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Folie 1 § 29 Determinanten: Eigenschaften und Berechnung (29.1) Definition: Eine Determinantenfunktion auf K nxn ist eine Abbildung (im Falle char(K) ungleich.

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1 Folie 1 § 29 Determinanten: Eigenschaften und Berechnung (29.1) Definition: Eine Determinantenfunktion auf K nxn ist eine Abbildung (im Falle char(K) ungleich Zwei) die bezüglich der Spalten der (n.n)-Matrizen n-linear und alternierend ist. Also gilt nach 28.5 für jede Determinantenfunktion (29.2) Definition: Die Determinantenfunktion Δ mit Δ(E) = 1 heißt die Determinante und wird mit det bezeichnet.

2 Folie 2 Kapitel V, § 29 Berechnung mit dieser Definition? Es gilt: (29.3) Satz: Für (n,n)-Matrizen A und B gilt stets 1 o det(A) = det(A T ). 2 o det(AB) = det(A)det(B). 4 o Und speziell. 3o3o Mehr zur Berechnung von Determinanten: (29.4) Definition: Eine obere Dreiecksmatrix ist eine (n,n)-Matrix A mit. Entsprechend: Untere Dreiecksmatrix. (29.5) Satz: Für eine obere Dreiecksmatrix A ist Und diese Formel nehmen wir als Definition im Falle char(K) = 2.

3 Folie 3 Kapitel V, § 29 (29.6) Verfahren: Eine vorgegebene (n,n)-Matrix A bringe man durch Spaltenvertauschungen und durch Addition von geeigneten Vielfachheiten von Spalten auf die Form einer oberen Dreiecksmatrix B. Dann gilt: det(A) = (–1) –k det(B). Beispiel! mit einer (p,p)-Matrix B und einer (q,q)-Matrix D (n = p + q). (29.7) Satz: Für eine (n,n)-Matrix A der Form Analog für Zeilenoperationen. Dann gilt det(A) = det(B)det(D). Entsprechend ergibt sich ein zu 29.6 analoges Verfahren.

4 Folie 4 Kapitel V, § 29, die aus A durch Streichen der μ–ten Zeile und der ν–ten Spalte entsteht. Zum Beispiel die Entwicklung der Determinante einer (3,3) nach Zeile 1: Zur Darstellung einer weiteren Berechnungsformel brauchen wir zu einer (n,n)-Matrix A und zu (j,k) aus n 2 die (n-1,n-1)-Matrix (29.8) Entwicklungssatz von Laplace: Für eine (n,n)-Matrix A und Analog ist für :

5 Folie 5 Kapitel V, § 29 Die komplementäre Matrix ist die Matrix (29.9) Hilfssatz: Es gilt: ist die Determinante der Matrix Mit den Koeffizienten Der komplementären Matrix gilt daher: (29.10) Satz: Für invertierbare A : (29.11) Cramersche Regel: Für invertierbare A ist die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b gegeben durch:


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