für k > 1 PAC-Funktion: exponentiell abnehmend, wenn > 0, sonst alternierend, exponentiell abnehmend

16 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 16 MA(q)-Prozess Y t = + u t - 1 u t-1 - … - q u t-q = + (L)u t u t weißes Rauschen Eigenschaften des MA(q)-Prozesses: MA(q)-Prozess ist stets stationär AC-Funktion: k = 0 für k > q PAC-Funktion: exponentiell abnehmend bei reellen Wurzeln des Charakteristischen Polynoms (z) = 0 in Cosinus- oder Sinus-Schwingungen abnehmend bei komplexen Wurzeln des Charakteristischen Polynoms (z) = 0

17 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 17 ARMA(p,q)-Prozess Y t = + 1 Y t-1 + … + p Y t-p + t t = u t - 1 u t-1 - … - q u t-q = (L)u t mit u t Weißes Rauschen; oder kurz (L)Y t = + (L)u t MA( )-Darstellung: Y t = i i u t-i die Koeffizienten i sind Funktionen der i und i AR()-Darstellung analog Stationärität des ARMA(p,q)-Prozesses: wenn für alle p Wurzeln z i des Charakteristischen Polynoms (z) = z - … - p z p | z i | > 1 gilt.

18 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 18 ARMA(p,q)-Prozess: Übersicht Bedingung für AR(p)(L)Y t = u t MA(q) Y t =(L)u t ARMA(p,q)(L)Y t =(L)u t Stationarität Wurzeln z i von(z)=0: | z i | > 1 stets stationär Wurzeln z i von(z)=0: | z i | > 1 Invertibilitätstets invertierbar Wurzeln z i von(z)=0: | z i | > 1 AC-Funktion gedämpft, unendlich k = 0 für k>q gedämpft, unendlich PAC- Funktion kk = 0 für k>p gedämpft, unendlich

19 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 19 Identifizieren von ARMA-Modellen Vergleich der empirischen AC- und PAC-Funktion mit den theoretischen Gegenstücken Abbruch der PAC-Funktion: Hinweis auf Ordnung des AR-Prozesses AC-Funktion: Hinweis auf Ordnung des MA-Prozesses Empirisches Korrelogramm: r k Standardfehler aus Var{r k } (1+2 i i 2 )/n für k>q, wenn i = 0 für alle i > q Analog empirische Partielles Korrelogramm

20 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 20 Anwendung von ARMA Modellen Mit (univariaten) ARMA Modellen sind kurzfristig i.A. bessere Prognosen zu erzielen, als mit Strukturmodellen. Vorgansweise: z.B. privater, realer Konsum C t Berechnen von log(C t ) [nicht stationär] Berechnen von Δ log(C t ) … Wachstumsrate von C t [stationär] Modellieren von Δ log(C t ) als ARMA(p,q) Prognose für die folgenden 4 Perioden


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